Действия над матрицами

Примеры:

1. Выполнить сложение матриц:
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2& 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 &1 \\ 4& 5 \end{pmatrix}$.
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2& 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 &1 \\ 4& 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 &1 \\ 6& 6 \end{pmatrix}$.

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы $latex A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}$, $latex B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$ и $latex C=\begin{pmatrix} 5 &0\\ 0&1 \end{pmatrix}$. Тогда:

$latex A+B=$ $latex \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=$ $latex B+A=$ $latex \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$.

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

$latex A+B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$;
$latex (A+B)+C= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
$latex B+C= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 1&2 \end{pmatrix}$;
$latex A+(B+C)= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.

Как видим, $latex A+(B+C)=(A+B)+C$.

2. Выполнить умножение матрицы на число:
$latex \begin{pmatrix} a &b \\ c&d \end{pmatrix} \cdot e$.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
$latex \begin{pmatrix} a &b \\ c&d \end{pmatrix} \cdot e = \begin{pmatrix} ae &be \\ ce& de \end{pmatrix}$.

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть $latex \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$, $latex \forall \alpha, \beta \in \mathbb{P}$. Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица $latex A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1 &1 \end{pmatrix}$ и $latex \alpha = 3, \beta =2$.
Тогда $latex \beta A= \begin{pmatrix} 2 &2 \\ 2 &2 \end{pmatrix}$;
$latex \alpha ( \beta A)= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$.
$latex \alpha \beta =6$;
$latex ( \alpha \beta) A= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$.
Как видим, $latex \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$.

3. Вычислить произведение матриц:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix}$.
Для удобства будем называть первую матрицу $latex A$ а вторую матрицу $latex B$. Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей $latex 3 \times 3$ и $latex 3 \times 2$, следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы $latex A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $latex B$. Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:

Получим следующее:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &? \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы $latex A$ на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы $latex B$ и складываем полученные значения:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы $latex A$ на элементы первого столбца матрицы $latex B$, складывая результаты:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&16 \\ 34&50 \end{pmatrix}$.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы $latex A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$.
Тогда $latex A \cdot B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&3 \\ 0&1 \end{pmatrix}$.
$latex B \cdot A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
Как видим, $latex A \cdot B \ne B \cdot A$.

4. Возвести матрицу в степень:
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}$.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}=$ $latex \begin{pmatrix} 3 & 0 &4 \\ 6&1 &6 \\ 2& 0 &3 \end{pmatrix}$.

5. Транспонировать матрицу:
$latex \begin{pmatrix} 1 &2 &0 &1 \\ 0&1 &0 &2 \end{pmatrix}$.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2&1 \\ 0&0 \\ 1&2 \end{pmatrix}$.

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 3

   $latex \begin{pmatrix} 1 &0 &1 \\ 2 &3 &1 \\ 4&5 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0&1 &0 \\ 2&3 &1 \end{pmatrix}$

   • $$\begin{pmatrix} 3 &6 &2 \\ 2& 8 &3 \\ 4& 10 &4 \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} 3 &4 &2 \\ 4& 8 &3 \\ 25& 9 &8 \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} 3 &4 &2 \\ 4& 8 &3 \\ 4& 9 &4 \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} 4 &3 &2 \\ 4& 8 &3 \\ 4& 9 &4 \end{pmatrix}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Транспонировать матрицу $latex \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 5&6 &7 &8 \end{pmatrix}$

   • $$\begin{pmatrix} 4&8 \\ 3&7\\ 2&6 \\ 1&5 \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} 1&5 \\ 2&6\\ 3&7 \\ 4&8 \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} 5&1 \\ 6&2\\ 7&3 \\ 8&4 \end{pmatrix}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 4

   Возвести в степень матрицу $latex \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 \\ 2&0 &2 &1 \\ 1&2 &3 &1 \\ 3&1 &2 &0 \end{pmatrix}$

   • $$\begin{pmatrix} 4 &3 &6 &0 \\ 7&7 &10 &2 \\ 11&8 &16 &5 \\ 7&7 &11 &3 \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} 3 &3 &6 &2 \\ 7&7 &10 &2 \\ 11&8 &16 &5 \\ 7&7 &11 &3 \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} 4 &3 &6 &2 \\ 24&7 &10 &2 \\ 11&8 &16 &5 \\ 7&7 &11 &3 \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} 4 &3 &6 &2 \\ 7&7 &10 &2 \\ 11&8 &16 &5 \\ 7&7 &11 &3 \end{pmatrix}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Укажите размерность матрицы, полученной в результате умножения матрицы размерности $latex 2 \times 3$ на матрицу размерности $latex 3 \times 1$.

   • В результате будет получена матрица размерности (2) на (1).
   Правильно
   

   Неправильно
   

1. Г. С. Белозеров. Конспект лекций.
2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 194-197.
3. А. Г. Курош  «Курс высшей алгебры» (Издание девятое, 1968 г.), стр. 99-102.
4. И. В. Проскуряков.   «Сборник задач по линейной алгебре» (1984 г.), стр. 112-115.

Теорема (общий ассоциативный закон)

 Формулировка

Пусть на множестве $latex A$ задана ассоциативная БАО $latex «*»$. Тогда в «звездном произведении» $latex a_1*a_2*…*a_k$, где $latex k\geq 3$ результат не зависит от способа расстановки скобок.

Доказательство

Индукция по k:

База: Докажем выполнение теоремы при $latex k=3$. Если $latex k=3$, то $latex (a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3)$.

Предположение: Предположим, что в выражении $latex a_1*a_2*…*a_k$  при $latex k \leq n$ порядок элементов и способ расстановки скобок не влияет на результат вычислений.

Шаг: Докажем для $latex k=n+1$:
$latex 1\leq l \leq n$

$latex \left(a_1*…*a_l \right)*\left(a_{l+1}*…*a_n*a_{n+1} \right)=$ $latex \left(a_1*…*a_l \right)*$ $latex [\left(a_{l+1}*…*a_{m} \right)*\left(a_{m+1}*…*a_{n+1} \right)]$;
$latex a_1*a_2*…*a_l=a$,
$latex a_{l+1}*..*a_m=b$,
$latex a_{m+1}*..*a_{n+1}=c$,
$latex a*\left(b*c \right)=\left(a*b \right)*c$, то есть: $latex \left(a_1*…*a_m \right)*\left(a_{m+1}*…*a_{n+1} \right)$.

Что и требовалось доказать. $latex \blacksquare$

Теорема (Общий коммутативный закон)

Формулировка

Пусть на множестве $latex A$ задана ассоциативная и коммутативная БАО $latex «*»$, тогда в $latex a_1*a_2*…*a_n$, где $latex n \geq2$, результат не зависит от расстановки скобок и порядка элементов.

Доказательство

Зафиксируем порядок элементов и рассмотрим выражение: $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}$.
Согласно Общему ассоциативному закону, результат вычисления данного выражения не зависит от способа расстановки скобок. Положим $latex a_{i_j}=a_n$. Исходя из коммутативности операции $latex «*»$,
$latex a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_n*a_{i_{j+1}})*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}=$ $latex a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_{i_{j+1}}*a_n)*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}$.
Следовательно, не изменяя результата выражения $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}},$ без ограничения общности рассуждения будем считать, что $latex a_{i_n}=a_n.$ Следовательно, продолжая упорядочивание элементов, показываем, что результат вычисления любого выражения вида $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}$ равен выражению $latex a_1*a_2*…*a_n$. $latex \blacksquare$

Общие ассоциативный и коммутативный законы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на знание Общего ассоциативного и Общего коммутативного законов.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 11 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 3

   Введите название закона: 
   Пусть на множестве $А$ задана ассоциативная и коммутативная БАО $latex *$, тогда в $latex a_1*a_2*…*a_n$, где $latex n \geq2$, результат не зависит от расстановки скобок и порядка элементов.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 4

   Зависит ли от порядка следования сомножителей результат произведения двух элементов на множестве:

   Элементы сортировки

   • зависит
   • не зависит
   • не зависит

   • матриц размерности $m \times n$

   • действительных чисел

   • коммутирующих матриц порядка $n$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 4

   Указать случаи, в которых выполняется Общий ассоциативный закон.

   • произведение матриц порядка $n$, когда число перемножаемых матриц более или равно трем.
   • вычисление среднего арифметического трех и более чисел
   • сложение трех и более векторов
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Г. С. Белозеров.  Конспект лекций по линейной алгебре.
2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 9-12.
3. В. В. Воеводин  «Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система Линеал», 2006 г. (стр. 99-102).