Действия над матрицами
Примеры:
1. Выполнить сложение матриц:
$latex \begin{pmatrix}
1 &0 \\
2& 1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 &1 \\
4& 5
\end{pmatrix} $.
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
$latex \begin{pmatrix}
1 &0 \\
2& 1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 &1 \\
4& 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 &1 \\
6& 6
\end{pmatrix}$.
Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы $latex A=\begin{pmatrix}
1 &2 \\
1&0
\end{pmatrix}$, $latex B=\begin{pmatrix}
0 &1 \\
1&1
\end{pmatrix}$ и $latex C=\begin{pmatrix}
5 &0\\
0&1
\end{pmatrix}$. Тогда:
$latex A+B=$ $latex \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=$ $latex B+A=$ $latex \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$.
Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:
$latex A+B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$;
$latex (A+B)+C= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
$latex B+C= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 1&2 \end{pmatrix}$;
$latex A+(B+C)= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
Как видим, $latex A+(B+C)=(A+B)+C$.
2. Выполнить умножение матрицы на число:
$latex \begin{pmatrix}
a &b \\
c&d
\end{pmatrix} \cdot e$.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
$latex \begin{pmatrix}
a &b \\
c&d
\end{pmatrix} \cdot e = \begin{pmatrix}
ae &be \\
ce& de
\end{pmatrix}$.
Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть $latex \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$, $latex \forall \alpha, \beta \in \mathbb{P}$. Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица $latex A=\begin{pmatrix}
1 &1 \\
1 &1
\end{pmatrix}$ и $latex \alpha = 3, \beta =2$.
Тогда $latex \beta A= \begin{pmatrix} 2 &2 \\ 2 &2 \end{pmatrix}$;
$latex \alpha ( \beta A)= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$.
$latex \alpha \beta =6$;
$latex ( \alpha \beta) A= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$.
Как видим, $latex \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$.
3. Вычислить произведение матриц:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix}$.
Для удобства будем называть первую матрицу $latex A$ а вторую матрицу $latex B$. Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей $latex 3 \times 3$ и $latex 3 \times 2$, следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы $latex A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $latex B$. Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:
Получим следующее:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &? \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы $latex A$ на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы $latex B$ и складываем полученные значения:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы $latex A$ на элементы первого столбца матрицы $latex B$, складывая результаты:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&16 \\ 34&50 \end{pmatrix}$.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы $latex A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$.
Тогда $latex A \cdot B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&3 \\ 0&1 \end{pmatrix}$.
$latex B \cdot A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
Как видим, $latex A \cdot B \ne B \cdot A$.
4. Возвести матрицу в степень:
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}$.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}=$ $latex \begin{pmatrix} 3 & 0 &4 \\ 6&1 &6 \\ 2& 0 &3 \end{pmatrix}$.
5. Транспонировать матрицу:
$latex \begin{pmatrix} 1 &2 &0 &1 \\ 0&1 &0 &2 \end{pmatrix}$.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2&1 \\ 0&0 \\ 1&2 \end{pmatrix}$.
Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц
Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».
Источники: