M2216. Покрытие многоугольника

Задача из журнала «Квант» (2011 год, выпуск 2)

На сторонах [latex]A_{1}A_{2}, A_{2}A_{3}, \dots, A_{n}A_{1}[/latex]  выпуклого многоугольника [latex] A_{1}A_{2}\dots A_{n} [/latex] взяты точки [latex] B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n} [/latex] соответственно. Докажите, что круги, описанные вокруг треугольников [latex] B_{n}A_{1}B_{1}, ~ B_{1}A_{2}B_{2}, ~ B_{2}A_{3}B_{3}, ~ \dots, ~ B_{n-1}A_{n}B_{n}[/latex] покрывают весь многоугольник.

Доказательство

Пусть [latex] P [/latex] — произвольная точка внутри данного многоугольника (см. рисунок). Сумма
poly123
$$ \left(\angle B_{n} A_{1} B_{1} + \angle B_{1} A_{2} B_{2} + \cdots + \angle B_{n-1} A_{n} B_{n} \right) + \left(\angle B_{n}PB_{1} + \angle B_{1} P B_{2} + \cdots + B_{n-1} P B_{n} \right) $$
равна [latex] \left( n — 2 \right) \cdot 180^{\circ} + 360^{\circ} = n \cdot 180^{\circ}[/latex], поэтому хотя бы одна из [latex] n [/latex] сумм
$$ \left( \angle B_{n}A_{1}B_{1} + B_{n}PB_{1} \right), \left( \angle B_{1}A_{2}B_{2} + B_{1}PB_{2} \right), \cdots, \left( \angle B_{n-1}A_{n}B_{n} + B_{n-1}PB_{n} \right)$$
не меньше [latex] 180^{\circ}[/latex]. Но неравенство [latex] \left(\angle B_{i-1}A_{i}B_{i} + \angle B_{i-1}PB_{i} \geq 180^{\circ} \right) [/latex] означает, что точка [latex] P [/latex] лежит внутри или на границе круга, описанного около треугольника [latex] B_{i-1} A_{i} B_{i}[/latex] (здесь считаем, что [latex] B_{0} = B_{n} [/latex]).
В силу произвольности точки [latex] P [/latex], заключаем, что указанные круги покрывают весь многоугольник.

Авторы:  П.Кожевников, Н.Седракян

Следствие (Формула Тейлора с остатком в форме Пеано)

Формулировка

Пусть  [latex] U \subset \mathbb{R}^{n}[/latex]  —  открытая окрестность точки  [latex] x \in \mathbb{R}^{n}[/latex]  и функция  [latex] f: U \rightarrow \mathbb{R}[/latex]  имеет в   [latex] U [/latex]  непрерывные частные производные по всем переменным до порядка  [latex]m[/latex]  включительно.

Пусть также  [latex] h \in \mathbb{R}^{n}[/latex]  и  [latex] \left[ x..x+h \right] \subset U[/latex] . Тогда справедливо представление

$$ f\left( x+h \right) — f\left( x \right) = \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}} + o\left(\left| h \right|^m\right) $$
при [latex] \left| h \right| \rightarrow 0 [/latex], где [latex] \left| h \right| = \sqrt{h_{1}^{2} + \cdots h_{n}^{2}}[/latex].

Доказательство

В условиях текущей теоремы справедлива теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
$$ f\left( x+h \right) — f\left( x \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}} + r_{m}\left(x\right) ~~~~~~~~~~ \left( * \right) $$

где при некотором  [latex] \theta \in \left(0 .. 1 \right)[/latex]

$$ r_{m}\left(x\right) = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^{m}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{m}} } \left( x + \theta h \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} $$

По условию, все производные функции [latex] f [/latex] до порядка [latex] m [/latex] включительно непрерывны в окрестности [latex] U [/latex]. Значит, справедливо представление
$$ \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}} \left( x + \theta h \right) = \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}}\left( x \right) + \alpha_{i_1, \cdots i_m}\left( x \right) $$
где каждая из функций [latex] \alpha_{i_1, \cdots i_m}[/latex] является бесконечно малой при [latex] \left| h \right| \rightarrow 0 [/latex].
При каждом [latex] i = \overline{1,m} [/latex], очевидно, справедливо неравенство
$$ \left| h_i \right| = \sqrt{h_{i}^{2}} \leq \sqrt{h_{1}^{2} + \cdots h_{n}^{2}} = \left| h \right| ~~~ \Rightarrow ~~~ \left|h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} \right| \leq \left| h \right| ^ m ~~~~~~~~~~ \left( ** \right)$$
А тогда при [latex] \left| h \right| \rightarrow 0 [/latex] имеем:
$$ \alpha_{i_1, \cdots i_m}\left(x\right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} = o\left(\left| h \right|^m\right) ~~~ \Rightarrow ~~~ \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \alpha_{i_1, \cdots i_m} \left(x\right)h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} = o\left(\left| h \right|^m\right) ~~~~~~~~~~ \left( *** \right)$$
Подставим [latex] \left( ** \right) [/latex] и [latex] \left( *** \right) [/latex] в исходную формулу для остатка в форме Лагранжа: при [latex] \left| h \right| \rightarrow 0 [/latex]
$$ r_{m}\left(x\right) = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}}\left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} + \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \alpha_{i_1, \cdots i_m}\left(x\right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} = $$
$$ = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}}\left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} + o\left(\left| h \right|^m\right) $$
Наконец, подставив полученное выражение для остатка в формулу [latex] \left( * \right) [/latex], получим доказываемую формулу.

Примеры

Рассмотрим два разложения по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано в окрестности нуля: при [latex] x^2 + y^2 \rightarrow 0 [/latex]
[latex] e^{x^2 + y} = 1 + y + x^2 + \frac{1}{2}y^2 + x^2 y + \frac{1}{6}y^3 + o\left(\left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)^3\right) [/latex]
[latex] e^x \sin y = y + xy — \frac{1}{6}y^3 + \frac{1}{2}x^2 y + o\left(\left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)^3\right) [/latex]

Тест для закрепления материала

Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа

Формулировка

Пусть  [latex] U \subset \mathbb{R}^{n}[/latex]  —  открытая окрестность точки  [latex] x \in \mathbb{R}^{n}[/latex]  и функция  [latex] f: U \rightarrow \mathbb{R}[/latex]  имеет в   [latex] U [/latex]  непрерывные частные производные по всем переменным до порядка  [latex]m[/latex]  включительно.

Пусть также  [latex] h \in \mathbb{R}^{n}[/latex]  и  [latex] \left[ x..x+h \right] \subset U[/latex] . Тогда справедливо представление

$$ f\left( x+h \right) — f\left( x \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}} + r_{m}\left(x\right) $$

где при некотором  [latex] \theta \in \left(0 .. 1 \right)[/latex]

$$ r_{m}\left(x\right) = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^{m}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{m}} } \left( x + \theta h \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} $$

Доказательство

Доказательство многомерного случая теоремы сводится к одномерному случаю посредством введения дополнительной функции
$$ \phi \colon  \left[ 0, 1 \right] \rightarrow \mathbb{R} $$
$$ \phi \left( t \right) = f\left( x + th \right) $$
По теореме о дифференцируемости сложной функции, функция  [latex] \phi [/latex]  дифференцируема на [latex] \left[ 0, 1 \right] [/latex] и её первая производная есть
$$ \phi ^ {\left( 1 \right)} \left( t \right) =  \sum_{i_{1}=1}^{n} \frac{\partial f }{\partial x_{i_{1}}} \left( x + t h \right) h_{i_{1}}$$
Аналогично, для второй производной справедлива формула
$$ \phi ^ {\left( 2 \right)} \left( t \right) =  \sum_{i_{1},i_{2}=1}^{n} \frac{\partial^{k} f }{\partial x_{i_{1}} \partial x_{i_{2}}} \left( x + t h \right) h_{i_{1}} h_{i_{2}}$$
По индукции получаем, что при любом [latex] k = \overline{1,m} [/latex]
$$ \phi ^ {\left( k \right)} \left( t \right) = \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}} $$
Применим к функции  [latex] \phi [/latex]  одномерную теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Согласно этой теореме, существует число  [latex] \theta \in \left(0 .. 1 \right)[/latex], такое, что
$$ \phi \left( t \right) — \phi \left( 0 \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{\phi ^ {\left( k \right)} \left( 0 \right)}{k!} t^{k} + \frac{t^m}{m!}\phi ^ {\left( m \right)} \left( {\theta t} \right) $$
Полагая  [latex] t = 1 [/latex], получаем:
$$ \phi \left(1\right) — \phi \left( 0 \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{\phi ^ {\left( k \right)} \left( 0 \right)}{k!} + \frac{1}{m!}\phi ^ {\left( m \right)} \left( {\theta} \right) $$
Вычислив  [latex] \phi \left( 0 \right) = f\left( x \right)[/latex]  и  [latex] \phi \left( 1 \right) = f\left( x+h \right) [/latex]  и подставив в формулу выражения для производных  [latex] \phi ^ {\left( k \right)} [/latex], найденные выше, получим доказываемую формулу.

Замечания

Замечание  1. Нетрудно заметить, что
$$ \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}} = \left(h_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \cdots + h_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right) ^{k} f \left( x \right) $$
Это наблюдение позволяет записать основную формулу теоремы Тейлора в более эстетичной, с точки зрения некоторых, форме:
$$ f\left( x+h \right) — f\left( x \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \left(h_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \cdots + h_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right) ^{k} f \left( x \right) + r_{m}\left(x\right) $$

Замечание  2. Рассмотрим общий вид формулы Тейлора для случая функции двух переменных:
$$  f\left(x + h_1, y + h_2 \right) — f\left( x,y \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \left(h_{1} \frac{\partial}{\partial x} + h_{2} \frac{\partial}{\partial y}\right) ^{k} f \left( x, y \right) + r_{m}\left(x,y\right) $$
$$  f\left(x + h_1, y + h_2 \right) — f\left( x, y \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \sum_{p=0}^{k} C_{k}^{p} \frac{\partial^{k} f}{\partial x^{k-p} \partial y^{p}}\left(x, y \right) h_{1}^{k-p} h_{2}^{p} + r_{m}\left(x,y\right) $$

Замечание  3. Если в качестве точки [latex] x [/latex] взять точку [latex] \left(0, \cdots, 0 \right) [/latex], то формулу Тейлора называют формулой Маклорена.

Замечание  4. Формулу Тейлора можно использовать для приближённого вычисления значений рассматриваемой функции. В частности, если рассматривать разложение до членов первого порядка включительно, то получаем очень простую геометрическую интерпретацию: график функции «приближается» некоторой гиперплоскостью. В случае двух переменных речь идёт об обычной плоскости и описанную ситуацию можно схематично изобразить так:
taylor

Пример

Разложим по формуле Тейлора до членов второго порядка включительно функцию [latex] f \left( x, y \right) = e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)}[/latex] в окрестности точки [latex] \left( 1, 2 \right) [/latex]
Поскольку речь идёт о членах второго порядка, нам понадобятся производные вплоть до того же порядка. Найдём производные и вычислим их значения в точке разложения:
$$ f \left( 1, 2 \right) = e ^ {-5} $$
$$\frac{\partial f}{\partial x}\left(x, y\right) = -2x e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)} ~~~~~~~~ \frac{\partial f}{\partial x}\left(1, 2\right) = -2e ^ {-5}$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}\left(x, y\right) = -2y e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)} ~~~~~~~~ \frac{\partial f}{\partial x}\left(1, 2\right) = -4e ^ {-5}$$
$$\frac{\partial ^ 2 f}{\partial x^2}\left(x, y\right) = \left(-2 + 4x^2 \right) e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)} ~~~~~~~~ \frac{\partial ^ 2 f}{\partial x^2}\left(1, 2\right) = 2 e ^ {-5} $$
$$\frac{\partial ^ 2 f}{\partial y^2}\left(x, y\right) = \left(-2 + 4y^2 \right) e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)} ~~~~~~~~ \frac{\partial ^ 2 f}{\partial y^2}\left(1, 2\right) = 14 e ^ {-5} $$

$$\frac{\partial ^ 2 f}{\partial x \partial y}\left(x, y\right) = \frac{\partial ^ 2 f}{\partial y \partial x}\left(x, y\right) = 4xy e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)} ~~~~~ \frac{\partial ^ 2 f}{\partial x \partial y}\left(1, 2\right) = \frac{\partial ^ 2 f}{\partial y \partial x} \left(1, 2\right) = 8e ^ {-5}$$

Искомое разложение:
$$f \left(x, y\right) \approx e ^ {-5} \left(1 — 2\left(x-1\right) — 4\left( y-2\right) + \left(x-1\right)^2 + 7\left(y-2\right)^2 + 8\left(x-1\right)\left(y-2\right) \right) $$

Проверьте, насколько хорошо Вы знаете многомерные ряды Тейлора.