На сторонах A1A2,A2A3,…,AnA1 выпуклого многоугольника A1A2…An взяты точки B1,B2,…,Bn соответственно. Докажите, что круги, описанные вокруг треугольников BnA1B1,B1A2B2,B2A3B3,…,Bn−1AnBn покрывают весь многоугольник.
Доказательство
Пусть P — произвольная точка внутри данного многоугольника (см. рисунок). Сумма (∠BnA1B1+∠B1A2B2+⋯+∠Bn−1AnBn)+(∠BnPB1+∠B1PB2+⋯+Bn−1PBn)
равна (n—2)⋅180∘+360∘=n⋅180∘, поэтому хотя бы одна из n сумм (∠BnA1B1+BnPB1),(∠B1A2B2+B1PB2),⋯,(∠Bn−1AnBn+Bn−1PBn)
не меньше 180∘. Но неравенство (∠Bi−1AiBi+∠Bi−1PBi≥180∘) означает, что точка P лежит внутри или на границе круга, описанного около треугольника Bi−1AiBi (здесь считаем, что B0=Bn).
В силу произвольности точки P, заключаем, что указанные круги покрывают весь многоугольник.
По условию, все производные функции f до порядка m включительно непрерывны в окрестности U. Значит, справедливо представление ∂mf∂xi1⋯∂xim(x+θh)=∂mf∂xi1⋯∂xim(x)+αi1,⋯im(x)
где каждая из функций αi1,⋯im является бесконечно малой при |h|→0.
При каждом i=¯1,m, очевидно, справедливо неравенство |hi|=√h2i≤√h21+⋯h2n=|h|⇒|hi1⋯him|≤|h|m(∗∗)
А тогда при |h|→0 имеем: αi1,⋯im(x)hi1⋯him=o(|h|m)⇒n∑i1,⋯,ik=1αi1,⋯im(x)hi1⋯him=o(|h|m)(∗∗∗)
Подставим (∗∗) и (∗∗∗) в исходную формулу для остатка в форме Лагранжа: при |h|→0 rm(x)=1m!n∑i1,⋯,im=1∂mf∂xi1⋯∂xim(x)hi1⋯him+1m!n∑i1,⋯,im=1αi1,⋯im(x)hi1⋯him=
=1m!n∑i1,⋯,im=1∂mf∂xi1⋯∂xim(x)hi1⋯him+o(|h|m)
Наконец, подставив полученное выражение для остатка в формулу (∗), получим доказываемую формулу.
Примеры
Рассмотрим два разложения по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано в окрестности нуля: при x2+y2→0 ex2+y=1+y+x2+12y2+x2y+16y3+o((√x2+y2)3) exsiny=y+xy—16y3+12x2y+o((√x2+y2)3)
Аналогично, для второй производной справедлива формула ϕ(2)(t)=n∑i1,i2=1∂kf∂xi1∂xi2(x+th)hi1hi2
По индукции получаем, что при любом k=¯1,m ϕ(k)(t)=n∑i1,⋯,ik=1∂kf∂xi1⋯∂xik(x)hi1⋯hik
Применим к функции ϕ одномерную теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Согласно этой теореме, существует число θ∈(0..1), такое, что ϕ(t)—ϕ(0)=m−1∑k=1ϕ(k)(0)k!tk+tmm!ϕ(m)(θt)
Вычислив ϕ(0)=f(x) и ϕ(1)=f(x+h) и подставив в формулу выражения для производных ϕ(k), найденные выше, получим доказываемую формулу.
Замечания
Замечание 1. Нетрудно заметить, что n∑i1,⋯,ik=1∂kf∂xi1⋯∂xik(x)hi1⋯hik=(h1∂∂x1+⋯+hn∂∂xn)kf(x)
Это наблюдение позволяет записать основную формулу теоремы Тейлора в более эстетичной, с точки зрения некоторых, форме: f(x+h)—f(x)=m−1∑k=11k!(h1∂∂x1+⋯+hn∂∂xn)kf(x)+rm(x)
Замечание 2. Рассмотрим общий вид формулы Тейлора для случая функции двух переменных: f(x+h1,y+h2)—f(x,y)=m−1∑k=11k!(h1∂∂x+h2∂∂y)kf(x,y)+rm(x,y)
Замечание 3. Если в качестве точки x взять точку (0,⋯,0), то формулу Тейлора называют формулой Маклорена.
Замечание 4. Формулу Тейлора можно использовать для приближённого вычисления значений рассматриваемой функции. В частности, если рассматривать разложение до членов первого порядка включительно, то получаем очень простую геометрическую интерпретацию: график функции «приближается» некоторой гиперплоскостью. В случае двух переменных речь идёт об обычной плоскости и описанную ситуацию можно схематично изобразить так:
Пример
Разложим по формуле Тейлора до членов второго порядка включительно функцию f(x,y)=e−(x2+y2) в окрестности точки (1,2)
Поскольку речь идёт о членах второго порядка, нам понадобятся производные вплоть до того же порядка. Найдём производные и вычислим их значения в точке разложения: f(1,2)=e−5