Даны пространства [latex]U, V\subseteq \mathbb{R}^{n}[/latex], заданные следующим образом [latex]U=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^{n}|x_1+\ldots+x_n=0\}[/latex], [latex]V=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^{n}|x_1=x_2=\ldots=x_n\}[/latex]
Докажем, что [latex]\mathbb{R}^{n} = U \oplus V[/latex]

---

Если [latex]U\cap V = \{0\}[/latex], то [latex]U+V=U\oplus V[/latex] (по второму критерию прямой суммы)
Предположим, что существует ненулевой вектор [latex]x[/latex] удовлетворяющий условиям
[latex]x_1=x_2=\ldots=x_n[/latex] и [latex]x_1+x_2+\ldots+x_n=0[/latex], то есть [latex]x\in U \cap V[/latex]
Так как [latex]x\ne 0[/latex], то одна из его координат отлична от нуля, а из первого условия следует, что и все координаты ненулевые.
Положим [latex]x_1=\ldots=x_n=a(a\ne 0, a\in \mathbb{R})[/latex] и используя второе условие получим, что [latex]na=0[/latex], и так как [latex]n>0 \Rightarrow a=0 \Rightarrow x=0[/latex] получим противоречие с тем, что [latex]x\ne 0 \Rightarrow[/latex][latex]U\cap V=\{0\}\Rightarrow[/latex][latex]U+V=U\oplus V[/latex].
Найдем размерности [latex]U[/latex] и [latex]V[/latex].
Очевидно, что [latex]\dim V=1[/latex] и ее базисом может быть вектор [latex](1, 1,\ldots, 1)[/latex](ЛНЗ тривиальна, полнота очевидна)
Теперь докажем, что система из [latex]n-1[/latex] векторов
[latex]\langle (1, -1, 0,\ldots, 0), (1, 0, -1,\ldots, 0),[/latex][latex]\ldots, (1, 0, 0,\ldots, -1)\rangle[/latex] базис [latex]U[/latex]. Очевидно что она ЛНЗ, т.к.
[latex]rk = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 0 & -1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & -1 \\ \end{pmatrix}=n-1[/latex]
Теперь проверим полноту системы. Покажем, что для [latex] \forall x\in U[/latex] выполняется условие [latex]x_1+x_2+\ldots+x_n=0 (x=(x_1, x_2,\ldots, x_n))[/latex].
Составим линейную комбинацию:
[latex]x=x_1(1,-1,0,\ldots, 0)+\ldots+\alpha_{n-1}(1,00,\ldots, -1)=[/latex]
[latex]=(\alpha_1+\ldots+\alpha_{n-1}, -\alpha_1, \ldots, -\alpha_{n-1})[/latex]
[latex]\alpha_1+\ldots+\alpha_{n-1}+(-\alpha_1)+\ldots+(-\alpha_{n-1})=0 \Rightarrow[/latex] любой вектор из [latex]U[/latex] выражается через эту систему.
Следовательно [latex]\langle (1, -1,\ldots, 0),\ldots,(1, 0,\ldots, -1)\rangle[/latex] базис [latex]U[/latex] и [latex]\dim U = n-1[/latex]. Из формулы [latex]\dim(V+U)=\dim V + \dim U — \dim(V+U)[/latex] получаем, что [latex]\dim(U+V)=\dim(U\oplus V)=n\Rightarrow[/latex] т.к. [latex]U, V\subseteq \mathbb{R}^{n}[/latex], то [latex]U\oplus V = \mathbb{R}^{n}[/latex].

[latex]V, U\subseteq \mathbb{R}^{n}[/latex] [latex]U=\langle (1, 1, 1, 1), (-1, -2, 0, 1)\rangle[/latex] [latex]V=\langle (-1, -1, 1, -1), (2, 2, 0, 1)\rangle[/latex]
Докажем, что [latex]\mathbb{R}_{4}=U\oplus V[/latex]

---

[latex]rk(S) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & -1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & -1 \\ \end{pmatrix}=n-1[/latex]

Теперь докажем, что система из [latex]n-1[/latex] векторов
[latex] S=\langle (1, -1, 0,\ldots, 0), (1, 0, -1,\ldots, 0),\ldots, (1, 0, 0,\ldots, -1)\rangle [/latex].

Покажем, что [latex] \forall x\in U [/latex] на
[latex] x=x_1(1,-1,0,\ldots, 0)+\ldots+\alpha_{n-1}(1,00,\ldots, -1)= [/latex]
[latex] =(\alpha_1+\ldots+\alpha_{n-1}, -\alpha_1, \ldots, -\alpha_{n-1}) [/latex] на [latex] x=x_1(1,-1,0,\ldots, 0)+\ldots+\alpha_{n-1}(1,0,\ldots, -1)=[/latex]
[latex] =(\alpha_1+\ldots+\alpha_{n-1}, -\alpha_1, \ldots, -\alpha_{n-1})[/latex].

Из формулы [latex] \dim(V+U)=\dim V + \dim U — \dim(V+U)[/latex] получаем, что [latex] \dim(U+V)=\dim(U\oplus V)=n\Rightarrow [/latex], так как [latex]U, V\subseteq \mathbb{R}^{n}[/latex], то [latex] U\oplus V = \mathbb{R}^{n} [/latex].
Так как сумма прямая, то по первому критерию объединение базисов суммируемых пространств: есть базис суммы этих пространств [latex] \dim(U+V)=\dim(U\oplus V)=n=\dim(\mathbb{R}^{n}) \Rightarrow U\oplus V=\mathbb{R}^{n}[/latex].

Дано пространство $ U \subseteq \mathbb{R}^4,$ натянутое на вектора $ a_1=(2,1,0,-3),$ $ a_2=(2,3,-1,0),$ то есть $ U = \langle (2,1,0,-3), (2,3,-1,0)\rangle. $
Найдем какое-либо дополнение $ V$ к $ U$ в $ \mathbb{R}^4$.

Проверим ЛНЗ $ a_1$ и $ a_2$.
$ rank \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & -3 \\
2 & 3 & -1 & 0\end{pmatrix}= $ $ rank \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 0 & -1 & 3\end{pmatrix}= 2 \Rightarrow$
$ \langle a_1, a_2\rangle$ — базис $ U$.
$ V$ удовлетворяет условию $ V \oplus U= \mathbb{R}^4$.
Из первого критерия прямой суммы получаем, что объединение базисов $ V$ и $ U$ образуют базис $ \mathbb{R}^4$. Так как $ \dim \mathbb{R}^4= 4$ и $ \dim U= 2 \Rightarrow $ $ \dim V= 2$. Найдем какой-либо базис $ V$ . Дополним для этого систему из векторов $ \langle a_1, a_2\rangle$ до базиса векторами стандартного базиса $ (e_1,e_2,e_3,e_4)$ в $ \mathbb{R}^4$.
Зафиксируем в полученной системе вектора $ a_1$, $ a_2$ и выделим из этой системы ЛНЗ систему, содержащую эти вектора
$ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 & -3 \\
2 & 3 & -1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & -3\\
0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & -3\\
0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
e_1 \\
e_2 \\
a_1 \\
a_2 \end{pmatrix} \Rightarrow $
$ \langle e_1, e_2, a_1, a_2\rangle$ -ЛНЗ,
так как эта система максимальна, она и образует базис $ \mathbb{R}^4$.
Отсюда и из рассуждения в начале получаем, что $ L \langle e_1, e_2\rangle= V$ одно из прямых дополнений к $ U$.