Порядок группы

Порядок группы

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — группа, если [latex]G[/latex] — конечное множество, то порядком группы называется число элементов [latex]G[/latex] и обозначается [latex]\left|G \right|[/latex] или [latex]\mathrm{card}[/latex] [latex]G[/latex]. Если [latex]G[/latex] — бесконечно, то порядок бесконечен.

Порядок элемента группы

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — произвольная группа и [latex]a[/latex] — некоторый ее элемент. Имеются две возможности:

  1. Все степени элемента [latex]a[/latex] различны, то есть [latex]m\neq n[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]a^{m} \neq a^{n}[/latex]. В этом случае говорят, что элемент [latex]a\in G[/latex] имеет бесконечный порядок.
  2. Имеются совпадения [latex]a^{m}=a^{n}[/latex] при [latex]m\neq n[/latex]. Если, например, [latex]m>n[/latex], то [latex]a^{m-n}=e[/latex], то есть существуют положительные степени элемента [latex]a\in G[/latex], равные единичному элементу. Пусть [latex]q\ -[/latex] наименьший положительный показатель, для которого [latex]a^{q}=e.[/latex] Тогда говорят, что [latex]a[/latex] — элемент конечного порядка [latex]q[/latex].

В конечной группе [latex]\left(G,*\right)[/latex] все элементы будут конечного порядка.

Порядок группы с циклическими подгруппами

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если [latex]\left(G,*\right)[/latex] — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы [latex]\left(G,*\right)[/latex] делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема

Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Спойлер

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — конечная группа порядка [latex]m[/latex] и [latex]a[/latex] — некоторый ее элемент порядка [latex]k[/latex]. Тогда [latex]m=kl[/latex] (при целом [latex]l[/latex]) и [latex]a^{m}=(a^{k})^{l}=e[/latex]. Следовательно, верно следующее предположение:
Любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единичный элемент.
Следовательно, порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.
[latex]\blacksquare[/latex]

[свернуть]

Примеры:

  1. Пусть [latex]\left(G,+ \right)[/latex] — группа, где [latex]G=\left\{1,2,3,4 \right\}[/latex]. Найти порядок группы.
    Ответ: [latex]\left|G \right|=4[/latex]
  2. Пусть [latex]\left(G,* \right)[/latex] — группа, где [latex]G=\mathbb N[/latex]. Найти порядок группы.
    Ответ: [latex]\left|G \right|=\infty[/latex]

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 247
  3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 142-143

Порядок группы

Тест для проверки знаний по теме «Порядок группы»

Таблица лучших: Порядок группы

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Бинарная алгебраическая операция


Пусть $n\in\mathbb{N}$ и $A\ne\varnothing$, тогда $n$-арной операцией $*$, определенной на множестве $A$,
называется отображение $*:A^{n}\to A$, такое что $\forall(a_{1}, a_{2}, … , a_{n})\in A^n$
$(a_{1}, a_{2}, … , a_{n})\xrightarrow{\text{ * }}a_{n+1}\in A$.

При $n=2$ операция называется бинарной алгебраической операцией (БАО).

Операция является БАО, если удовлетворяет следующим условиям:

  1. Всюдуопределенность: к любой паре $a$ и $b$ можно применить операцию $*$;
  2. Однозначность: элемент, который ставится в соответствие паре — единственный;
  3. Замкнутость: элемент, который ставится в соответствие паре $a$, $b$ также принадлежит рассматриваемому множеству;

$$\forall a,b\in A \exists!c: (a,b)\xrightarrow{*}c \wedge c\in A $$

Примеры БАО:

  • «+» на множествах $\mathbb{Z, R, Q}$
  • «$\times$» на множествах $\mathbb{Z, R, Q}$
  • $*$ на $A=\mathbb{Z}, \forall a,b \in A, a*b=(a+b)^2$
  • «+» на $A=\mathbb{R^2}$, $\forall(a,b), (c,d)\in A$: $(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)$

Литература:

  • Конспект лекций Г.С. Белозерова
  • Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
  • Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

В каждом задании теста необходимо определить, является ли операция БАО.

Таблица лучших: БАО

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных