Задача из журнала «Квант» (1980 год, 12 выпуск)

Условие

В квадрате со сторо­ной $1$ проведено конечное чис­ло отрезков (рис. $1$), парал­лельных его сторонам. Отрез­ки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведен­ных отрезков равна $18$. Дока­жите. что среди частей, на которые квадрат разбивается этими отрезками, найдется такая, площадь которой не меньше $0.01$

Решение

Сумма длин границ всех частей, на которые квадрат разбит отрезками, равна $2 \cdot 18+4=40 $ (длины проведенных отрезков входят в эту сумму по два раза, длины сторон квадрата — по одному). Пусть для $i$-й части сумма длин горизонтальных границ равна $x _{i}$, вертикальных — $2y_{i}$, а площадь $i$-й части равна $c_{i}^{2}$ $\left( c_{i} > 0 \right)$ : тогда $x _{i}y_{i} \geq c_{i}^{2}$ (рис. $2$), поэтому $x_{i}+y_{i}\geq2\sqrt{ x_{i}y_{i}} \geq 2c_{i}$. Итак, $40= \sum (2x_{i}+2y_{i})\geq4 \sum c_{i}$, откуда $ \sum c_{i}\leq10$ (здесь сумма $\sum$ берется но всем частям разбиении).

Если $c_{i}^{2}<0.01$ (то есть $c_{i}<0.1$) для всех $i$, то $1= \sum c_{i}^{2} < \sum 0.1 c_{i} = 0.1 \sum c_{i}$ , откуда $\sum c_{i}\geq10$. Противоречие. Очевидно, оценка $18$ — точная: восемнадцатью отрезками длины $1$ наш квадрат можно разбить на $100$ одинаковых квадратиков площади $0.01$ каждый.

А.Анджан

Задача о выпуклых многоугольниках

Условие

а) Внутри выпуклого многоугольника площади $S_1$ и периметра $P_1$ расположен выпуклый многоугольник площади $S_2$ и периметра $P_2$. Докажите неравенство $$2\dfrac{S_1}{P_1}>\dfrac{S_2}{P_2}$$.

б)Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для выпуклых многогранников.

Решение

а) Заметим сначала, что для треугольников справедливо более сильное утверждение $\dfrac{S_1}{P_1}>\dfrac{S_2}{P_2}$. Это почти очевидно, так как $\dfrac{2S_1}{P_1}$ и $\dfrac{2S_2}{P_2}$ — радиусы кругов, вписанных в эти треугольники.

Для доказательства общего утверждения воспользуемся двумя фактами, которые мы докажем ниже:

1. Во всякий выпуклый многоугольник площади $S$ и периметра $P$ можно поместить круг радиуса $R>\dfrac{S}{P}$;
2. Для любого круга, содержащегося в данном многоугольнике $R\leqslant\dfrac{2S}{P}$.

Из $1.$ и $2.$ сразу следует утверждение а): поместим во внутренний многоугольник круг радиуса $R>\dfrac{S_2}{P_2}$; поскольку $R\leqslant\dfrac{2S_1}{P_1}$, получаем требуемое.

Докажем $1.$ Построим на каждой стороне (выпуклого) многоугольника прямоугольник с высотой $h = \dfrac{S}{P}$ (рис. $1$; $S$ — площадь, $P$ — периметр многоугольника). Эти прямоугольники перекрываются: они могут даже «вылезать» за пределы многоугольника. Поскольку суммарная площадь прямоугольников равна $S$, площадь покрытой ими части многоугольника меньше $S$. Поэтому найдётся непокрытая точка, удаленная от всех сторон на расстояние $R>h$

Рис. $1$

Докажем $2.$ Пусть $O$ — центр круга радиуса $R$, содержащегося в многоугольнике (рис. $2$). Поскольку длины высот треугольников с вершиной $O$, основаниями которых служат стороны многоугольника не меньше $R$, получаем $S\geqslant\dfrac12PR$. Поэтому $R\leqslant\dfrac{2S}{P}$. (Заметим, что если для какого-то круга, содержащегося в многоугольнике, $R=\dfrac{2S}{P},$ то этот круг вписан в многоугольник — докажите это!).

Рис. $2$

В пространственном случае можно доказать, что если выпуклый многогранник объёма $V_1$ и площади поверхности $S_1$ содержит выпуклый многогранник объёма $V_2$ и площади поверхности $S_2$, то $3\dfrac{V_1}{S_1}>\dfrac{V_2}{S_2}$.

Доказательство получается заменой слов: периметр — площадь поверхности, площадь — объём, круг — шар, треугольник — пирамида, прямоугольник — призма. Заметим, что константы $2$ (для плоского случая) и $3$ (для пространственного) нельзя заменить меньшими. Примеры, подтверждающие это, показаны на рисунках $3$ и $4$ (узкий прямоугольник внутри узкого длинного прямоугольника и узкая призма внутри узкой высокой призмы).

А. Келарев