Рубрика: Курсовая работа

Материалы к написанию курсовых работ

Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим числовой ряд с бесконечным множеством положительных и бесконечным множеством отрицательных членов. Такой ряд называется знакопеременным рядом.

Запишем произвольный знакопеременный ряд
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_{n}$ $(1)$,
где числа $a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n},…$ являются как положительными, так и отрицательными, причем располагаются они в ряде произвольно. Так же рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
$|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ $(2)$.
Для знакопеременных рядов справедлива следующая Теорема:

Теорема 1

Если ряд $(2)$ сходится, то сходится и ряд $(1)$.

Доказательство

Предположим, что ряд $(2)$ сходится. Обозначим через $S_{n}$ частичную сумму ряда $(1)$, а через $\sigma_{n}$ частичную сумму ряда  $(2)$. Тогда: $S_{n} = a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}$;

$\sigma_{n} = |a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|$. Так как ряд  $(2)$ сходится, то последовательность его частичных сумм ${\sigma_{n}}$ имеет предел $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sigma_{n}=\sigma$, при этом для любого $n$ справедливо неравенство

$\sigma_{n}\leq\sigma$ $(3)$,
Поскольку члены ряда  $(2)$ неотрицательны.
Обозначим через $S{}’_{n}$ сумму положительных членов, а через $S{}»_{n}$ сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме $S_{n}$.
Тогда
$S_{n}=S{}’_{n}-S{}»_{n}$ $(4)$,
$\sigma_{n}=S{}’_{n}+S{}»_{n}$ $(5)$.
Видно, что последовательности ${S{}’_{n}}$ и ${S{}»_{n}}$ не убывают, а из равенства $(5)$ и неравенства $(3)$ следует, что они являются ограниченными: $S{}’_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$ и $S{}»_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$. Следовательно, существуют $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}=S{}’$ и $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}_{n}»=S{}»$. Но в таком случае, в силу равенства $(4)$, последовательность частичных сумм ряда $(1)$ имеет предел
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }(S{}’_{n}-S{}»_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}»_{n}=S{}’-S{}»$.

Это означает, что ряд $(1)$ сходится. $\blacksquare$

Пример 1

Ряд $1-\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{6^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+…$ согласно доказанной Теореме 1 сходится, т. к. сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+…$
Ниже представлен график поведения первых двадцати, составленных из абсолютных величин, членов ряда
Пример 1(абсолют.сход.)
Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходим, т. к. существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так, например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}-1^{n+1}\frac{1}{n}$ согласно признаку Лейбница сходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

Ряд с действительными или комплексными членами $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется абсолютно сходящимся, если сходиться ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$.

Ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется условно сходящимся, если этот ряд сходиться, а ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$ расходиться.

Спойлер

Пример 2

Ряд $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ условно сходящийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин, $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ расходится.
Можно заметить, что свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов имеют некоторые отличия. Так, например, в условно сходящихся рядах, сумма ряда не равна сумме положительных и отрицательных членов ряда, но для абсолютно сходящихся это свойство справедливо, что можно было увидеть при доказательстве Теоремы 1.

[свернуть]

Литература

Абсолютная и условная сходимость рядов

Предлагаем Вам пройти тест на тему «Абсолютная и условная сходимость рядов».


Таблица лучших: Абсолютная и условная сходимость рядов

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о смешанных производных

Теорема 1(для функции двух переменных)

Пусть функция $f(x,y)$ определенна со своими частными производными ${ f }_{ x },{ f }_{ y },{ f }_{ xy },{ f }_{ yx }$ в некоторой окрестности точки $({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$, и при этом ${ f }_{ xy }$ и  ${ f }_{ yx }$ непрерывны в этой точке. Тогда  эти производные равны ( результат не зависит от порядка дифференцирования). \begin{equation}{ f }_{ xy }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })={ f }_{ yx }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) \end{equation}
Доказательство

Пусть $f(x,y)$ определенна со своими частными производными ${ f }_{ x },\;{ f }_{ y },\;{ f }_{ xy },\;{ f }_{ yx }$ в некоторой $\delta-$окрестности точки $({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ и пусть $\Delta x$ и $\Delta y$ зафиксированы так, что образуют шар с радиусом $\delta$ $(\Delta { x }^{ 2 }+\Delta { y }^{ 2 }<{ \delta }^{ 2 })$. (Под $\Delta x $ будем понимать приращение функции  $f$ по аргументу $x$. Аналогично определим $\Delta y$)
Положим:
$$
{ \Delta  }_{ xy }f={ \Delta  }_{ x }({ \Delta  }_{ y }f),  { \Delta  }_{ yx }f={ \Delta  }_{ y }({ \Delta  }_{ x }f)
$$
и докажем, что $${ \Delta }_{ xy }f={ \Delta }_{ yx }f\label{2}$$
Действительно,
$$
\begin{aligned}
{ \Delta }_{ xy }f&={ \Delta }_{ x }({ \Delta }_{ y }f)={ \Delta }_{ x }[f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })]=\\
&=[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })]-\\
&-[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })]
\end{aligned}\label{3}
$$
(т.е. ${ \Delta }_{ xy }f$ это приращение функции $f$ сперва по $y$ а затем по $x$)
Аналогично
$$
\begin{aligned}
{ \Delta }_{ yx }f&={ \Delta  }_{ y }({ \Delta  }_{ x }f)=\\
&=[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta  }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta  }y)-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }+{ \Delta  }y)]-\\
&-[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta  }x,{ y }_{ 0 })-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })]
\end{aligned}\label{4}
$$
Сравнивая (\ref{3}) и (\ref{4}), убедимся в справедливости (\ref{2}).
Положим приращение функции $f$ по переменной $y$ как функцию одной переменной по $x$. Пусть $\varphi (x)=f(x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-f(x,{ y }_{ 0 })$. Тогда ${ \Delta }_{ xy }f$ можно записать в виде:
$$
{ \Delta }_{ xy }f=\varphi ({ x }_{ 0 }+\Delta x)-\varphi ({ x }_{ 0 })
$$
Так как , по условию существует производная ${ f }_{ x }$  то функция $\varphi (x)$ дифференцируема на отрезке $[{ x }_{ 0 },{ x }_{ 0 }+{ \Delta }x]$
Воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных приращениях, получим:
$$
{ \Delta  }_{ xy }f=\varphi ({ x }_{ 0 }+\Delta x)-\varphi ({ x }_{ 0 })={ \varphi  }^{ \prime  }({ x }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 1 }\Delta x)\Delta x,\quad 0<{ \theta  }_{ 1 }<1 $$
А поскольку $\varphi (x)$ функция по переменной $x$, то ее производная будет: $${ \varphi  }^{ \prime  }(x)={ f }_{ x }(x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-{ f }_{ x }(x,{ y }_{ 0 })$$
тогда мы можем записать ${ \Delta}_{ xy }f$ как
$$
{ \Delta }_{ xy }f=[{ f }_{ x }({ x }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 1 }\Delta x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-{ f }_{ x }({ x }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 1 }\Delta x,{ y }_{ 0 })]\Delta x
$$
Применим опять формулу конечных приращений Лагранжа, но теперь по переменной $y$, получим:
$$
{ \Delta  }_{ xy }f={ f }_{ xy }({ x }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 1 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 2 }\Delta y)\Delta x\Delta y,\quad 0<{ \theta  }_{ 1 },{ \theta  }_{ 2 }<1
$$
Сделаем абсолютно аналогичные действия, но уже начнем с переменно $x$. Т.е, положим приращение $f$ по переменной $x$ в функцию одной переменной по $y$
$$
\psi (y)=f({ x }_{ 0 }+\Delta x,y)-f({ x }_{ 0 },y)
$$
Также выразим ${ \Delta }_{ yx }f$ через $\psi (y)$, затем применим дважды формулу конечных приращений Лагранжа ( сначала по y, затем по x ).  В итоге получим:
$$
{ \Delta  }_{ yx }f={ f }_{ yx }({ x }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 4 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 3 }\Delta y)\Delta x\Delta y,\quad 0<{ \theta  }_{ 3 },{ \theta  }_{ 4 }<1
$$
Согласно равенству (2) правые части равенств равны. Приравняем их и сократим на $\Delta x\Delta y$ (т.к. $\Delta x\neq 0$ и $\Delta y\neq 0$), получим
$$
{ f }_{ xy }({ x }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 1 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 2 }\Delta y){ =f }_{ yx }({ x }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 4 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta  }_{ 3 }\Delta y),\quad { 0<\theta  }_{ 1 }{ ,\theta  }_{ 2 },{ \theta  }_{ 3 },{ \theta  }_{ 4 }<1
$$
Так как частные производные ${ f }_{ xy }$ и ${ f }_{ yx }$ непрерывны в точке $({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$, перейдем к пределу. Так как ${ \theta }_{ i }$-бесконечно малая то в итоге получим:
$$
{ f }_{ xy }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }){ =f }_{ yx }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }),
$$
что и требовалось доказать.

[свернуть]
Пример

Найти смешанные производные второго порядка функции ${ z={ x }^{ 4 } }-2{ x }^{ 2 }y^{ 3 }+{ y }^{ 5 }+1$

${ { z }_{ x }^{ \prime }={ 4x }^{ 3 } }-4{ x }y^{ 3 }$

${ { z }_{ y }^{ \prime }= }5{ y }^{ 4 }-6{ x }^{ 2 }y^{ 2 }$

${ { z }_{ yx }^{ \prime }= }-12{ x }y^{ 2 } \quad \quad \quad { { z }_{ xy }^{ \prime }= }-12{ x }y^{ 2 }\quad \quad { \Rightarrow \quad }{ z }_{ yx }^{ \prime }={ z }_{ xy }^{ \prime }$

[свернуть]
Контрпример

(пример Шварца):
 
$f(x,y)=\begin{cases} xy\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } \quad \quad { x }^{ 2 }+y^{ 2 }>0 \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad x=y=0 \end{cases}$

${ f }_{ xy }(0,0)=-1\quad \quad \quad \quad{ f }_{ yx }(0,0)=1$

[свернуть]

Теперь сформулируем общую теорему. Ее можно несложно доказать с помощью индукции.

Теорема 2 (обобщение)

Если у функции $n$ переменных смешанные частные производные $m$-го порядка непрерывны в некоторой точке, а производные низших порядков непрерывны в окрестности этой точки, то частные производные порядка $m$  не зависят от порядка дифференцирования.
Замечание 1
Данная теорема справедлива ввиду того, что любые две последовательности дифференцирования, такие, что по каждому фиксированному аргументу они содержат одно и то же суммарное число дифференцирований, можно свести один к другому за конечное число шагов. При этом, в каждом шаге будет меняться порядок дифференцирования лишь по двум переменным, а другие останутся фиксированными. Т.е. каждый раз мы будем рассматривать изменение порядка дифференцирования лишь для двух переменных — а значит будет выполняться Теорема 1.

[свернуть]

Пример

Докажем что ${ f }_{ xyz }={ f }_{ zxy }$
Последовательно меняем порядок дифференцирования, применяя Теорему 1:
${ f }_{ xyz }={ ({ f }_{ x }) }_{ yz }={ ({ f }_{ x }) }_{ zy }={ ({ f }_{ xz }) }_{ y }={ ({ f }_{ zx }) }_{ y }={ { f }_{ zxy }
}$

[свернуть]

Замечание 2

На первый взгляд, кажется что теорема практически бесполезна. Якобы, что для того, чтобы установить равенство смешанных производных — надо утверждать их непрерывность, а для этого их требуется найти. А найдя смешанные производные, не составляет труда и так проверить их на равенство. Однако, о непрерывности функции можно иногда судить на основании некоторых общих теорем, не прибегая к конкретному вычислению. Например, мы знаем, что все элементарные функции многих переменных непрерывны в своей области определения. С другой стороны, частные производные элементарных функций сами являются элементарными, поэтому,если частная производная некоторой элементарной функции определена на некоторой окрестности какой-либо точки, то эта производная и непрерывна в каждой точке данной окрестности.

[свернуть]

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Теорема о смешанных производных

Тест, на понимание темы «Теорема о смешанных производных»

Таблица лучших: Теорема о смешанных производных

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Признаки Абеля и Дирихле сходимости числовых рядов

Рассмотрим ряд:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}+…$ $(1)$

где ${a_{n}}$ и ${b_{n}}$ — две последовательности вещественных чисел.

Следующие теоремы содержат достаточное условие сходимости ряда $(1)$.

Теорема (Признак Дирихле)

Ряд $(1)$ сходится, если выполнятся $2$ условия:

  1. Последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$- ограничена, т.е $\exists$ $C > 0$ такое, что $|b_{1}+b_{2}+…+b_{n}| \leq C$, $\forall$ $n \in \mathbb{N}$.
  2. Последовательность ${a_{n}}$ монотонно стремится к нулю, т.е. $a_{n+1} \geq a_{n}$ $n \in \mathbb{N}$ или $a_{n+1} \leq a_{n}$ $n \in \mathbb{N}$ и $\lim\limits_{n \rightarrow \infty }a_{n} = 0$.

Доказательство

Покажем, что для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$ выполняется условие Коши, т.е: $\forall$$\varepsilon>0$ $\exists$ $N_{\varepsilon}$: $\forall$$n\geq$$N_{\varepsilon}$,

$\forall$$p\epsilon$$N$$=>$ $|S_{n+p}-S_{n}|=$$|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}|<\varepsilon$

Пусть $A_{k}=a_{1}+a_{2}+…+a_{k}$, по условию $|A_{k}|<C$.

Используя преобразования Абеля, получим неравенства:

$|a_{n}b_{n}+a_{m+1}b_{m+1}+a_{m+2}b_{m+2}+…+a_{n-1}b_{n-1}+a_{n}b_{n}|=$
$=|b_{m}(A_{m}-A_{m-1})+b_{m+1}(A_{m+1}-A_{m})+b_{m+2}(A_{m+2}-A_{m+1})+…+b_{n-1}(A_{n-1}-A_{n-2})+b_{n}(A_{n}-A_{n-1})|=$
$=|-b_{m}A_{m-1}+(b_{m}-b_{m+1})A_{m}+(b_{m+1}-b_{m+2})A_{m+1}+…+(b_{n-1}-b_{n})A_{n-1}+b_{n}A_{n}|<$
$<b_{m}C+(b_{m}-b_{m-1})C+…+(b_{n-1}-b_{n})C+b_{n}C=2bmC<\varepsilon$, $m\geq$$n_{0}$; $|A_{k}|<C$

Следовательно, условия Коши выполнены, поэтому ряд сходится. $\blacksquare$

Спойлер

$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\sin n\alpha }{n}}$.
Прежде всего, если $\alpha \neq 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$, то $\sum\limits_{ k = 1}^{n}{\sin k \alpha } = \sum\limits_{k = 1}^{n}{\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\sin k \alpha }{{2}\sin \frac{\alpha }{2}}} = \frac{\sum\limits_{k = 1}^{n}{\left[\cos k — \frac{1}{2} \alpha — \cos k + \frac{1}{2} \alpha\right]}}{2\sin \frac{\alpha }{2}} = \frac{\cos \frac{1}{2} \alpha — \cos n + \frac{1}{2} \alpha }{2\sin \frac{\alpha }{2}} = \frac{\sin \frac{n + 1}{2} \alpha \sin\frac{n}{2} \alpha }{ \sin \frac{\alpha }{2}}$ и следовательно, $\left|\sum\limits_{k = 1}^{n}{\sin k \alpha } \right|\leq \frac{1}{\left|\sin \frac{\alpha }{2} \right|}$. Если же $\alpha = 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$, то все члены сумм $\sum\limits_{k = 1}^{n}{\sin k \alpha }$ равны нулю, поэтому эти суммы при любом $n$ равны нулю и, следовательно , ограничены. Таким образом, при всех $\alpha$ суммы $\sum\limits_{k = 1}^{n}{\sin k \alpha }$ ограничены.

С другой стороны, последовательность $\frac{1}{n}$ монотонно убывает и стремится к нулю, поэтому, по признаку Дирихле, ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha }{n}}$ сходится при любом $\alpha$.

Аналогично этому ряду исследуется ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\cos n \alpha }{n}}$. Так при $\alpha \neq 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$ справедливо равенство $\sum\limits_{ k = 1}^{n}{\cos k \alpha } = \frac{1}{2\sin \frac{\alpha }{2}}\sum\limits_{k = 1}^{n}{ 2\sin \frac{\alpha }{2} \cos k \alpha } = \frac{1}{2\sin \frac{\alpha }{2}}\sum\limits_{k = 1}^{n}{ \left[ \sin k + \frac{1}{2\alpha } — \sin k — \frac{1}{2} \alpha \right]} = \frac{\sin n + \frac{1}{2 }\alpha — \sin \frac{\alpha }{2}}{2 \sin \frac{\alpha }{2}} = \frac{\sin \frac{na}{2} \cos \frac{n + 1}{2} \alpha }{\sin \frac{\alpha }{2}}$, то для указанных $\alpha $ выполняется неравенство $\left|\sum\limits_{k = 1}^{n}{\cos k \alpha } \right|\leq \frac{1}{\left|\sin \frac{\alpha }{2} \right|}$ и, следовательно по принципу Дирихле , ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\cos n \alpha }{n}}$ сходится при всех $\alpha \neq 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$. Если же $\alpha = 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$, то ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\cos n \alpha }{n}}$ в отличие от ряда $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha }{n}}$ расходится, так как он превращается в гармонический ряд.

[свернуть]

Теорема (Признак Абеля)

Пусть дан ряд $(1)$. Он сходится, если выполняются $2$ условия:

  1. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$- сходится.
  2. Числа {$a_{n}$} образуют монотонную и ограниченную последовательность, удовлетворяющую условиям $a_{n+1} \geq a_{n}$ или $a_{n+1} \leq a_{n}$ $n \in \mathbb{N}$.

Доказательство

По теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности

$\exists$ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\Leftrightarrow$ $\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}-a)=0\Rightarrow$ ${a_{n}-a}$- монотонно стремится к нулю.

Из сходимости $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}\Rightarrow$ ${B_{n}}$- огр.
Тогда, по признаку Дирихле ряд: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}-a)b_{n}$- сходится.
Отсюда следует, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}-a)b_{n}+a\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$- сходится, как сумма двух рядов.
Теорема доказана. $\blacksquare$

Спойлер

$\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha \cos \frac{\Pi }{n}}{\ln \ln n}}$

Заметим, что ряд $\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha }{\ln \ln n}}$ сходится согласно признаку Дирихле: Последовательность $\frac{1 }{\ln \ln n}$ монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\sin n \alpha }$ ограничена.

Последовательность $\cos \frac{\Pi }{n}, n = 2,3 … $, монотонна, поэтому, по признаку Абеля, ряд $\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha \cos \frac{\Pi }{n}}{\ln \ln n}}$ сходится при всех $\alpha $.

[свернуть]

Литература

Тест на тему: Признаки Абеля и Дирихле

Тест на тему: признаки Абеля и Дирихле.


Таблица лучших: Тест на тему: Признаки Абеля и Дирихле

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Минимальное свойство частичных сумм рядов Фурье. Неравенство Бесселя.

Теорема (о минимальном свойстве частичных сумм ряда
Фурье). Среди всех сумм вида $\sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k$
k=1 ckϕk наименьшее отклонение по норме данного евклидова пространства от элемента $f$ имеет n-я частичная сумма ряда Фурье элемента $f$, т. е.
$$\inf\limits_{c_1,…,c_n \in \mathbb{R}}\left \| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|= \left \| f- \sum\limits_{k=1}^{n}a_k\varphi_k \right \|$$
$a_k$ – коэффициенты Фурье функции $f, n \in \mathbb{R} $.
Доказательство.
Так как $\{\varphi_k\}$ ортонормированная система
$${\left\| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|}^2 = \left ( f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k, f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right) = $$ $$=\sum\limits_{k=1}^{n}c_k^2 — 2\sum\limits_{k=1}^{n}c_k(f,\varphi_k)+(f,f)
=$$ $$= \sum\limits_{k=1}^{n}(c_k-(f,\varphi_k))^2 -\sum\limits_{k=1}^{n}(f,\varphi_k)^2 +(f,f) \ge (f,f)-\sum\limits_{k=1}^{n}(f,\varphi_k)^2$$
Равенство достигается тогда и только тогда, когда $c_k=(f,\varphi_k)$
Следствие 1
Если $\{a_k\}$ — коэффициенты Фурье функции $f$ по некоторой системе $\{\varphi_k\}$,то
$${\left\| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|}^2 = {\|f\|}^2 -\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2$$
Следствие 2 — неравенство Бесселя
Если $\{a_k\}$ — коэффициенты Фурье функции $f$ по некоторой ортонормированной системе, то
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k^2 \le {\|f\|}^2$$
(Вытекает из следствия 1 при $n \to \infty$ )
Литература

  • Конспект Кореновского А.А.
  • В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу в двух частях, ч.2, 2010

Ортонормированные системы в Гильбертовых пространствах. Ряды Фурье по ортонормированным системам.

Ортогональные системы функций.
Система функций $\Phi=\{\varphi_n\}_{n=0}^{\infty}$ называется ортогональной на $[a,b]$, если $\varphi_n \in R[a,b]$ и $\int\limits_a^b \varphi_n(x)\varphi_m(x) dx = 0 (n \neq m)$, $\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx > 0$
Если $\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx=1$, то система называется ортонормированной.
Пример:
Тригонометрическая система $$1, \cos{x}, \sin{x},…, \cos{nx},\sin{nx},… ;x\in [-\pi,\pi]$$
Ряд Фурье по ортогональной системе.
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$, а $\{\varphi_k(x)\}$— ортогональная на $[a,b]$ система непрерывных функций, при чем ни одна из них тождественно не равна нулю на отрезке $[a,b]$. Говорят, что функция $f(x)$ разложена на отрезке $[a,b]$ по ортогональной системе функций $\{\varphi_k(x)\}$ в сходящийся ряд, если существует числовая последовательность $\{a_k\}$, такая, что функциональный ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x) $сходится к $f(x)$, то есть $f(x)$= $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x)$, $x \in [a,b]$ (1)
Лемма
Если функциональный ряд (1) сходится равномерно на $[a,b]$, то справедливо: $a_n=\frac{\int\limits_a^b f(x)\varphi_n(x) dx}{\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx}$, $n \in \mathbb{N}$
Доказательство:
Так как $\varphi_n(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то она ограничена(по теореме Вейерштрасса). При умножении ограниченной функции на равномерно сходящийся ряд, получим равномерно сходящийся ряд, поэтому
$$f(x)\varphi_n(x)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x)\varphi_n(x)$$
По теореме о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда, и так как $\varphi_k(x)$ ортогональны на $[a,b]$, получаем
$$\int\limits_a^b f(x)\varphi_n(x) dx = \int\limits_a^b(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x))\varphi_n(x)dx =\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\int\limits_a^b \varphi_k(x)\varphi_n(x) dx = $$
$$=a_n\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx $$
Отсюда и следует формула для коэффициентов $a_n$, поскольку функция $\varphi_n(x)$ тождественно не равна нулю и непрерывна на $[a,b]$.
Числа $a_n$ называются коэффициентами Фурье, а ряд (1) —рядом функции $f(x)$ по ортогональной системе функций$ \{\varphi_k\}$
Ряд Фурье функции $f(x)$ по тригонометрической системе на отрезке $[-l,l]$будем записывать в виде
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\cos{\frac{k\pi x}{l}}+b_k\sin{\frac{k\pi x}{l}}$$
Коэффициенты $a_k$ и $b_k$ можно вычислить по формулам:
$$a_0 = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x) dx$$
$$a_n = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x)\cos{\frac{n\pi x}{l}} dx$$
$$b_n = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x)\sin{\frac{n\pi x}{l}} dx , n \in \mathbb{N}$$
В частности, при $l = \pi$
$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$$
$$a_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{nx} dx$$
$$b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{nx} dx , n \in \mathbb{N}.$$
Литература