Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл

Перед прочтением данной статьи прошу вас ознакомиться с предыдущими тесно связанными темами в одном из учебников:

Пусть в область $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ задано векторное поле, то есть каждой точке из $\Omega$ поставлен в соответствии вектор из ${\mathbb{R}}^{n}$. Это можно записать следующим образом,

$$F(x)=({\varphi}_{1}({x}_{1},…,{x}_{n}),…, {\varphi}_{n}({x}_{1},…,{x}_{n})),$$
где $F$ — векторное поле и $F(x)\in {\mathbb{R}}^{n}$.

Если функции ${\varphi }_{i}$ $(i=1,…,n)$ непрерывные и непрерывно дифференцируемы в области, то поле $F$ также непрерывно и непрерывно дифференцировано в области $\Omega$.

Определение

Если в области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ задано непрерывное векторное поле $F=({\varphi}_{1},…,{\varphi}_{n})$, а $r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ — уравнение кусочно гладкой кривой $\Gamma$, которая лежит в области $\Omega$, то интеграл:

$$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)), r^\prime(t))\,dt\equiv$$ $$\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}(({\varphi}_{1}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)),…,{\varphi}_{n}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t))), r^\prime(t))\,dt\equiv$$ $$\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}[{\varphi}_{1}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)){x^\prime}_{1}(t)+…+{\varphi}_{n}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)){x^\prime}_{n}(t)]\,dt.$$

называется криволинейным интегралом II рода от векторного поля $F$ вдоль кривой $\Gamma$.

Рассмотрим также частный случай когда $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$. В этом случае можно обозначить $F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$, где $\Gamma: r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $(\alpha \leq t\leq \beta)$. Тогда интеграл имеет следующий вид:
$$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr) =\int\limits_{\Gamma}^{}P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz=$$ $$=\int\limits_{\alpha}^{\beta}[P(x(t),y(t),z(t))x^\prime(t) +Q(x(t),y(t),z(t))y^\prime(t)+$$ $$+R(x(t),y(t),z(t))z^\prime(t)]\,dt.$$

Свойства криволинейных интегралов II рода:

Рассматривать свойства будем для области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$, так как для $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ $(n\geq 3)$ изменения очевидны.

  1. Криволинейный интеграл II рода не зависит от способа параметризации кривой

    [spoilergroup]

    Доказательство

    Пусть $\Gamma: r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ и $\Gamma: \rho=\rho(\tau)$ $(a\leq\tau\leq b)$, то $t=t(\tau), t(a)=\alpha, t(b)=\beta$ и $t$ — кусочно гладкая непрерывно дифференцируемая функция переменной $\tau$. Тогда:

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}[P(x(t),y(t),z(t))x^\prime(t)+$$ $$+Q(x(t),y(t),z(t))y^\prime(t)+$$ $$+R(x(t),y(t),z(t))z^\prime(t)]\,dt=$$ $$=\int\limits_{a}^{b}[P(x(t(\tau)),y(t(\tau)),z(t(\tau)))x^\prime(t(\tau))+$$ $$+Q(x(t(\tau)),y(t(\tau)),z(t(\tau)))y^\prime(t(\tau))+$$ $$+R(x(t(\tau)),y(t(\tau)),z(t(\tau)))\cdot z^\prime(t(\tau))]\,d\tau=$$ $$=\int\limits_{a}^{b}[P(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))\tilde{x}^\prime(\tau)+$$ $$+Q(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))\tilde{y}^\prime(\tau)+$$ $$+R(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))\tilde{z}^\prime(\tau)]\,d\tau=$$ $$=\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,d\rho),$$

    где $r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$, $\rho(\tau)=(\tilde{x}(\tau),\tilde{y}(\tau),\tilde{z}(\tau))$ $(a\leq\tau\leq b)$.

    [свернуть]

    [/spoilergroup]

    Замечание.

    Это доказательство имеет место только в том случае, когда $r=r(t)$ и $\rho=\rho(\tau)$ определяют одну и ту же кривую $\Gamma$ и имеют одну и ту же ориентацию.

  2. Криволинейный интеграл II рода при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=-\int\limits_{{\Gamma}^{-}}^{}(F,\,dr).$$
    [spoilergroup]

    Доказательство

    Пусть $\Gamma: r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ и ${\Gamma}^{-}: \rho=r(\alpha+\beta-t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$. Тогда $\rho^\prime(t)=-r^\prime(\alpha+\beta-t)$. Отсюда получаем:

    $$\int\limits_{{\Gamma}^{-}}^{}(F,\,dr)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(\rho(t)),\rho^\prime(t))\,dt=$$ $$=-\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(r(\alpha+\beta-t)),r^\prime(\alpha+\beta-t))\,dt =$$ $$=-\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(r(\tau)),r^\prime(\tau))\,d\tau=-\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr).$$

    [свернуть]

    [/spoilergroup]
  3. Криволинейный интеграл II рода аддитивен относительно кривой

    Если $\Gamma=({\Gamma}_{1},…,{\Gamma}_{N})$, то:

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=\sum_{i=1}^{N}\int\limits_{{\Gamma}_{i}}^{}(F,\,dr).$$

    Доказательство

    Следует из определения и свойства аддитивности определенного интеграла относительно области интегрирования

Физический смысл

Работа силы

Пусть $F(x,y,z)$ — силовое поле в области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$ и пусть кусочно гладкая кривая ${\Gamma}_{AB}\subset\Omega$ задана уравнением $r=r(t)$, $\alpha\leq t\leq\beta$. Если интерпретировать это уравнение, как закон движения материальной точки, то при таком движении сила, действующая на материальную точку, должна совершать работу. В том случае когда материальная точка движется в постоянном силовом поле с постоянной скоростью по прямой, параллельной вектору $l$, $|l|=1$, работа силы равна $(F,l)\Delta s$, где $\Delta s$ — пройденный путь.

curve3

Изображение вектора силы в случае движения точки по произвольной кусочно гладкой кривой

Теперь рассмотрим случай, когда поле силы непостоянно и точка движется в силовом поле по произвольной кусочно гладкой кривой ${\Gamma}_{AB}\subset\Omega:r=r(t)$, $(\alpha\leq t\leq\beta)$. Пусть $T$ — произвольное разбиение отрезка $[\alpha,\beta]$ точками $\alpha={t}_{0}<{t}_{1}<…<{t}_{n}=\beta$ и ему соответствует разбиение кривой ${\Gamma}_{AB}$ точками $A={A}_{0}\prec{A}_{1}\prec…\prec{A}_{n}=B$.

При движении по дуге ${\Gamma}_{{A}_{i-1}{A}_{i}}$ заменим силу $F$ постоянной силой $F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i}))$, а само движение по этой дуге заменим движением по касательной с постоянной скоростью $r^\prime({t}_{i})$. Тогда работа силы приближенно равна $(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i})\Delta{t}_{i})$.

Работа силы при движении материальной точки по кривой ${\Gamma}_{AB}$ приближенно равна следующей сумме:

$${\mathcal{A}}_{T}=\sum_{i=1}^{n}(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i}))\Delta{t}_{i},$$

где $\Delta{t}_{i}={t}_{i}-{t}_{i-1}$.

Предел суммы ${\mathcal{A}}_{T}$ при мелкости разбиения $l(T)$, стремящейся к нулю, естественно назвать работой силы $F$ при движении точки по кривой ${\Gamma}_{AB}$. Таким образом, работа силы:

$$\mathcal{A}=\lim_{l(T)\to 0}\sum_{i=1}^{n}(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i}))\Delta{t}_{i}=$$ $$=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(x(t),y(t),z(t)),r^\prime(t))\,dt=\int\limits_{{\Gamma}_{AB}}^{}(F,\,dr).$$

Литература

Криволинейные интегралы второго рода

Чтобы убедиться в том что вы усвоили данный материал советую пройти этот тест.


Таблица лучших: Криволинейные интегралы второго рода

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций

Перед тем прочтением данной статьи следует просмотреть следующий материал определение многочлена Тейлора, Остатки формулы Тейлора, Коэффициенты Тейлора, ряд Тейлора.

Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора

Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки $x_{0}=0$, т.е. в ряд вида $f(x)=$$\sum\limits _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } } { x }^{ n }$ (1), который называется рядом Маклорена.

Показательная и гиперболические функции

Пусть $f(x)=e^{x}$. Найдем производные функции: ${f}'(x)= e^{x}$, $f^{\prime\prime}( x )=e^{x}$,$\ldots$,$f^{(n)}(x)=e^{x}$. Тогда $0 < f(x) < e^{\rho }$, $0 < f^{(n)}(x) < e^{\rho }$ для любого $x\in(-\rho ,\rho )$, где $\rho > 0$ и для любого $n\in \mathbb{N}$.

Из теоремы о представлении функции в виде ее ряда Тейлора (Курс математического анализа, ст.437) следует, что ряд (1) для $f(x)=e^{x}$ сходится к этой функции на интервале $(-\rho ,\rho )$ при любом $\rho > 0$. Так как для функции $f(x)=e^{x}$ выполняются $f(0)=1$, $f^{(n)}(0)=1$ для всех $n\in \mathbb{N}$, то, по формуле (1), получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции:
$$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+ \ldots +\frac{x^{n}}{n!}+ \ldots = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}, x\in \mathbb{R} (2)$$

Используя разложение (2), синус и косинус $\text{sh} \, x=\frac{e ^{x}-e ^{-x}}{2}$, $\text{ch} \, x=\frac{e ^{x}+e ^{-x}}{2}$, находим:
$$\text{sh} \, x=x+\frac{x^{3}}{3!}+ \ldots +\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+ \ldots =$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, x\in \mathbb{R} (3)$$
$$\text{ch} \, x=1+\frac{x^{2}}{2!}+ \ldots +\frac{x^{2n}}{(2n)!}+ \ldots =$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}, x\in \mathbb{R} (4)$$
Радиус сходимости $R=+\infty $.

Тригонометрические функции

Пусть $f(x)=\sin x$. Найдем производные функции: ${f}'(x)= \cos x$, $f^{\prime\prime}(x)= -\sin x$,$\ldots$,$f^{(n)}(x)=\sin x$ при $n$ — четное. Тогда $\left | f^{(n)}(x) \right | \leq 1$, для любого $n\in \mathbb{N}$ и для любого $x\in \mathbb{R}$.

Из теоремы о представлении функции в виде ее ряда Тейлора (Курс математического анализа, ст.437) ряд (1) для $f(x)=\sin x$ сходится для любого $x\in (-\infty , \infty )$. Радиус сходимости $R=+\infty$.

Если $f(x)=\sin x$, то $f(0)=0$, $f^{(2n)}(0)=0$, ${f}'(0)=1$, $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^{n}$ для любого $n\in \mathbb{N}$, и, по формуле (1), получаем разложение в ряд Маклорена:
$$\sin x =x-\frac{x^{3}}{3!}+ \ldots +(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+ \ldots =$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, x\in \mathbb{R} (5)$$

Пусть $f(x)=\cos x$. Найдем производные функции: ${f}'(x)= -\sin x$, $f^{\prime\prime}(x)= -\cos x$,$\ldots$,$f^{(n)}(x)=\cos x$ при $n$ — четное. Тогда $\left | f^{(n)}(x) \right | \leq 1$, для всех $x\in \mathbb{R}$, $n\in \mathbb{N}$, $f(0)=1$, ${f}'(0)=0$, $f^{(2n)}(0)=(-1)$, $f^{(2n+1)}(0)=0$ для всех $n\in \mathbb{N}$. По формуле (1):
$$\cos x =1-\frac{x^{2}}{2!}+ \ldots +(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+ \ldots =$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, x\in \mathbb{R} (6)$$

Радиус сходимости $R=+\infty$.

Логарифмическая функция

Пусть $f(x)=\ln(1+x)$. Тогда $$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{(n-1)}(n-1)!}{(1+x)^{n}} (7),$$ откуда находим $$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{(-1)^{(n-1)}}{n}.$$

Оценим остаток по формуле остаточного члена в интегральной форме: $$r_{n}=\frac{1}{n!}\int\limits_{0}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt=\frac{x^{(n+1)}}{n!}\int\limits_{0}^{1}(1-\tau )^{n}f^{(n+1)}(\tau x)d\tau.$$ Используя равенство (7), получаем $$r_{n}=(-1)^{n}x^{n+1}\int\limits_{0}^{1}\frac{(1-\tau )^{n}}{(1+\tau x)^{n+1}}d\tau.$$ Пусть $\left | x \right | < 1$. Тогда для $0\leq \tau \leq 1$ справедливы неравенства $\left | 1+\tau x \right |\geq 1-\tau \left | x \right |\geq 1-\tau$, $\left | 1+\tau x \right |\geq 1-\left | x \right |$. Отсюда следует, что при любом $n\in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $\left | 1+\tau x \right |^{n+1}\geq (1-\tau )^{n}(1-\left | x \right |)$. Используя предыдущее неравенство, получаем оценку остаточного члена: $$\left | r_{n}(x) \right |\leq \left | x \right |^{n+1}\int\limits_{0}^{1}\frac{d\tau }{1-\left | x \right |}=\frac{\left | x \right |^{n+1}}{1-\left | x \right |}\Rightarrow r_{n}(x)\rightarrow 0$$ при $n\rightarrow \infty$, если $\left | x \right |< 1.$

Пусть $x=1$. Тогда $\left | r_{n}(1) \right |=$$\int\limits_{0}^{1}\frac{(1-\tau )^{n}}{(1+\tau )^{n+1}}d\tau$$ \leq \int\limits_{0}^{1}(1-\tau )^{n}d\tau$$ =\frac{1}{n+1}$ $\rightarrow 0.$

Если $x\in (-1,1]$, то остаточный член $r_{n}(x)$ для функции $f(x)=\ln(1+x)$ стремится к нулю при $n\rightarrow \infty.$

В итоге получаем разложение в ряд Маклорена

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+ \ldots +(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}+ \ldots =$$ $$=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}, x\in \mathbb{R} (8)$$
Радиус сходимости $R=1.$

Степенная функция

Пусть $f(x)=(1+x)^{\alpha }$. Если $\alpha =0$, то $f(x)=1$, а если $\alpha =n$, где $n\in \mathbb{N}$, то $f(x)$-многочлен степени $n$, который можно представить в форме бинома Ньютона в форме конечной суммы:
$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}.$$ Покажем, что если $\alpha \neq 0$ и $\alpha \notin \mathbb{N}$, то функция $f(x)=(1+x)^{\alpha }$ представляется при каждом $x\in (-1,1)$ сходящимся к ней рядом Маклорена $$(1+x)^{\alpha }=\sum\limits_{n=0}^{\infty }C_{\alpha }^{n}x^{n} (9),$$ где $C_{\alpha }^{0}=1$, $C_{\alpha }^{n}=\frac{\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n+1))}{n!}$.

Так как $f^{(n+1)}(x)=\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n)(1+x)^{\alpha -n-1}$, то по формуле $r_{n}(x)=\frac{x^{(n+1)}}{n!}\int\limits_{0}^{1}(1-\tau )f^{(n+1)}(\tau x)d\tau$ получаем $$r_{n}(x)=A_{n}x^{n+1}\int\limits_{0}^{1}\left ( \frac{1-\tau}{1+\tau x} \right )^{n}(1+\tau x)^{\alpha -1}d\tau,$$ где $C_{n }=\frac{\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n)}{n!}.$

Выберем $m\in \mathbb{N}$ такое, чтобы выполнялось условие $\left | \alpha \right |\leq m$. Тогда для всех $n\geq m$ справедливо $\left | A_{n} \right |$$\leq \frac{m(m+1) \ldots (m+n)}{n!}$$\leq \frac{(m+n)!}{n!}=(n+1) \ldots (n+m)\leq (2n)^{m}$. Используя неравенства $\left | 1+\tau x \right |\geq 1-\tau \left | x \right |\geq 1-\tau$, $\left | 1+\tau x \right |\geq 1-\left | x \right |$, а также неравенство $\left | 1+\tau x \right |\leq 1+\left | x \right |$, получаем $0\leq \frac{1-\tau }{1+\tau x}\leq 1$.

Так как $\lim\limits_{t\rightarrow \infty }\frac{t^{m}}{a^{t}}=0$ при $\alpha > 1$, то $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{m}}{\left ( \frac{1}{\left | x \right |} \right )^{n+1}}=0$. Поэтому справедливо равенство $(1+x)^{\alpha }=\sum\limits_{n=0}^{\infty }C_{\alpha }^{n}x^{n}$. Радиус сходимости этого ряда $R=1$ при $\alpha \neq 0$ и $\alpha \notin \mathbb{N}.$

$$(1+x)^{\alpha }=$$ $$1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+ \ldots +\frac{\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n+1)}{n!}x^{n}+\ldots=$$$$1+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n+1)}{n!}x^{n}+\ldots, x\in \mathbb{R} (10)$$

    Частные случаи формулы (9):

  • $\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\ldots=\sum\limits_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}, x\in \mathbb{R}$
  • $\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }x^{n}, x\in \mathbb{R}$
Спойлер

Разложить функцию в ряд Маклорена.

$$f(x)=x\cos 3x$$
1

$\cos 3x=1-\frac{(3x)^2}{2!}+\frac{(3x)^4}{4!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{(3x)^{2n}}{(2n)!}+\ldots$

Раскрывая скобки, получим

$\cos 3x=1-\frac{3^{2}x^{2}}{2!}+\frac{3^{4}x^{4}}{4!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{3^{(2n)}x^{(2n)}}{(2n)!}+ \ldots $

Умножая левую и правую часть на $x$, получим

$x\cos 3x=x(1-\frac{3^{2}x^{2}}{2!}+\frac{3^{4}x^{4}}{4!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{3^{(2n)}x^{(2n)}}{(2n)!}+\ldots)$

Таким образом:

$f(x)=x\cos x=x-\frac{3^{2}x^{3}}{2!}+\frac{3^{4}x^{5}}{4!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{3^{(2n)}x^{(2n+1)}}{(2n)!}$

[свернуть]

Литература

  • Конспект З.М.Лысенко по математическому анализу
  • А.М.Тер-Крикоров, М.И.Шабунин «Курс математического анализа«, ст. 435-441, 158-165

    • Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций

    Для закрепления материала рекомендуется пройти этот тест

    Формула замены переменной в кратном интеграле

    Теорема (формула замены переменной в кратном интеграле)

    Пусть отображение $F : \Omega \to \mathbb{R}^n$, где $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ — открытое множество, заданное при помощи непрерывно дифференцируемых функций $x_i = \phi_i(u_1, \ldots, u_n), i = 1, \ldots, n$, является взаимно однозначным и удовлетворяет следующим условиям:

    1. производные $\frac{\partial \phi_i}{\partial u_i}$ ограничены в $\Omega$;
    2. производные $\frac{\partial \phi_i}{\partial u_i}$ равномерно непрерывны в $\Omega$;
    3. якобиан $J(u)$ отображения удовлетворяет при $u \in \Omega$ условию $\left|J(u)\right| \geq \alpha > 0$.

    Тогда, если $G$ — измеримый компакт с кусочно-гладкой границей, лежащий во множестве $\Omega$ и $f(x)$ — непрерывна на множестве $G’ = F(G)$, то справедлива следующая формула замены переменных в кратном интеграле:
    $$\int\limits_{G’} f(x)\,dx = \int\limits_G f(\phi_1(u), \ldots, \phi_n(u))\left|J(u)\right|\,du\quad(*),$$
    где $x = (x_1, \ldots, x_n),\quad u = (u_1, \ldots, u_n)$.

    Доказательство

    Для начала рассмотрим еще 2 вспомогательных свойства:

    1. Если $L \subset \Omega$ есть непрерывно дифференцируемая кривая, то ее образ $L’ = F(L)$ есть непрерывно дифференцируемая кривая.
    2. Если $G$ — область и $\overline{G} \subset \Omega$ (где $\overline{G}$ — замыкание области $G$), тогда ее образ $G’ = F(G)$. Образ границы $\Omega$ есть граница $\Omega’$.

    Первое свойство является простым следствием правила нахождения производной сложной функции, а второе — теоремы о неявных функциях.

    Рассмотрим доказательство для плоского случая (двойных интегралов). В силу свойств непрерывных функций образ $G’$ компакта $G$ при непрерывном и взаимно однозначном отображении $F$ является компактом, а по свойствам отображения $F$, указанным выше, граница компакта $G’$ является кусочно-гладкой кривой. Кусочно-гладкая кривая имеет жорданову меру нуль, а так как ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет жорданову меру нуль, то компакт $G’$ измерим, а оба интеграла в формуле $(*)$ существуют как интегралы от функций, непрерывных на компактах.

    Поскольку компакт $G$ лежит в открытом множестве $\Omega$, то границы этих множеств не пересекаются. Так как граница любого множества замкнута и граница ограниченного множества ограничена, то расстояние между границами множеств $G$ и $\Omega$ есть положительное число $\delta$.

    Примечание №1: под разбиением множества $A$ далее будем подразумевать совокупность измеримых множеств $\{A_1, \ldots, A_n\}$, таких что $A_1\cup \ldots \cup A_n = A$ и $A_i \cap A_j = \oslash, i \ne j$. Клеткой назовем множество вида $K = \{(x_1, \ldots, x_n)| a_i \leq x_i < b_i, 1 \leq i \leq n\}$, прямоугольником — клетку в пространстве $\mathbb{R}^2$.

    Пусть $P$ есть замкнутый квадрат, содержащий компакт $G$. Если разбить стороны квадрата $P$ на равные части длины $h < \delta$ (чтобы отсутствовали квадраты, содержащие одновременно элементы границ $G$ и $\Omega$), то и сам квадрат $P$ окажется разбит на квадратные клетки с площадью $h^2$. Разбиение квадрата $P$ порождает разбиение $T$ компакта $G.$ Если малый квадрат со стороной $h$ целиком лежит внутри компакта $G$, то он является элементом разбиения $T$, а если он содержит граничные точки $G$, то соответствующим элементом разбиения является пересечение этого квадрата с компактом $G.$ Отображение $F$ порождает разбиение $T’$ компакта $G’ = F(G)$, причем элементами разбиения $T’$ являются образы элементов разбиения $T$. При отбрасывании в интегральной сумме слагаемых, которым отвечают квадраты, имеющие непустое пересечение с множеством жордановой меры нуль, характер соответствующего предела при мелкости разбиения, стремящемся к нулю, не изменится (о чем свидетельствует соответствующая лемма, см. примечание №2). А значит, при написании интегральных сумм можно учитывать только слагаемые, соответствующие целым квадратам и их образам при отображении $F$, остальные квадраты будут иметь непустое пересечение с границей $G$. Так как отображение $F$ равномерно непрерывно, то мелкость разбиения $T’$ стремится к нулю, когда стремится к нулю мелкость разбиения $T$.

    Если малые квадраты $P_1, \ldots, P_n$ лежат внутри компакта $G$, то
    их образы $P_1′, \ldots, P_n’$ лежат внутри $G’$. Пусть $(u_i, v_i)$ — координаты точки, лежащей в левом нижнем углу квадрата $P_i$, a $(\phi(u_i, v_i),\psi(u_i, v_i))$ — образ этой точки при отображении $F$.

    Тогда можем записать интегралы, входящие в формулу $(*)$ как пределы интегральных сумм:
    $\iint\limits_{G’}f(x, y)\,dxdy = \lim\limits_{h \to 0} \sum\limits_{i=1}\limits^n{f(x_i, y_i,)m(P_i’)},$
    $\iint\limits_G f(\phi(u, v), \psi(u, v))\left|J(u, v)\right|\,dudv = $ $\lim\limits_{h \to 0} \sum\limits_{i=1}\limits^n{f(\phi(u_i, v_i), \psi(u_i, v_i))\left|J(u_i, v_i)\right|m(P_i)}.$

    Для доказательства формулы $(*)$ покажем, что разность этих интегральных сумм стремится к нулю при $h \to 0$. В силу леммы о геометрическом смысле модуля якобиана отображения,
    $\left|m(P_i’) — \left|J(u_i, v_i)\right|m(P_i)\right| \leq \alpha(h)m(P_i), \lim\limits_{h \to 0} \alpha(h) = 0$.
    Принимая во внимание, что $\phi(u_i, v_i) = x_i, \psi(u_i, v_i) = y_i, \left|f(x, y)\right| < M$ (последнее в силу того, что функция [latex]f[/latex] непрерывна на компакте, а значит и ограниченна на нем), получаем оценку для разности интегральных сумм:
    $\left|\sum\limits_{i=1}\limits^n{f(x_i, y_i)m(P_i’)} — \sum\limits_{i=1}\limits^n{f(\phi(u_i, v_i), \psi(u_i, v_i))\left|J(u_i, v_i)\right|m(P_i)}\right| \leq $ $\sum\limits_{i=1}\limits^n{\left|f(x_i, y_i)m(P_i’) — f(x_i, y_i)\left|J(u_i, v_i)\right|m(P_i)\right|} = $ $\sum\limits_{i=1}\limits^n{\left|f(x_i, y_i)\left|m(P_i’) — \left|J(u_i, v_i)\right|m(P_i)\right|\right|} \leq $ $M\sum\limits_{i=1}\limits^n{\alpha(h)m(P_i)} = $ $M\alpha(h)\sum\limits_{i=1}\limits^n{m(P_i)} \leq $ $M\alpha(h)m(G)$, из которой следует, что эта разность стремится к нулю при $h \to 0$ (т.к. $M$ и $m(G)$ — константы). Теорема доказана.

    Примечание №2: о геометрическом смысле модуля якобиана отображения можно прочитать, например, в курсе лекций по мат. анализу В.И. Коляда, А.А. Кореновский (т.2, стр. 219) или в Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» (стр. 471). Лемма об отбрасывании слагаемых в интегральной сумме также присутствует и доказана, например, в учебнике Тер-Крикорова, стр. 458.

    Замечание

    Нарушение условия взаимной однозначности на множестве меры нуль и обращение якобиана отображения в
    нуль на множестве меры нуль не влияют на справедливость формулы $(*)$ замены переменных в кратном интеграле. Такое множество $E$ меры нуль всегда можно накрыть клеточным множеством $A \subset G$ сколь угодно малой меры $\epsilon$, разбивающимся на квадраты. Из доказательства теоремы следует, что при отображении $F : G \to \mathbb{R}^n$ мера множества $A$ возрастет не более чем в [latex]c[/latex] раз, где $c$ — фиксированное. Поэтому найдутся такие константы $c_1$ и $c_2$, что $\left|\int\limits_{A’}f(x)\,dx\right| < c_1\epsilon, A’ = F(A),$ $\left|\int\limits_A f(\phi_1(u), \ldots, \phi_n(u))\left|J(u)\right|\,du\right| < c_2\epsilon, \forall \epsilon > 0.$ На множестве $G \setminus A$ условия теоремы выполнены, а так как интегралы $\int\limits_{G’}f(x)\,dx$ и $\int\limits_G f(\phi_1(u), \ldots, \phi_n(u))\left|J(u)\right|\,du$ отличаются на сколь угодно малое число, что следует из соответствующих неравенств, то они совпадают. Данное замечание является важным, в частности, при обосновании перехода к полярным, цилиндрическим и сферическим системам координат.

    [свернуть]

    Примеры

    Основными примерами использования данной формулы являются переход к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам для вычисления двойных и тройных интегралов.

    Литература

    Тест: формула замены переменной в кратном интеграле

    Для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме.


    Таблица лучших: Замена переменной в кратных интегралах

    максимум из 3 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Использование полярных, цилиндрических и сферических координат для вычисления кратных интегралов

    При вычислении кратных интегралов часто возникает необходимость перейти к более простой области интегрирования для упрощения их вычисления, возможно даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.

    Использование полярных координат

    Из курса аналитической геометрии известны следующие соотношения между декартовыми и полярными координатами: $x = r\cos\phi,\quad y = r\sin\phi\quad(*)$.
    При этом, $r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi$. Рассмотрим вспомогательную плоскость $RO\Phi$, где $r$ и $\phi$ являются декартовыми координатами, и определим на ней множество точек $G$, такое, что: $G = \{(r, \phi)| r > 0, 0 \leq \phi < 2\pi\}$.

    Тогда формулы $(*)$ определяют непрерывно дифференцируемое отображение $F : G \to \widetilde{XOY}$, где $\widetilde{XOY} = XOY \setminus\{(0, 0)\}$.

    По определению полярных координат, в декартовой системе координат $XOY$ $r$ задает радиус окружности с центром в начале координат, а $\phi$ определяет луч, исходящий из центра координат, такой что угол между лучом и положительным направлением оси $OX$ равен $\phi$. С геометрической точки зрения очевидно, что они пересекаются в единственной точке.

    Таким образом, любую точку $P = (x_0, y_0)$ из $\widetilde{XOY}$ можно однозначно определить пересечением луча, направленного под углом $\phi_0$ и окружности радиусом $r_0$, и тогда точка $P’ = (r_0, \phi_0)$ будет единственным прообразом $P$ в $G$. Очевидно, что любой элемент из $G$ служит прообразом, и что двум различным точкам из $G$ будут соответствовать 2 различные точки из $\widetilde{XOY}$. Таким образом, отображение $F$ между точками плоскостей $G$ и $\widetilde{XOY}$ взаимно однозначное:

    kursach

    Якобиан полученного отображения будет равен:
    $J_F = \begin{array}{|cc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \end{array} = \begin{array}{|cc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} \end{array} = r$

    Теперь рассмотрим множество точек $G’$, полученное добавлением к множеству $G$ отрезка $r = 0$, т.е. $G’ = \{(r, \phi)| r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi\}.$ $G’$ уже является прообразом всей плоскости $XOY$, но на отрезке $r = 0, 0 \leq \phi < 2\pi$ не достигается взаимная однозначность, а $\left|J_F\right| = 0$. Обратим внимание, что его Жорданова мера равна нулю.

    Наконец, пусть дана область $\Omega \subset XOY$ и функция $f$, непрерывная на измеримом множестве $\overline{\Omega}$. Ее прообразом при отображении $F$, заданного формулами $(*)$, будет некоторая область $\Omega’ \subset G’$. Если область $\Omega$ не содержит точки O — начала координат, то выполнены все условия теоремы о замене переменной в кратных интегралах, и справедлива формула:
    $$\iint\limits_{\Omega} f(x, y)\,dxdy = \iint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}, r\sin{\phi})r\,drd\phi$$
    Если же точка $O \in \Omega$, то взаимная однозначность и не обращение якобиана в нуль не выполняются на множестве $r = 0$, что не влияет на справедливость данной формулы (следует из замечания к указанной теореме).

    Пример №1

    Вычислить интеграл:
    $\iint\limits_{\Omega}(x^2 + y^2)\,dxdy, \Omega = \{(x, y)| y \geq 0, x^2 + y^2 \leq a^2\}.$
    Заметим, что в полярных координатах полукруг [latex]\Omega[/latex] будет представлять из себя более простую область интегрирования:

    example

    Поэтому, воспользуемся формулой замены переменной и перейдем к полярным координатам:
    $\iint\limits_{\Omega}(x^2 + y^2)\,dxdy = \iint\limits_{\Omega’}r^2r\,drd\phi = \int\limits_0\limits^{\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^ar^3\,dr = $ $ \int\limits_0\limits^{\pi}\frac{a^4}{4}\,d\phi = \frac{\phi a^4}{4}|_0^{\pi} = \frac{\pi a^4}{4}$.

    [свернуть]

    Использование цилиндрических и сферических координат

    Рассмотрим теперь пространство $\mathbb{R}^3$, в котором задана декартова система координат $OXYZ$. Цилиндрические координаты связанны с декартовыми следующим образом:
    $x = r\cos\phi,\quad y = r\sin\phi,\quad z = t\quad(**),$
    где $r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}$ (величины $r$ и $\phi$ для любой точки $A = (x, y, z)$ определяются таким же образом, как и в полярных координатах для ее проекции $P’ = (x, y, 0)$ на $XOY$). Теперь, аналогично случаю с полярными координатами, рассмотрим вспомогательное пространство $OR\Phi T$, где $r, \phi, t$ — декартовы координаты, а в нем — множество точек $G = \{(r, \phi, t)| r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}\}$.

    Отображение $F : G \to OXYZ$, определяемое формулами $(**)$, является непрерывно дифференцируемым.
    $J_F = \begin{array}{|ccc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial t} \end{array} = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} & 0 \,\\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} & 0 \,\\ 0 & 0 & 1\,\end{array} = r$

    Очевидно, что как и в случае с полярными координатами, отображение $F$ — взаимно однозначное, и его якобиан не равен нулю. Данные условия не выполняются только при $r = 0$, т.е. на множестве $L = \{(r, \phi, t)| r = 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}\}$. Пересечение такого множества с любым другим ограниченным множеством есть ограниченное линейное множество, и жорданова мера этого пересечения равна нулю.

    Тогда, если дана область $\Omega \subset OXYZ$, и функция $f$ непрерывна на измеримом множестве $\overline{\Omega}$, а $\Omega’ \subset G$ — прообраз данной области при отображении $F$, то выполнены все условия теоремы о замене, и справедлива следующая формула:
    $$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z)\,dxdydz = \iiint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}, r\sin{\phi}, t)r\,drd\phi dt$$

    Наконец, рассмотрим сферические координаты, связанные с декартовыми следующими соотношениями: $x = r\cos{\phi} \cos{\psi},\quad y = r\sin{\phi} \cos{\psi},\quad z = r\sin{\psi}\quad (***),$
    где $r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi, -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}$. Введем вспомогательное пространство $OR\Phi\Psi$, где $r, \phi, \psi$ — декартовы координаты, а в нем рассмотрим множество точек $G = \{(r, \phi, \psi)| r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}\}$.

    Отображение $F : G \to OXYZ$, определяемое формулами $(***)$, непрерывно дифференцируемо.
    $J_F = \begin{array}{|ccc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \psi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \psi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \psi} \end{array} = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}\cos{\psi}& -r\sin{\phi}\cos{\psi} & -r\cos{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\phi}\cos{\psi} & r\cos{\phi}\cos{\psi} & -r\sin{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\psi} & 0 & r\cos{\psi}\,\end{array} = $ $ r^2\cos{\psi}$.

    Взаимная однозначность данного отображения устанавливается по тем же рассуждениям, что и в предыдущих двух случаях, и не выполняется только при $r = 0, \psi = -\frac{\pi}{2}, \psi = \frac{\pi}{2}$, когда и якобиан равен нулю. Однако любое подмножество множества, задаваемого такими равенствами, будет представлять собой ограниченную часть плоскости с жордановой мерой нуль в пространстве $OXYZ$, что не помешает совершить замену.

    Тогда, при соответствующих условиях, справедлива формула замены переменной ($\Omega \subset OXYZ, \Omega’ \subset G$):
    $$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z)\,dxdydz = $$ $$\iiint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}\cos{\psi}, r\sin{\phi}\cos{\psi}, r\sin{\psi})r^2\cos{\psi}\,drd\phi d\psi$$

    Пример №2

    Вычислить интеграл $\iiint\limits_{\Omega} e^{{(x^2 + y^2 + z^2)}^{\frac{3}{2}}}\,dxdydz$, где граница области $\Omega$ задается уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

    Область интегрирования представляет собой шар радиуса [latex]1[/latex] с центром в начале координат. Следовательно, будет удобно воспользоваться переходом к цилиндрической системе координат. В ней новая область интегрирования [latex]\Omega'[/latex] будет определятся следующими неравенствами: $0 \leq \phi \leq 2\pi,\quad -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2},\quad 0 \leq r \leq 1$. Воспользуемся формулой замены переменной для сферических координат:
    $\iiint\limits_\Omega e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}\,dxdydz = $ $\iiint\limits_{\Omega’} e^{r^{2^{\frac{3}{2}}}}r^2\cos{\psi} \,drd\phi d\psi = \int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1e^{r^3}r^2\,dr\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}\limits^{\frac{\pi}{2}}\cos{\psi}\,d\psi = $ $\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1e^{r^3}r^2\,dr \cdot (\sin{\psi})|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 2\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1\frac{1}{3}e^{r^3}\,d(r^3) = $ $\frac{2}{3}\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi \cdot e^{r^3}|_0^1 = \frac{2}{3}(e — 1)\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi = \frac{2}{3}(e — 1) \cdot \phi|_0^{2\pi} = \frac{4\pi}{3}(e — 1)$

    [свернуть]

    Литература

    Тест: Использование полярных, цилиндрических и сферических координат для вычисления кратных интегралов

    Для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме.


    Таблица лучших: Переход к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам при вычислении кратных интегралов

    максимум из 7 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства

    Пусть заданы два некоторых множества $X \subset R$ и $Y \subset R$, где $Y$ — множество параметров, а $X$ представляет из себя некоторый отрезок $[a, b]$ — множество переменных. Тогда определим множество
    $$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} x\in X \\ y\in Y \end{matrix} } \right\} (K\subset { R }^{ 2 }).$$

    На заданном множестве $K$ зададим некоторую функцию $f(x,y)$ и предположим, что, для каждого фиксированного $y \in Y$, она интегрируема по Риману на промежутке $[a,b]$ (в данной работе мы рассматриваем только собственные интегралы). Тогда заданную функцию
    $$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$$
    назовем интегралом, зависящим от параметра $y$.

    Так как нами введена новая функция, логично рассмотреть некоторые ее свойства.

    Свойство непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра

    Теорема (о непрерывной зависимости интеграла от параметра). Пусть на некотором множестве определена функция $f(x,y)$ и собственный интеграл, зависящий от параметра
    $$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$$
    и $f$ непрерывна в прямоугольнике
    $$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\le x\le b \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$$
    Тогда функция $J(y)$ непрерывна на отрезке $[c, d]$.

    Доказательство

    $\Box$ Начнем доказательство, воспользовавшись теоремой Кантора. Исходя из того, что любая непрерывная функция на ограниченном замкнутом множестве (в данном случае прямоугольнике $K$) равномерно непрерывна на этом множестве, можем записать данное условие для дальнейшей работы с функцией. То есть, для любого $\varepsilon >0$ найдется такое ${ \delta }_{ \varepsilon }$(вообще говоря не зависящие от выбора точек $\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right)$ и $\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right)$ в данном прямоугольнике $K$), что из выполнения неравенств
    $$\left| { x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 } \right| <{ \delta }_{ \varepsilon },\quad \left| { y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 } \right| <{ \delta }_{ \varepsilon }\quad$$
    следует выполнения неравенства
    $$\left| f\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) -f\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$$

    Положив $x={ x }_{ 1 }={ x }_{ 2 }$, можем заключить, что для любого $x \in [a, b]$ и ${ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 } \in [c, d]$, таких, что ${ \left| { { y }_{ 1 }-y }_{ 2 } \right| }<{ \delta }_{ \varepsilon},$ выполняется условие
    $$\left| f\left( x,{ y }_{ 1 } \right) -f\left( { x },{ y }_{ 2 } \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$$

    Тогда для любых ${ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 }$ из отрезка $[c,d]$, удовлетворяющих условие описанное выше, выполняется:
    $$\left| J({ y }_{ 1 }) — J({ y }_{ 2 })\right| =$$ $$=\left| \intop_{ a }^{ b }{ f(x,{ y }_{ 1 })dx } -\intop_{ a }^{ b }{ f(x,{ y }_{ 2 })dx } \right| =$$ $$=\left| \intop _{ a }^{ b }{ \left( f(x,{ y }_{ 1 } \right) -f(x,{ y }_{ 2 }))dx } \right| \le \intop _{ a }^{ b }{ \left| f(x,{ y }_{ 1 })-f(x,{ y }_{ 2 }) \right| dx } \le $$ $$ \le \frac { \varepsilon }{ b-a } (b-a)=\varepsilon.$$
    Откуда можем сделать вывод о том, что функция $J(y)$ непрерывна в на отрезке $[c,d]$, что и требовалось доказать.$\blacksquare$

    [свернуть]

    Как важное практическое применение данной теоремы, например, можем определить возможность переходить к пределу под знаком интеграла, при выполнении других необходимых для этого условий, а именно:
    $$\lim _{ y\rightarrow { y }_{ 0 } }{ \intop _{ a }^{ b }{ f(x,y)dx=\intop _{ a }^{ b }{ \lim _{ y\rightarrow { y }_{ 0 } } f(x,y)dx=\intop _{ a }^{ b }{ f(x,{ y }_{ 0 })dx\quad \forall } { y }_{ 0 }\in [c,d] } } }.$$

    Свойство дифференцируемости собственного интеграла, зависящего от параметра

    Теорема (о дифференцируемости интеграла от параметра). Пусть функция $f(x,y)$ вместе со своей частной производной $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывна в прямоугольнике
    $$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\le x\le b \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$$
    Тогда собственный интеграл, зависящий от параметра
    $$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$$
    является непрерывно дифференцируемой функцией на отрезке $[c,d],$ причем справедливо следующее равенство:
    $${ J }^{ \prime } \left( y \right) =\frac { d }{ dy } \intop_{ a }^{ b }{ f\left( x,y \right) dx } =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } ,\quad \forall y\in \left[ c,d \right].$$

    Заметим, что указанное выше равенство называется правилом Лейбница: «Производная интеграла, зависящего от параметра, равна интегралу от производной подынтегральной функции по заданному параметру».

    Доказательство

    $\Box$ Рассмотрим производную заданной функции по определению
    $${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }.$$

    Тогда для доказательства теоремы нам необходимо убедиться в равенстве
    $$\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } } =\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right) } =0\quad \left( 1 \right).$$

    Для дальнейшей работы проанализируем отношение
    $${ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }=\intop _{ a }^{ b }{ \frac { f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) }{ \Delta y } dx }.$$

    Так как функция $f$ и ее производная – дифференцируемые на заданном прямоугольнике функции, то мы имеем право воспользоваться теоремой Лагранжа о среднем значении*
    $${ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }=\intop _{ a }^{ b }{ \frac { f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) }{ \Delta y } dx }=$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) dx },\quad { \theta }_{ x }\in \left( 0,1 \right).$$

    Вернемся к отношению находящемуся под знаком предела формулы $(1)$:
    $$\frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } =$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) dx }-\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx }=$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \left( \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right) dx }.$$

    Аналогично доказательству предыдущего свойства, так как $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывна на заданном прямоугольнике, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нем же. Тогда запишем условие равномерной непрерывности, что поможет оценить нам выражение под знаком предела формулы $(1)$:
    $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists { \delta }_{ \varepsilon }>0:\forall x\in \left[ a,b \right] ; \forall y,y+\Delta y\in \left[ c,d \right]:\left| y+\Delta y-y \right|=$$ $$=\left| \Delta y \right| <{ \delta }_{ \varepsilon }\Rightarrow \left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+\Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$$

    Принимая во внимание тот факт, что ${ \theta }_{ x } \in \left( 0,1 \right)$, автоматически при тех же условиях будет выполняться неравенство
    $$\left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$$
    Тогда можем записать
    $$\left| \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right| =$$ $$=\left| \intop _{ a }^{ b }{ \left( \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right) dx } \right| \le$$ $$\le \intop _{ a }^{ b }{ \left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| dx } \le \left( b-a \right) \frac { \varepsilon }{ b-a } =\varepsilon.$$

    Отсюда следуя определению предела функции по Коши
    $$\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right) } =0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } } =\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } ={ J }^{ \prime }\left( y \right). \blacksquare$$

    [свернуть]

    Обобщив указанную ранее теорему, можем получить формулу Лейбница для случая, когда пределы интегрирования являются некоторыми функциями, зависящими от параметра $y$.

    Формула Лейбница дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы интегрирования которого зависят от переменной дифференцирования

    Пусть пределы интегрирования собственного интеграла зависящего от параметра $y$ – некоторые непрерывно дифференцируемые на отрезке $[c, d]$ функции, зависящие от данного параметра: $a(y),b(y)$. Тогда пусть задана функция $f(x,y)$ вместе со своей частной производной $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывны в области
    $$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\left( y \right) \le x\le b\left( y \right) \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$$
    Тогда
    $$J(y)= \intop_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)dx$$
    дифференцируема на $[c,d]$, причем
    $${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\intop _{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)dx -f\left( a\left( y \right) ,y \right) \cdot { a }^{ \prime }\left( y \right) +f\left( b\left( y \right) ,y \right) \cdot { b }^{ \prime }\left( y \right) }.$$

    Доказательство

    $\Box$ Рассмотрим $J(y)$. Это сложная функция, зависящая от трех переменных, то есть можем записать: $J\left( y \right) =J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right)$. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:
    $${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\frac { \partial }{ \partial y } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) +\frac { \partial }{ \partial a } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac { da }{ dy } +$$ $$+\frac { \partial }{ \partial b } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac { db }{ dy }.$$

    Выразим каждую частную производную отдельно:
    $$\frac { \partial }{ \partial y } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) =\intop _{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx },$$ $$\frac { \partial }{ \partial a } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) =\frac { \partial }{ \partial a } \intop_{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ f\left( x,y \right) dx } =-f\left( a\left( y \right) ,y \right),$$ $$\frac { \partial }{ \partial b } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) =\frac { \partial }{ \partial b } \intop _{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ f\left( x,y \right) dx } =f\left( b\left( y \right) ,y \right).$$

    Подставляем найденные производные в исходное выражение для производной сложной функции
    $${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\frac { \partial }{ \partial y } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) +\frac { \partial }{ \partial a } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac { da }{ dy } +$$ $$+\frac { \partial }{ \partial b } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac { db }{ dy } =\intop_{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } -f\left( a\left( y \right) ,y \right) \frac { da }{ dy }+$$ $$+f\left( b\left( y \right) ,y \right) \frac { db }{ dy }=\intop _{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } -f\left( a\left( y \right) ,y \right) \cdot { a }^{ \prime }\left( y \right) +$$ $$ +f\left( b\left( y \right) ,y \right) \cdot b^{ \prime }\left( y \right).$$

    Таким образом, формула Лейбница доказана. $\blacksquare$

    [свернуть]

    Свойство интегрируемости собственного интеграла, зависящего от параметра

    Теорема (о интегрируемости интеграла от параметра). Пусть задана $f(x,y)$ непрерывная на некотором прямоугольнике
    $$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\le x\le b \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$$
    Тогда функция (собственный интеграл, зависящий от параметра)
    $$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$$
    интегрируема на отрезке $[c, d]$, причем
    $$\intop _{ c }^{ d }{ { J }\left( y \right) dy } =\intop _{ c }^{ d }{ \left( \intop _{ a }^{ b }{ f\left( x,y \right) dx } \right) dy } =\intop _{ a }^{ b }{ \left( \intop _{ c }^{ d }{ f\left( x,y \right) dy } \right) dx }.$$

    Доказательство

    $\Box$ Из свойства непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, следует, что $J(y)$ непрерывна на $[c,d]$, а следовательно и интегрируема. Тогда по теореме о сведении двойного интеграла к повторному имеем:
    $$\intop _{ c }^{ d }{ \left( \intop _{ a }^{ b }{ f\left( x,y \right) dx } \right) dy } =\iint _{ П }^{ }{ f\left( x,y \right) dxdy }.$$ $$\intop _{ a }^{ b }{ \left( \intop _{ c }^{ d }{ f\left( x,y \right) dy } \right) dx } =\iint _{ П }^{ }{ f\left( x,y \right) dxdy }.$$ $$ \intop _{ c }^{ d }{ { J }\left( y \right) dy } =\iint _{ \Pi }^{ }{ f\left( x,y \right) dxdy } =\intop _{ c }^{ d }{ \left( \intop _{ a }^{ b }{ f\left( x,y \right) dx } \right) dy } =$$ $$=\intop _{ a }^{ b }{ \left( \intop _{ c }^{ d }{ f\left( x,y \right) dy } \right) dx }.$$

    Теорема доказана.$\blacksquare$

    [свернуть]

    Данное свойство дает нам возможность интегрировать исходную функцию $J(y)$ по параметру $y$ под знаком интеграла.

    Примеры и практическая значимость

    Следует заметить, что введенный нами математический объект имеет достаточно интересное применение не только в плане непосредственного вычисления. Например, собственные интегралы, зависящие от параметра $x$, такого вида
    $${ J }_{ n }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \left( x\cdot \sin { \varphi } -n\cdot \varphi \right) } d\varphi } ,$$ $${ J }_{ n }\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \intop _{ -\pi }^{ \pi }{ { e }^{ i\left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) }d\varphi } ,$$
    где $n$ – некоторое целое число, являются интегральным представлением функций Бесселя первого рода. Интегральный подход использовал сам Бессель для изучения некоторых интересных свойств этих функций.

    Такие функции имеют разнообразное применение не только в математических дисциплинах. Например, они применяются в решении задач о статических потенциалах, распространении волн, формы колебания тонкой круглой мембраны, обработке сигналов и т.д.


    Bessel functions

    Графическое представление функций Бесселя первого рода $0$, $1$ и $2$ порядков

    Для более глубокого понимания темы, к рассмотрению предлагается практическое задание.

    Пример

    Закрепим материалы статьи и проверим правильность интегрального вида функций Бесселя приведенных выше, то есть, убедимся, что они являются таковыми по определению, а именно являются решением дифференциального уравнения Бесселя:
    $${ x }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +{ x }\frac { { d }y }{ { dx } } +\left( { x }^{ 2 }-{ n }^{ 2 } \right) y=0,$$
    где $n$ – некоторое, в общем случае комплексное число.

    Выполним проверку например для
    $${ J }_{ n }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) ) } d\varphi }.$$

    Вычислим требующиеся производные и подставим их в дифференциальное уравнение Бесселя:
    $$-{ x }^{ 2 }\cdot \int _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) } \cdot \sin ^{ 2 }{ \varphi } dx } +$$ $$+{ x }\cdot \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { \left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) } \cdot \sin { \varphi } \cdot d\varphi } +$$ $$+\left( { x }^{ 2 }-{ n }^{ 2 } \right) \int _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) } dx } =$$ $$=-\int _{ 0 }^{ \pi }{ (({ x }^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ \varphi } +{ n }^{ 2 }-{ x }^{ 2 })\cos { (x\cdot \sin { \varphi } — } } n\cdot \varphi )-$$ $$-x\cdot \sin { \varphi } \sin { (n\varphi -x\cdot \sin { \varphi } ) } d\varphi =$$ $$=-(n+\cos { \varphi ) } \sin { (n\varphi -x\cdot \sin { \varphi } ) } |\begin{matrix} \pi \\ 0 \end{matrix} = 0.$$

    Данный результат подтверждает, что представленный интеграл задает некоторую функцию Бесселя.

    [свернуть]

    Примечание

    *На данном этапе существуют разногласия по поводу применения формулы конечных приращений Лагранжа для доказательства данной теоремы, основанные на том, что вообще говоря $\theta_{x}$ представляет из себя некоторую функцию зависящую от переменной $x$, что вызывает вопрос не нарушает ли она непрерывность, а следовательно, и интегрируемость подынтегрального выражения. Несмотря на это в большинстве рассмотренных источников указано именно такое доказательство, аргументированное тем, что $\theta_{x} \in (0, 1)$ не меняет условия принадлежности рассматриваемой точки исходному отрезку. Если же читатель не согласен с таким применением теоремы Лагранжа о среднем значении, то доказать свойство дифференцируемости собственного интеграла, зависящего от параметра, можно аналогично доказательству свойства непрерывности, которое было приведено ранее.

    Список литературы

    Тест: собственные интегралы, зависящие от параметра

    Для закрепления материала темы, рекомендуется пройти следующий тест.


    Таблица лучших: Тест: собственные интегралы, зависящие от параметра

    максимум из 19 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных