Теорема 1. Если функция $latex f$ непрерывна на отрезке $latex [a,b]$ то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. По теореме Кантора функция $latex f$ равномерно непрерывна на $latex [a,b]$. Это означает, что для любого $latex \varepsilon > 0 $ найдется такое $latex \delta >0$,
что для любых точек $latex x’, x» \in [a,b]$, таких, что $latex \mid x’-x» \mid < \delta$, справедливо
неравенство $latex |f(x’)-f(x»)|< \varepsilon $. Отсюда следует, что для любого разбиения
$latex \Pi$, диаметр которого $latex d(\Pi ) <\delta$, справедливо неравенство
[latex]{\omega _i} = \mathop {\sup }\limits_{x’,x» \in \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]} \left| {f\left( {x’} \right) — f\left( {x»} \right)} \right| \leqslant \varepsilon [/latex], [latex]\left( {i = 0,1,…,n — 1} \right)[/latex].
Поэтому
[latex]\sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant \varepsilon \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {\Delta {x_i} = \varepsilon \left( {b — a} \right)} } [/latex],
если только $latex d(\Pi ) <\varepsilon$. Таким образом, выполнено условие критерия интегрируемости в терминах колебаний и тем самым теорема доказана. $latex \blacksquare$

Теорема 2. Если функция $latex f$ ограничена на отрезке $latex [a,b]$ и имеет на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на $latex [a,b]$.

Доказательство. Пусть $latex a_1,…, a_k$ – точки разрыва. Зададим $latex \varepsilon >0$
и для каждой точки разрыва выберем некоторую ее окрестность длины,
меньшей чем $latex \varepsilon$. Эти окрестности можно выбрать так, чтобы они попарно не пересекались. Обозначим их $latex \Delta _1,…,\Delta _k$. Выбросив эти окрестности
из отрезка $latex [a,b]$, получим конечный набор отрезков $latex I_1,…,I_k$ (их количество не обязательно равно $latex k$). На каждом из этих отрезков функция
непрерывна и, в силу теоремы Кантора, равномерно непрерывна. Поэтому для каждого отрезка $latex I_j$ найдется $latex \delta_j>0$, такое, что для любой пары
точек $latex x’, x» \in I_j$ условие $latex |x’-x»|<\delta _j$ влечет выполнение неравенства
$latex \mid f\left(x’ \right)-f\left(x» \right)\mid < \varepsilon$. Положим $latex \delta =min(\delta _1,\delta _2, …, \delta _m, \varepsilon )$.
Пусть теперь $latex \Pi :a=x_0<x_1< … <x_n=b$ – произвольное разбиение отрезка $latex [a,b]$ с диаметром $latex d(\Pi ) <\delta $. Рассмотрим сумму
$latex \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} \omega _i\Delta x_i$.
Разобьем ее на две суммы. В первую отнесем слагаемые, отвечающие тем
отрезкам $latex [x_i,x_{i+1}]$, каждый из которых содержится в одном из отрезков
$latex I_j$. Для этих отрезков имеем $latex \omega _i\leq \varepsilon $, и поэтому для соответствующей суммы справедливо неравенство

[latex]\sum\nolimits_{}^/ {{\omega _i}\Delta {x_i}} < \varepsilon \sum\nolimits_{}^/ {\Delta {x_i}} \leqslant \varepsilon \left( {b — a} \right)[/latex].

Во вторую сумму попадают слагаемые, отвечающие тем отрезкам
$latex [x_i,x_{i+1}]$, каждый из которых имеет общие точки по крайней мере с одним
из интервалов $latex \Delta _j$ . Оценим сумму длин этих отрезков. Среди частичных отрезков, имеющих общие точки с $latex \Delta _j$, могут быть такие, которые целиком содержатся в $latex \Delta _j$ . Сумма их длин не превосходит длины интервала
$latex \Delta _j$ , которая, в свою очередь, не превосходит $latex \varepsilon$. Кроме того, могут быть
два отрезка, содержащие концы интервала $latex \Delta _j$, сумма их длин не превосходит $latex 2\delta \leq 2\varepsilon $. Таким образом, сумма длин всех отрезков, имеющих
общие точки с интервалами $latex \Delta _1…\Delta _k $, не превосходит $latex 3k\varepsilon$. Обозначим
через $latex \Omega $ колебание функции $latex f$ на отрезке $latex [a,b]$. Поскольку $latex f$ ограничена, то $latex \Omega <\propto $ и $latex \omega _i\leq \Omega (i=0,1,…,n-1)$. Поэтому для второй суммы
получаем следующую оценку:

[latex]\sum\nolimits_{}^{//} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant \Omega \sum\nolimits_{}^{//} {\Delta {x_i} \leqslant 3k\Omega \varepsilon } } [/latex].

Окончательно,

[latex] \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} \omega _i\Delta x_i = [/latex] [latex] \sum\nolimits_{}^/ {\omega _i}\Delta x_i + \sum\nolimits_{}^{//} \omega _i\Delta {x_i} \leqslant [/latex] [latex] \varepsilon \left( {b — a + 3k\Omega } \right) [/latex].

Отсюда, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, вытекает справедливость теоремы. $latex \blacksquare$

Пример 1. Функция
[latex]f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \sin \frac{1}{x},\;0 < x \leqslant 1, \hfill \\ 0,\;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/latex]

ограничена и непрерывна всюду, за исключением одной точки. Следовательно, она интегрируема на отрезке $latex [0,1]$.

Пример 2. Рассмотрим
[latex]f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} sign\;(\sin \frac{1}{x}),\;0 < x \leqslant 1, \hfill \\ 0,\;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/latex]
У этой функции множество точек разрыва счетно и она не является монотонной. Тем не менее она ограничена, и ее интегрируемость легко доказать, используя критерий Римана и теорему 2. Действительно, зададим
$latex \varepsilon >0$ и рассмотрим функцию на отрезке $latex [\varepsilon ,1]$ . На этом отрезке функция
ограничена и имеет конечное число точек разрыва. В силу теоремы 2, функция интегрируема на $latex [\varepsilon ,1]$, так что, по критерию Римана, найдется
такое $latex \delta >0$, что если только отрезок $latex [\varepsilon ,0]$ будет разбит на части, длины
которых меньше, чем $latex \delta $, то
[latex]\sum {{\omega _i}\Delta {x_i} < \varepsilon } [/latex].
Можем считать, что $latex \delta <\varepsilon $. Если теперь весь отрезок $latex [0,1]$ разбить на
части, длины которых меньше, чем $latex \delta$, то
$latex \sum\nolimits_{}^/ {{\omega _i}\Delta {x_i}}$, слагаемых, отвечающих тем отрезкам, которые содержатся целиком в $latex [\varepsilon ,1]$, меньше, чем $latex \varepsilon$.
Далее, сумма длин отрезков $latex \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]$, имеющих общие точки с $latex [0,\varepsilon ]$, не
превосходит $latex \varepsilon + \delta \leqslant 2\varepsilon$. Учитывая, что колебание функции на каждом из
отрезков не превосходит 2, получим
[latex]\sum\nolimits_{}^{//} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant 2\sum\nolimits_{}^{//} {\Delta {x_i} \leqslant 4\varepsilon } } [/latex].
Окончательно,
[latex]\sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant 5\varepsilon } [/latex],
так что, в силу критерия Римана, функция интегрируема на $latex \left[ {0,1} \right]$.

Литература:

1. В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 186-189].
2. Л. Д. Кудрявцев, Курс математического анализа, том первый (стр. 548-551).

Параметрическое задание:

Дано [latex] \left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right. [/latex]

Тогда площадь находится по формуле: [latex]S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{(\varphi’ (t))^{2}+(\psi’ (t))^{2}}dt[/latex]

Полярное задание:

Дано [latex]r=f(\alpha )[/latex], где [latex]r[/latex] — расстояние от точки до начала координат, [latex]\alpha [/latex] — угол между радиус-вектором с концом в этой точке и осью [latex]OX[/latex].

[latex]S=\int_{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\sqrt{((r\cos \alpha )’)^{2}+((r\sin \alpha )’)^{2}}dt[/latex]

Пример:

Обычное задание:

Дана функция в виде [latex]y=f(x)[/latex].

[latex]S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{1+(y’)^{2}}dx[/latex]

Пример:

Почему эти формулы верны?

Источники:

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 2, стр. 192. Издание 2001 года можно скачать здесь.

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г.,  том 2, стр. 169. Издание 1964 года можно скачать в меню справа.

Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997 г., стр. 234-235(примеры задач). Можно также скачать в меню справа.

Определения

Путем на плоскости называется отображение [latex]t \mapsto (\varphi (t),\psi (t))[/latex] отрезка [latex]\left [ \alpha,\beta \right ][/latex] в [latex]\mathbb{R}^{2},[/latex] задаваемое парой непрерывных функций [latex]\varphi [/latex] и [latex]\psi.[/latex] Это означает, что каждому значению [latex]t\in \left [ \alpha,\beta \right ][/latex] ставится в соответствие точка плоскости с координатами [latex]\left ( x,y \right )[/latex], где [latex]x=\varphi (t),y=\psi(t).[/latex]
След пути — множество точек [latex]\left \{ \left ( \varphi (t),\psi (t) \right )\in \mathbb{R}^{2}:\, t\in\left [ \alpha ,\beta \right ] \right \}.[/latex]
Длина пути — точная верхняя грань длин ломанных, вписанных в след пути.
Если длина пути конечна, то путь называется спрямляемым.
Если функции [latex]\varphi[/latex] и [latex]\psi[/latex] непрерывно дифференцируемы на отрезке [latex]\left [ \alpha ,\beta \right ][/latex], то путь [latex]\gamma =(\varphi ,\psi )[/latex] называется дифференцируемым.

Теорема

Дан путь [latex]\gamma[/latex] :  [latex]\left\{\begin{matrix} x=\varphi (t)\\y=\psi (t) \end{matrix}\right.[/latex]

Пусть [latex]\gamma = (\varphi ,\psi )[/latex] непрерывно дифференцируемый путь на отрезке [latex]\left [ \alpha ,\beta \right].[/latex]
Тогда [latex]L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{‘}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{‘}(t)\right ]^{2}}dt,[/latex] где [latex]L_{(\gamma )}[/latex] — длина пути.

Доказательство

Часть 1

[latex]\square [/latex] [latex]\Pi :\alpha =x_{0}<x_{1}< … <x_{n}=\beta [/latex] — произвольное разбиение отрезка [latex]\left [ \alpha ,\beta \right].[/latex] Возьмём ломаную, проведённую между точками с соседними номерами. Очевидно, её длина:
[latex]S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}[/latex] — как сумма расстояний между соседними точками.
По формуле конечных приращений:

• [latex]x_{i+1}-x_i=\varphi ‘(t_i)(t_{i+1}-t_i);[/latex]
• [latex]y_{i+1}-y_i=\psi ‘(t_i)(t_{i+1}-t_i);[/latex]

Тогда длина ломаной будет равна: [latex]S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(\varphi ‘(t))^{2}+(\psi ‘(t))^{2})}(t_{i+1}-t_i).[/latex]
Обозначим наибольшие значения производных [latex]\psi ‘(t)[/latex] и [latex]\varphi ‘(t)[/latex] :
[latex]L=sup(|\psi ‘(t)|)[/latex] и [latex]\overline{L}=sup(|\varphi ‘(t)|)[/latex].
Очевидно: [latex]S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^2}(T-t_{0}),[/latex] [latex]T[/latex] и [latex]t_0[/latex]  — границы отрезка. Из неравенства делаем вывод, что путь спрямляем, так как длина ломаной ограничена сверху.
Аналогично, можно получить формулу:
[latex]S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^2}(T-t_{0})[/latex], где [latex]l=inf(|\psi ‘(t)|), \overline{l}=inf(|\varphi ‘(t)|)[/latex]

Часть 2

У нас имеются выведенные в части 1 неравенства:

• [latex]S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^{2}}(T-t_0);[/latex]
• [latex]S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^{2}}(T-t_0);[/latex]

Получаем: [latex]\sqrt{L^2+\overline L^2}(T-t_0)\geq S\geq \sqrt{l^2+\overline l^2}(T-t_0), p=inf(S)[/latex]
А теперь возьмём точку [latex]a_1[/latex] на нашей дуге с координатами [latex](t_1,y_1)[/latex]. Придадим её абсциссе приращение [latex]\Delta t[/latex] и получим точку [latex]a_2(t_1+\Delta t, y_2)[/latex]. Получили две точки на дуге и часть дуги ограничена этими точками. Применим к этой части наше двойное неравенство.
При [latex]\Delta t \rightarrow 0[/latex] левая часть стремится к [latex]\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t.[/latex] Аналогично, для правой.
Получаем [latex]\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t\geq S\geq \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t[/latex]. Преобразуем это двойное неравенство:
[latex]\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\geq \frac{S}{\Delta t}\geq \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}.[/latex]
[latex]L^{‘}_{(\gamma )}=\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+((\psi ‘(t))^2}.[/latex]
Тогда [latex]L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{‘}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{‘}(t)\right ]^{2}}dt,[/latex] где [latex]L_{(\gamma )}[/latex] — длина пути. [latex]\blacksquare [/latex]

Замечание: В первоисточниках, использованных при написании этого материала, доказательство теоремы не разбивается на 2 части. Тем не менее, для большего удобства здесь оно разбито на 2 основных части.

Следствия из теоремы

Из доказанной выше формулы получаются три формулы, описанные здесь и применяемые на практике.

Литература:

1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 2, стр. 192 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 1, стр. 192 (определения, теорема).
2. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г.,  том 2, стр. 169 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 1, стр. 560,562-563 (определения, теорема).

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 7 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 7

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 9 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 7

   1.

   Что нам дала теорема?

   • Дала нам формулу для длины ломаной.
   • Дала нам формулу для ломаной.
   • Дала нам формулу дуги.
   • Дала нам формулу для длины пути.
   • Дала нам знание того, для каких линий можно подсчитать их длину на отрезке.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 7

   2.

   Впишите слова:

   • Доказательство этой теоремы опирается на определения (длины кривой, спрямляемого пути) и (спрямляемого пути, длины кривой).
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 7

   3.

   Воспользовались ли мы формулой конечных приращений Лагранжа в ходе доказательства теоремы?

   • Да.
   • Нет.
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Воспользовались. Она помогла нам перейти от формулы периметра ломаной, вписанной в кривую, к формуле длины самой кривой.
4. Задание 4 из 7

   4.

   Попробуйте вспомнить, в какой последовательности мы доказывали эту теорему.

   • Утвердили обязательное для всех дуг, которые мы будем рассматривать до конца теоремы, свойство.
   • Написали формулу длины ломаной и поработали с ней.
   • Оценили длину дуги на отрезке.
   • Взяли часть дуги и применили к ней двойное неравенство.
   • Вывели формулу длины дуги.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 7

   5.

   Что нужно сделать с правой частью уравнения, которое мы доказали в конце, чтобы получить длину графика функции на отрезке?
   Правильно
   

   Верно.

   Неправильно
   

   Проинтегрировать.

   Подсказка

   Ответ состоит всего из одного слова!
6. Задание 6 из 7

   6.

   
   Укажите формулу для вычисления длины пути:

   • \(L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{'}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{'}(t)\right ]^{2}}dt\)
   • \(S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(\varphi '(t))^{2}+(\psi '(t))^{2})}(t_{i+1}-t_i)\)
   • \(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)
   • \(x_{i+1}-x_i=\varphi '(t_i)(t_{i+1}-t_i)\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 7

   7.

   
   Сопоставьте записи с определениями:

   Элементы сортировки

   • Отображение \(\mapsto (\varphi (t),\psi (t))\) отрезка \(\left [ \alpha,\beta \right ]\) в \(\mathbb{R}^{2},\) задаваемое парой непрерывных функций\(\varphi \) и \(\psi.\)
   • Множество точек \(\left \{ \left ( \varphi (t),\psi (t) \right )\in \mathbb{R}^{2}:\, t\in\left [ \alpha ,\beta \right ] \right \}.\)
   • Точная верхняя грань длин ломанных, вписанных в след пути.

   • Путь на плоскости

   • След пути

   • Длина пути

   Правильно
   

   Неправильно
   

Формулировка:

Если функция непрерывна на сегменте  и на своих концах принимает значение разных знаков, то существует такая точка, принадлежащая этому отрезку, в которой функция обращается в нуль.

Если $latex f \ \in \ C[a,b] $ и $latex f(a)f(b)<0 $ , то
$latex \exists c \ \in \ [a,b] : f(c)=0 $

Литература:

• Лысенко З.М. Конспекты лекций.
• Г.М. Фихтенгольц: Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1, стр 168
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский Курс лекций по математическому анализу Часть 1, стр 82

Тест:

Первая и вторая теоремы Коши

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему: «Первая и вторая теорема Коши»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Для выполнения одного из условий теорем, необходимо что бы функция была непрерывна на:

   • на отрезке $[a,b]$
   • на интервале $(a,b)$
   • на полусегменте $[a,b)$
   • на полусегменте $(a,b]$
   • Условие теоремы не требует непрерывности
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   В формулировке теоремы Коши о нулях функции, при соблюдение всех условий, подразумевается, что:

   • Существует точка с, в которой функция принимает значение ноль, при чем такая точка единственна
   • Существует точка с, в которой функция принимает значение ноль, при чем таких точек может быть сколь угодно много, в независимости от поведения функции
   • Существует точка с, в которой функция принимает значение ноль, при чем таких точек может быть сколь угодно много, в зависимости от поведения функции
   • Существует точка с, в которой функция принимает значение ноль, при чем таких точек может быть сколь угодно много и их количество зависит только от выбранного отрезка
   • Существует точка с, в которой функция принимает значение ноль, при чем таких точек может быть сколь угодно много, в зависимости от поведения функции и рассматриваемого отрезка
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Расставьте этапы доказательства теоремы, в правильном порядке

   • Деление отрезков пополам
   • Получим два варианта, либо найдена точка, либо получили стягивающуюся последовательность
   • Применяем теорему Кантора для n-ого отрезка
   • Доказательство от противного существования точки с, удовлетворяющей условию
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Идея доказательства теоремы Коши о промежуточных значениях функций, заключается в том что:

   • Введение вспомогательной функции и ссылка на теорему Коши о нулях функции
   • Ссылка на теорему Коши о нулях функции и затем ссылка на теоремы Вейерштрасса
   • Ссылка на теорему Коши о нулях функции и затем введения вспомогательной функции
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Указать значения функций на аргументе $x=1$:

   Элементы сортировки

   • -12
   • -1
   • 0
   • 1

   • $x^4+x^3-17x+3$

   • $\frac{1}{\cos{\pi x}}$

   • $\log_{10}{\frac{1}{x}}$

   • $\ln{e^{\frac{x^2+x-1}{x^2-x+1}}}$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение. Для ограниченной на отрезке функции число[latex]\omega = \sup \left| {\varphi \left( {x’} \right) — \varphi \left( {x»} \right)} \right|,[/latex] где , называется колебанием функции на . Обозначим
$$M = {\sup _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right)$$ $$m = {\inf _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right).$$ Тогда, как легко видеть, . Пусть теперь ограниченная функция задана на отрезке . Тогда для произвольного разбиения колебание на равно . Поэтому

[latex]{\overline S _\Pi } — {\underline S _\Pi } = \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {\left( {{M_i} — {m_i}} \right)\Delta {x_i} = \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i}} } [/latex].

Таким образом, равносильная формулировка критерия интегрируемости примет следующий вид.
Теорема (критерий интегрируемости в терминах колебаний). Для того чтобы ограниченная функция была интегрируемой по Риману на отрезке , необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство

[latex]\mathop {\lim }\limits_{d(\Pi ) \to 0} \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} = 0} [/latex],

где – колебание функции на отрезке .

Литература

• В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 85]