Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство

Необходимость:

Пусть последовательность имеет конечный предел. Докажем, что она является фундаментальной.
Пусть $latex \exists \lim\limits_{n\to\infty}{x_n}=a$ по определению предела последовательности: $latex \forall \varepsilon >0 \ \exists N_\varepsilon :\forall p\geq N_\varepsilon\ |x_p-a|< \varepsilon $

Поскольку $latex \varepsilon $ произвольное, то мы можем взять вместо него, к примеру, $latex \frac{\varepsilon }{2}$:
$latex p=n > N_\varepsilon\ \Bigl|x_n-a\Bigl|<\frac{\varepsilon }{2} $
$latex p=m > N_\varepsilon\ \Bigl|x_m-a\Bigl|<\frac{\varepsilon }{2} $
$latex \Bigl|x_n-x_m\Bigl|=\Bigl|(x_n-a)+(a-x_m)\Bigl|\leq\underset{\underset{\frac{\varepsilon}{2}}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_n-a\Bigl|}}} + \underset{\underset{\frac{\varepsilon}{2}}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_m-a\Bigl|}}}< \varepsilon $
То есть: $latex \Bigl|x_n-x_m\Bigl| < \varepsilon $, а значит, $latex \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ —   фундаментальная по определению.
Необходимость доказана.

Достаточность:

Пусть $latex \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. Сначала покажем, что $latex \{{x_n\}}^{\infty}_{n=1}$ — ограничена.
Поскольку $latex \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ — фундаментальная последовательность, то по определению фундаментальной последовательности:
$latex \forall\varepsilon > 0 \ \exists N_\varepsilon :\forall\ n > N_\varepsilon $ и $latex \forall\ m >N_\varepsilon $ $latex |x_n-x_m| < \varepsilon$

Так как $latex \varepsilon $ произвольное, то возьмем $latex \varepsilon=1 : $

$latex \Bigl|x_n\Bigl|=\Bigl|(x_n-x_{N\epsilon})+x_{N\epsilon}\Bigl| \leq\underset{\underset{1}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_n-x_{N\epsilon}\Bigl|}}}+\Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|\leq 1+ \Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl| $
$latex \forall n \geq N_\varepsilon: |x_n|<(1+|x_{N\epsilon}|)=const=C $ $latex \Bigl|x_n\Bigl|\leq C $
$latex C=\max\{1+\Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|;\Bigl|x_1\Bigl|,\Bigl|x_2\Bigl|,…,\Bigl|x_{N\varepsilon-1}\Bigl|\} \Rightarrow $
$latex \Rightarrow \forall n \epsilon \mathbb{N} : \Bigl|x_n\Bigl|\leq C \Rightarrow $
$latex \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ — ограничена.

По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность $latex \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ имеет сходящуюся подпоследовательность $latex \{{x_{n_k}\}}^{\infty}_{k=1}$

Пусть $latex \lim\limits_{k\rightarrow\infty}{x_{n_k}}=a$, покажем, что число $a$ и будет пределом всей последовательности $latex \{{x_n\}}^{\infty}_{n=1}$:
Поскольку $latex \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ фундаментальная:
$latex \forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon : \forall n,m > n_\varepsilon $ $latex |x_n-x_m| <\frac{\varepsilon}{2} $

Так как $latex \{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ сходящаяся:
$latex \lim\limits_{k\rightarrow\infty}{x_{n_k}}=a : \forall \varepsilon>0\ \exists k_\varepsilon :\forall n_k \geq n_{k_\varepsilon} $
$latex |x_{n_k}-a|<\frac{\varepsilon}{2} $
$latex \forall \varepsilon>0 : |x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\leq |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|<\varepsilon$
Возьмём $latex N_\varepsilon = \max\{n_\varepsilon, n_{k_\varepsilon}\} $, тогда:$latex \forall \varepsilon >0\ \exists\ N_\varepsilon : \forall n\geq N_\varepsilon : |x_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $

Достаточность доказана.

Пример 1

Докажем, что последовательность $latex x_N=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{N} $ не является фундаментальной.

Пример 2

Доказать, что последовательность, заданная общим членом $latex x_n=\frac{3n}{n+1}$ фундаментальная.

Список литературы:

• Лысенко З.М. Конспект по математическому анализу
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.1. — Одесса: Астропринт, 2009 (стр. 30-32)
• Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.57-58 )

Тест на тему: Критерий Коши сходимости последовательности

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на проверку знаний по данной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

максимум из 45 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 5

   Как называется последовательность которая удовлетворяет условию Коши
   $latex \forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon :\forall n\geq N_\varepsilon\ \forall m\geq N_\varepsilon\ |x_n-x_m|\leq \varepsilon\ |x_n-x_m|\rightarrow 0 $

   • фундаментальная
   • ограниченная
   • монотонная
   • не знаю
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 10

   $latex x_n=\frac{n+(-1)^n}{2}$
   Является ли эта последовательность фундаментальной?
   Если да, то напишите чему равен её предел, если нет — напишите 1000.
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Так как $latex \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{n+(-1)^n}{2}}=\infty$, она не является фундаментальной.
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 10

   Установите соответствие :

   Элементы сортировки

   • $ \frac{1}{n} $
   • $ (-1)^n $
   • $ \frac{3n^2+2n+3}{n^2+4n+123} $
   • $ (1+\frac{1}{n})^n $

   • Фундаментальная последовательность

   • Расходящаяся последовательность

   • Фундаментальная последовательность предел которой равен 3

   • фундаментальная последовательность предел которой равен $\ e $

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 10

   
   Какие из данных последовательностей  сходящиеся ?

   • $ \frac{(-1)^n}{n} $
   • $ \sqrt {n-1} $
   • $ 2^{-n} $
   • $ 2^n $
   • $ \frac{\sin(n)}{n} $
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 10

   Вставьте пропуски в формулировке Критерия Коши сходимости последовательности

   • Для того что бы последовательность имела (конечный, КОНЕЧНЫЙ) (ПРЕДЕЛ, предел) необходимо и достаточно чтобы она была (фундаментальной, ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Если остаток в формуле Тейлора $latex |r_{n}(x_{0},x)|< \alpha _{0} &s=1 $, то формулу Тейлора для многочлена можно записать так:  $latex f(x)\approx f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f»(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+…+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} &s=1$.

Важна форма записи остаточного члена:

$latex r_{n}(x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} &s=1 $.

$latex r_{n}(x_{0},x) &s=1 $ — определяет погрешность формулы. Если же $latex f(x) &s=1 $ вычисляется по формуле при конкретном числовом значении $latex x &s=1 $, то может оказаться, что слагаемые в этой формуле сами вычисляются приближённо. Тогда погрешность результата будет состоять из погрешности слагаемых и погрешности формулы. Если вычислять все слагаемые с одинаковой точностью $latex \alpha _{0} &s=1 $ (погрешностью формулы), то общая погрешность результата равна $latex (n+2)\alpha _{0} &s=1 $.

Пусть $latex \alpha &s=1 $ — заранее известная точность результата. Тогда следует преобразовать $latex \alpha _{0} &s=1 $ так, чтобы обеспечить выполнение неравенства   $latex (n+2)\alpha _{0}\leq\alpha &s=1 $, то есть $latex \alpha_{0}\leq\frac{\alpha}{n+2} &s=1 $. При достаточно малых $latex n &s=1 $, например, $latex n\leq8 &s=1 $: $latex \alpha_{0}=\frac{\alpha}{10}\leq\frac{\alpha}{n+2} &s=1 $.

Обычно точность вычислений $latex \alpha &s=1 $ задается в виде: $latex \alpha=10^{-m} \Rightarrow \alpha_{0}=10^{-(m+1)} &s=1 $. Это значит, что вычисления нужно проводить с одним запасным знаком. Мы установили, что один запасной знак обеспечит требуемую точность при $latex n\leq8 &s=1 $.

Пример

Вычислить $latex e^{0,1} &s=1 $ с точностью до $latex \alpha=0,001=10^{-3} &s=1 $.

Решение

Оценкой определим, в какой точке удобнее раскладывать исходную функцию (найдём ближайшую к необходимой точку, где известно точное значение функции):

$latex 0\leq0,1\leq0,5 \Rightarrow x\in[0;0,5] &s=1 $

Выпишем формулу Тейлора:

$latex e^{x}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+…+\frac{x^{n}}{n!}+\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}x^{n+1} &s=1 $;

Выполним вычисление по формуле Тейлора, разложив функцию в точке $latex x_{0}=0 &s=1 $

Выполним оценку погрешности:

$latex r_{n}(0,x)=\left | \frac{e^{\xi }x^{n+1}}{(n+1)!} \right |=\frac{e^{\xi} \left | x \right |^{n+1}}{(n+1)!}\leq\frac{\sqrt{e}x^{n+1}}{(n+1)!} \leq \frac{2x^{n+1}}{(n+1)!} &s=2 $

Оценим сверху:

$latex \frac{2x^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{1}{10} &s=2 $

Перенесём 2 в правую часть и выполним обозначение:

$latex \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq 0.5*10^{-1}\alpha=\frac{\alpha}{20} &s=2 $.

Эта запись удобна тем, что вычисляя последовательность слагаемых $latex U_{k}=\frac{x^{k}}{k!} &s=1 $ мы имеем возможность одновременно видеть достигнута ли требуемая точность.

По условию:

$latex \alpha=10^{-3} &s=1 $

Подставим в оценку, сделанную ранее:

$latex \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq 0,00005 &s=2 $

Для $latex U_{k}=\frac{x^{k}}{k!} &s=1 $ полагаем $latex k=0,1,2,… &s=1 $

$latex x=0,1 \Rightarrow U_{0}=1; U_{1}=0,1; U_{2}=0,005;$

$latex U_{3}=0,0002; U_{4}=0,00005 &s=1$ — выбранное значение $latex k $ подходит.

$latex e^{0,1}\approx 1+0,1+0,005+0,0002+0,00005=1,105 &s=1 $

$latex e^{0,1}\approx1,105 &s=1 $

Неравенство $latex \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq0,00005 &s=2 $ оказалось выполненным при $latex k=n+1=4 &s=1 $, $latex n=3 &s=1 $.

Источники:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
• Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1, Глава третья, пар. 5, ст. 257-263.

Теорема о единственности полинома Тейлора

  Если существует [latex]f^{(n)}(x_{0})[/latex] и при [latex]x\rightarrow x_{0} [/latex] [latex]f[/latex] представима в виде [latex]f(x)=a_{0}+ [/latex] [latex] a_{1}(x-x_{0})+… [/latex] [latex] +a_{n}(x-x_{0})^{n}+ [/latex] [latex] O((x-x_{0})^{n})[/latex], то многочлен [latex]A=a_{0}+[/latex][latex]a_{1}(x-x_{0})+… [/latex] [latex] +a_{n}(x-x_{0})^{n}[/latex] и будет многочленом Тейлора в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}[/latex].

Доказательство.

$latex f(x)=f(x_{0})+ $ $latex \frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+…$ $latex +\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $latex O((x-x_{0})^{n}) &s=1 .$

Приравниваем:

$latex f(x_{0})+$ $latex \frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+…$ $latex +\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $latex O((x-x_{0})^{n})=$ $latex a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+…$ $latex +a_{n}(x-x_{0})^{n}+$ $latex O((x-x_{0})^{n}) &s=1 $.

Берем предел обеих частей при [latex]x\rightarrow x_{0} [/latex]. Получаем, что:

$latex \frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})\rightarrow 0 &s=1 ;$

$latex \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}\rightarrow 0 &s=1 ;$

$latex O((x-x_{0})^{n})\rightarrow 0 &s=1 ;$

$latex a_{1}(x-x_{0})\rightarrow 0 &s=1 ;$

$latex a_{n}(x-x_{0})^{n}\rightarrow 0 &s=1 ;$

$latex O((x-x_{0})^{n})\rightarrow 0 &s=1 ;$

$latex f(x_{0})=a_{0} &s=1 .$

Отбрасываем первые слагаемые в обеих частях уравнения:

[latex] \cfrac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+…[/latex][latex]+\cfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+[/latex][latex]O((x-x_{0})^{n})=[/latex][latex] a_{1}(x-x_{0})+…[/latex][latex]+a_{n}(x-x_{0})^{n}+[/latex][latex]O((x-x_{0})^{n})\mid /(x-x_{0}) .[/latex]

[latex] \cfrac{f'(x_{0})}{1!}+…[/latex][latex]+\cfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n-1}+[/latex][latex]O((x-x_{0})^{n-1})=[/latex][latex]a_{1}+[/latex][latex]a_{2}(x-x_{0})+…[/latex][latex]+a_{n}(x-x_{0})^{n-1}+[/latex][latex]O((x-x_{0})^{n-1})\mid \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}(\cdot ) .[/latex]

Получаем:

$latex \cfrac{f'(x_{0})}{1!}=a_{1} &s=1 $.

Проделываем те же действия, что и ранее, получаем:

$latex a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} &s=1 $.

Следовательно разложение по формуле Тейлора однозначно.

Замечание:

Пусть [latex]f(x)[/latex] — бесконечно дифференцируема в точке [latex]0[/latex].

1. Если функция [latex]f(x)[/latex] — четная, то [latex]f'[/latex] — нечетная, [latex]f»'[/latex] — нечетная, …, [latex]f^{(2n+1)}[/latex] — нечетная, а так как нечетная функция в 0 всегда принимает значение, равное 0, то [latex]f'(0)=f»'(0)=…[/latex] [latex] =f^{(2n+1)}(0)=0[/latex].
2. Если функция [latex]f(x)[/latex] — нечетная, то [latex]f»[/latex] — нечетная, …, [latex]f^{(2n)}[/latex] — нечетная, а так как нечетная функция в 0 всегда принимает значение, равное 0, то [latex]f»(0)=…= f^{(2n)}(0)=0[/latex].

Вывод:

Если [latex]f(x)[/latex] — четная, то формула Тейлора будет для нее содержать только четные степени, если [latex]f(x)[/latex] — нечетная, то формула Тейлора будет разлагаться только по нечетным степеням.

Источники:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Теорема о единственности разложения по формуле Тейлора»).
• Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1, Глава третья, пар. 5, ст. 248-251.

Тест по теме: единственность полинома Тейлора

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Проверьте себя на знание теоретического материала по теме: единственность полинома Тейлора.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 3 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Расположите в правильном порядке этапы доказательства теоремы о единственности полинома Тейлора.

   • Приравнять $ f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $ +\circ ((x-x_{0})^{n})=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+...$ $ +a_{n}(x-x_{0})^{n}+\circ((x-x_{0})^{n}) $
   • Взять предел обеих частей при $$ x\rightarrow x_{0} $$
   • Отбросить равные слагаемые в обеих частях уравнения.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   
   
   Разложите в ряд Тейлора функцию $latex y(x)=x^2+4x-1$ в точке $latex x_0=2$. Каково значение свободного члена?
   (буквами, например: «ноль», «один», «два», «три»)
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Поставьте соответствия так, чтобы получить правильные утверждения.

   Элементы сортировки

   • четные степени
   • нечетные степени
   • четные и нечетные степени

   • Если $$ f(x) $$ - четная, то формула Тейлора будет для нее содержать

   • Если $$ f(x) $$ - нечетная, то формула Тейлора будет для нее содержать

   Правильно
   

   Неправильно
   

Теорема (критерий возрастания и убывания функции на интервале)

Для того чтобы дифференцируемая функция [latex] f(x)[/latex] на интервале [latex] (a;b)[/latex] была возрастающая, необходимо и достаточно, чтобы [latex]\forall x\in (a;b)[/latex] [latex] f'(x)\geq 0 [/latex].

Доказательство

Необходимость

• Дано: [latex]f(x)[/latex] возрастает на интервале [latex](a;b)[/latex].
• Требуется доказать: [latex] f'(x)\geq 0[/latex].

Пусть [latex]x_{0}[/latex] произвольная точка на интервале [latex] (a;b)[/latex], пусть [latex]x>x_{0} [/latex], тогда в силу монотонного возрастания функции [latex] f(x)\geq f(x_{0})[/latex] для любого значения [latex] x[/latex] из интервала [latex] (a;b)[/latex], [latex] x\neq x_{0}[/latex] [latex]\Rightarrow [/latex]

 $latex \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}>0. &s=1 $

По свойству сохранения знака предела:

$latex \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geqslant 0, &s=1 $

а это и есть[latex] f'(x_{0})[/latex].

Достаточность

• Дано: [latex] f'(x)\geq 0[/latex] .
• Требуется доказать: [latex]f(x)[/latex] возрастает на интервале[latex](a;b)[/latex].

Пусть[latex] f'(x)\geq 0[/latex] [latex]\forall x\in (a;b)[/latex].
Выберем произвольные точки [latex] x_{1}[/latex] и [latex] x_{2}[/latex], принадлежащие интервалу [latex] (a;b)[/latex], и не ограничивая общности скажем, что [latex] x_{2}>x_{1}[/latex].
Применим к функции [latex]f [/latex] формулу Лагранжа о конечных приращениях:
[latex] f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})\geq 0.[/latex] Из того что [latex] x_{2}>x_{1} => f(x_{2})\geq f(x_{1}) => [/latex]
Доказали нестрогое возрастание.

Теорема (достаточное условие строгой монотонности)

1. [latex]\forall x\in (a;b)[/latex] [latex] f'(x)>0 \Rightarrow f [/latex] строго возрастает на [latex] (a;b)[/latex].
2. [latex]\forall x\in (a;b)[/latex] [latex] f'(x)<0 \Rightarrow f [/latex] строго убывает на [latex] (a;b)[/latex].

Доказательство

Пусть [latex] x_{2}>x_{1} [/latex], применим формулу конечных приращений Лагранжа: [latex]f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})>0[/latex], так как [latex]x_{2}>x_{1}[/latex] и [latex]f'(\xi)>0[/latex], то [latex]f(x_{2})<f(x_{1})[/latex].
Пусть [latex] x_{2}<x_{1} [/latex], применим формулу конечных приращений Лагранжа: [latex]f(x_{1})-f(x_{2})=f'(\xi)*(x_{1}-x_{2})>0[/latex], так как [latex]x_{2}<x_{1}[/latex] и [latex]f'(\xi)>0[/latex], то [latex]f(x_{2})<f(x_{1})[/latex].

Пример

Исследовать функцию [latex]f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5[/latex] на возрастание и убывание.

Решение

1. Функция [latex]f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5[/latex] дифференцируема на [latex]R[/latex], [latex]f'(x)=3x^{2}-6x-9[/latex].
2. Для определения промежутков возрастания и убывания функции решаем уравнение: [latex]x^{2}-2x-3=0[/latex]. Решениями уравнения являются точки: [latex]x=-1[/latex] и [latex]x=3[/latex], которые разбивают числовую прямую на три отрезка. Получаем:

   

   [latex]x^{2}-2x-3>0 \Leftrightarrow x\in ( -\infty ;-1) \cup (3;+\infty)\Rightarrow f(x)[/latex] возрастает на отрезках [latex] x\in ( -\infty ;-1] \cup [3;+\infty)[/latex]
   [latex]x^{2}-2x-3<0\Leftrightarrow x\in \left ( -1;3 \right )\Rightarrow f(x)[/latex] убывает на отрезке [latex]x\in [-1 ;3][/latex].

3. Выполним проверку
   Для проверки построим график этой функции.

   

   Ответ:

   [latex]f(x)[/latex] возрастает на отрезках [latex] x\in ( -\infty ;-1] \cup [3;+\infty)[/latex].
   [latex]f(x)[/latex] убывает на отрезке [latex]x\in \left [ -1 ;3\right ][/latex].

Источники:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Условия монотонности функции в терминах производной»).
• Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1, Глава четвертая, пар. 1, ст. 270-273

Тест по теме: условия монотонности функции в терминах производной

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Проверьте себя на знание теоретического и практического материала по теме: Условия монотонности функции в терминах производной.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 8 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Для доказательства достаточности критерия возрастания и убывания функции мы используем:

   • формулу Тейлора
   • формулу Маклорена
   • формулу Лагранжа
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Найдите промежутки убывания данной функции: $latex y=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{5}{3}x^{3}-13 $

   • $$(-\infty ;0)$$
   • $$(0 ;5)$$
   • $$(5 ;+\infty)$$
   • $$ (-\infty ;+\infty) $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Для того чтобы дифференцируемая функция [latex]f(x)[/latex] на интервале [latex](a;b)[/latex] была <возрастающей, необходимо и достаточно, чтобы [latex]f'(x)[/latex] была _________ для любого значения [latex]x[/latex]из интервала [latex](a;b)[/latex].
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Допишите формулировку теоремы о достаточном условии строгой монотонности:»Если для любых значений $latex x $ из $latex (a,b)$ $latex f'(x)>0$,то на $latex (a,b)$ $latex f$ …»
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Каждой функции поставьте в соответствие ее промежутки возрастания.

   Элементы сортировки

   • $$ [\frac{3}{2};+\infty ) $$
   • $$ (-\infty ;\frac{1}{2}] $$
   • $$ (-\infty ;+\infty) $$
   • $$ [-2;3] $$

   • $$ y=x^{2}-3x+2 $$

   • $$ y=-x^{2}+x+6 $$

   • $$ y=x $$

   • $$ y=-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+6x-14 $$

   Правильно 4 / 4Баллы

   Неправильно / 4 Баллы



Таблица лучших: Тест по теме: условия монотонности функции в терминах производной

максимум из 8 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение:

Пусть функция $latex f$ определена в некоторой окрестности точки $latex x_0$ и пусть существует конечный предел отношения
$latex \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}<\infty$
Тогда этот предел называют производной функции $latex f$ в точке $latex x_0$ и обозначают:
$latex f'(x_0)$ или $latex y'(x_0)$ или $latex \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$ или $latex \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$.
$latex f'(x_0)= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$latex \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ называется приращением функции в точке $latex x_0$
$latex \Delta x=x-x_0$ называется приращением аргумента в точке $latex x_0$.

Примеры:

1. $latex y=C => \Delta y=C-C=0 => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0 => C’=0;$
2. $latex y=\sin x => \Delta y= \sin (x+\Delta x)-\sin x=2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\frac{2x+\Delta x}{2}$$latex =>\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=1; \sin x \sim x, x \to 0]=\cos\underset{\Delta x \to 0}{(x+\frac{\Delta x}{2})}=\cos x => (\sin x)’=\cos x;$
3. $latex y=\cos x => \Delta y =\cos (x+ \Delta x)-\cos x= -2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})$ $latex => \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{-2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=-\sin x => (\cos x)’ = -\sin x;$
4. $latex y=a^x => \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x =>$$latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=[a^x-1\sim x, x\to 0]=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{a^x(\Delta x\mathrm{ln}a)}{\Delta x}=a^x\mathrm{ln}a => (a^x)’=a^x\mathrm{ln}a;
   (e^x)’=e^x;$
5. $latex y=\log_a x=> \Delta y=\log_a (x+\Delta x) — \log_a x => $$latex \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a (x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (\frac{x+\Delta x}{x})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}=[\log_a x \sim \frac{x}{\ln a}, x \to 0]=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x\ln a}}{\Delta x}=\frac{1}{x\ln a} => (\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a};
   (\ln x)’=\frac{1}{x};$
6. $latex y=x^\alpha => \Delta y = (x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$ = $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x^\alpha(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$=$latex x^\alpha \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1}{\frac{\Delta x}{x}\cdot x}$=$latex [(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x, x\to 0; (1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1\sim\alpha\frac{\Delta x}{x}]$=$latex x^\alpha\cdot\alpha\cdot\frac{1}{x}=\alpha x^{\alpha-1} => (x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha -1}$

Практические примеры:

$latex (5)’=0;$
$latex (2^x)’=2^x\ln 2;$
$latex (\log_3 x)’=\frac{1}{x \ln 3};$
$latex (x^5)’=5x^4;$

Определение производной

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Определение производной» и на понимание примеров к ней.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Дана функция $latex f(x)$. В каких видах можно записать ее производную в точке $latex x_0$?

   • $$f'(x_0)$$
   • $$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$$
   • $$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
   • $$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}$$
   • $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}f}_{x\to x_0}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Тест на понимание примеров
   Соотнесите функции и их производные

   Элементы сортировки

   • $$0$$
   • $$\alpha x^{\alpha-1}$$
   • $$\frac{1}{x}$$
   • $$a^x\ln a$$
   • $$\cos x$$

   • $$C$$

   • $$x^\alpha$$

   • $$\ln x$$

   • $$a^x$$

   • $$\sin x$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Используя производные из примеров, вычислите следующие производные в точке $latex x_0$  (сначала вычислите производную, а потом подставьте $latex x_0$) и расставьте их по убыванию.

   • $$x^3, x_0=2$$
   • $$2^x, x_0=e$$
   • $$\sin x, x_0=0$$
   • $$\ln x, x_0=2$$
   • $$235, x_0=11$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   В выражении $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

   • Δx мы называем (приращением) (аргумента) в точке x₀.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Какое из следующих утверждений неверно?

   • Производная может равняться нулю.
   • У функции синуса нет производной.
   • Производную можно записать в виде предела отношения приращения функции к приращению аргумента.
   • В этом тесте есть неверные утверждения.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).
   

Рекомендуемая к прочтению литература:

• Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (том 1), 1968, глава 5, § 1, с. 143-149