[latex]1^{\circ}.[/latex] Локальная формула Тейлора.

Если функция [latex]f(x)[/latex] определена в некоторой окрестности [latex]\mid x-x_{0}\mid<\varepsilon[/latex] т.[latex]x_{0}[/latex] и имеет в этой окрестности производные [latex]f'(x),\cdots,f^{(n-1)}(x)[/latex] до [latex](n-1)[/latex]-го порядка включительно и в т.[latex]x_{0}[/latex] существует производная n-го порядка [latex]f^{(n)}(x_{0})[/latex], то
[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}(x-x_{0})^{k}+o(x-x_{0})^{n}[/latex],       (1)

где [latex]a_{k}=\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!},(k=0,1,\cdots,n).[/latex]

В частности, при [latex]x_{0}=0[/latex] имеем:

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}x^{k}+o(x^n).[/latex]     (2)

При указанных условиях представление (1) единственно.

Если в т.[latex]x_{0}[/latex] существует производная [latex]f^{(n+1)}(x_{0})[/latex], то остаточный член в формуле (1) может быть взят в виде [latex]o((x-x_{0})^{n+1})[/latex].

Из локальной формулы Тейлора (2) Получаем следующие 5 важных разложений:

I. [latex]e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})[/latex]

II. [latex]sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})[/latex]

III. [latex]cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})[/latex]

IV. [latex](1+x)^{m}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n)!}x^{n}+o(x^{n})[/latex]

V. [latex]ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})[/latex]

[latex]2^{\circ}.[/latex]Формула Тейлора.

Если функция [latex]f(x)[/latex] определена на сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex] и имеет на этом сегменте непрерывные производные [latex]f'(x),\cdots,f^{(n-1)}(x)[/latex], при[latex]a<x<b[/latex] существует конечная производная [latex]f^{(n)}(x)[/latex], то

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+r_{n}(x)[/latex]   [latex](a\leq x\leq b),[/latex], где

[latex]r_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!}(r-a)^{n}[/latex]     [latex](a<\theta<b),[/latex]

(остаточный член в форме Лагранжа), или

[latex]r_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(a+\theta_{1}(x-a))}{(n-1)!}(1-\theta_{1})^{n-1}(x-a)^{n}[/latex]     [latex](a<\theta_{1}<b),[/latex]

(остаточный член в форме Коши)

[latex]P(x)=a_{0}+a_{1}\ast x+a_{2}\ast x^{2}+a_{3}\ast x^{3}+a_{4}\ast x^{4}+\cdots +a_{n-1}\ast x^{n-1}+a_{n}\ast x^{n}[/latex]

[latex]{P}'(x)=a_{1}+2a_{2}\ast x +3a_{3}\ast x^{2}+ 4a_{4}\ast x^{3}+\cdots +(n-1)a_{n-1}\ast x^{n-2}+ na_{n}\ast x^{n-1}[/latex]

[latex]{P}»(x)=2a_{2}+6a_{3}\ast x +12a_{4}\ast x^{2}+ \cdots +(n-1)(n-2)a_{n-1}\ast x^{n-3}+ (n-1) na_{n}\ast x^{n-2}[/latex]

[latex]P^{(3)}(x)=6a_{3} + 24a_{4}*x + \cdots + (n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}*x^{n-4}+ (n-1)*[/latex]

[latex]*(n-2)na_{n}*x^{n-3}[/latex]

[latex]\cdots[/latex]

[latex]P^{(n-1)}(x)=(n-1)!*a_{n-1}+ n!a_{n}*x[/latex]

[latex]P^{(n)}(x)=n!a_{n}[/latex]

[latex]\left. \begin{array}{l}P(0) = {a_0}\\P'(0) = {a_1}\\P»(0) = 2!*{a_2}\\{P^{(3)}}(0) = 3!*{a_3}\\\cdots \\{P^{(n — 1)}}(0) = (n — 1)!*{a_{n — 1}}\\{P^{(n)}}(0) = n!*{a_n}\end{array} \right\} \Leftrightarrow \left.\begin{array}{l}{a_0} = {P_0}\\{a_1} = \frac{{P'(0)}}{{1!}}\\{a_2} = \frac{{P»(0)}}{{2!}}\\{a_3} =\frac{{{P^{(3)}}(0)}}{{3!}}\\\cdots \\{a_{n — 1}} = \frac{{{P^{(n — 1)}}(0)}}{{n — 1!}}\\{a_n} = \frac{{{P^{(n)}}(0)}}{{n!}}\end{array} \right\}[/latex]

[latex]P(x)=P(0)+\frac{{P}'(0)}{1!}x+ \frac{{P}»(0)}{2!}x^{2}+ \frac{P^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\frac{P^{(4)}(0)}{4!}x^{4}+\cdots + \frac{P^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}++ \frac{P^{(n)}(0)}{n!}x^{n}[/latex]

(формула Тейлора для многочлена по степеням [latex]x[/latex]).

Замечание

[latex]P(x)=A_{0}+A_{1}(x-x_{0})+A_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots +A_{n}(x-x_{0})^{n}[/latex]

[latex]A_{k}=\frac{P^{(k)}(x_{0})}{k!}\Rightarrow P(x)=P(x_{0})+\frac{{P}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{{P}»(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots +\frac{P^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}[/latex]

(ф-ла Тейлора для многчлена по степеням [latex](x-x_{0}))[/latex]

Частный случай формулы Тейлора при [latex]x_{0}=0[/latex] называется формулой Маклорена.

Пусть функции f и g в т. [latex]x_{0}[/latex] такие, что:
[latex]f(x_{0})=g(x_{0})[/latex]
[latex]{f}'(x_{0})={g}'(x_{0})[/latex]
[latex]{f}»(x_{0})={g}»(x_{0})[/latex]
[latex]\cdots[/latex]
[latex]f^{(n)}(x_{0})=g^{(n)}(x_{0})[/latex]
Следует ожидать, что функции f и g в окрестности т.[latex]x_{0}[/latex] похожи (графиками). И тогда функцию f локально можно заменить на g.

Нас будет интересовать g(x) как многочлен. Т.е. [latex]g(x)=P_{n}(x_{0},x)=\overbrace{c_{0}}^{f(x_{0})}+\overbrace{c_{1}}^\frac{{f'(x_{0})}}{1!}(x-x_{0})+\cdots +\overbrace{c_{n}}^\frac{{f^{(n)}(x_{0})}}{n!}(x-x_{0})^{n}[/latex]
[latex]f(x)\approx g(x)[/latex]
[latex]f(x_{0})=P_{n}(x_{0},x)[/latex]
[latex]{f}'(x_{0})={P}_{n}'(x_{0},x)[/latex]
[latex]\cdots [/latex]
[latex]f^{(n)}(x_{0})=P_{n}^{(n)}(x_{0},x)[/latex]

Итак, многочлен [latex]P_{n}(x,x_{0})=f(x_{0})+\frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\cdots + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}[/latex]
Многочлен Тейлора функции f в т.[latex]x_{0}[/latex] порядка n.

Пример.

Разложить многочлен [latex]P(x)=-4x^{3}+3x^{2}-2x+1[/latex] по степеням [latex]x+1[/latex].

Решение: Здесь [latex]x_{0}=-1, P'(x)=-12x^{2}+6x-2, P»(x)=-24x+6, P^{(3)}(x)=-24.[/latex]

Поэтому [latex]P(-1)=10, P'(-1)=-20, P»(-1)=30, P^{(3)}(-1)=-24.[/latex] Следовательно,

[latex]P(x)=10+\frac{-20}{1!}(x+1)+\frac{30}{2!}(x+1)^{2}+\frac{-24}{3!}(x+1)^{3},[/latex]

т.е. [latex]-4x^{3}+3x^{2}-2x+1=10-20(x+1)+15(x+1)^{2}-4(x+1)^{3}.[/latex]

Список литературы:

1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)

2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, Москва 1972, стр.138-139.

3. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.

Теорема. Пусть $latex f $ интегрируема на $latex [a,b] $. Тогда функция $latex F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt, x \in [a,b] $ непрерывна на $latex [a,b] $.

Доказательство.

Литература :

• Конспект по курсу математического анализа. ( преп. Лысенко З.М.)
• А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова, О.В. Ходос, В.Н. Лукин, Т.Н. Шипина «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2011. стр. 128

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Этот тест проверит ваши знания касательно непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Для чего мы воспользовались интегрируемостью  функции $latex f $ на отрезке $latex [a,b] $. Что из этого следует?

   • Ограниченность функции $ f $
   • Монотонность функции $ f $
   • Ничего. Мы не использовали интегрируемость $ f $ при доказательстве теоремы.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Дайте определение непрерывной функции.

   Непрерывная функция — …

   • это функция у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
   • это функция, приращение которой не меняет знака
   • это функция, у которой существует дифференциал
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Верно ли утверждение : Если функция $latex f $ непрерывна на отрезке $latex [a,b] $ то $latex \forall x \in [a,b] \exists F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt $

   • Да, верно
   • Нет, неверно
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Если функция $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt $ будет непрерывна на интервале $(a,b) $, а функция $ f $ интегрируема на отрезке $ [a,b] $, будет ли $ F(x) $ непрерывной и на отрезке $ [a,b] $

   • Да, будет.
   • Нет, не будет.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Если $ \forall x \in [a,b] \exists \int_{a}^{x} f(t)dt = F(x)$ гарантирует ли это непрерывность $ F(x) $ на $ [a,b] $

   • Нет.
   • Да
   Правильно
   

   Неправильно
   

Множество вещественных чисел

Всякую дробь вида $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{n}…$, где $latex a_{0} $ — целое неотрицательное число, а $latex a_{i} $ — десятичные знаки $latex (0,1,2,3,4,…,9) $ назовём вещественным (или действительным) числом.

(если перед дробью стоит $latex +$, то его опускают)

Множество таких чисел называют множеством вещественных чисел и обозначают $latex \mathbb{R} $.

Если дробь $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ является периодической, то её называют рациональным числом, а если она непериодическая дробь, то это число иррациональное.

Например: $latex x^{2}=2 $

$latex x=\pm\sqrt{2}=1,41421… $

$latex x$ — иррациональное число.

$latex \mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} $

$latex \mathbb{R}-\mathbb{Q} $ — множество иррациональных чисел.

Сравнение вещественных чисел

1.Пусть $latex \alpha$ и $latex \beta $ — неотрицательные вещественные числа.

$latex \alpha = a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}… $;   $latex \beta = b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}… $;

$latex \alpha = \beta $ $latex \Leftrightarrow$ $latex a_{k}=b_{k} $, $latex k=0,1,2,… $

$latex \alpha < \beta $, либо когда $latex a_{0} < b_{0} $, либо если $latex a_{0} = b_{0}$ и $latex \exists n:a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{n-1}=b_{n-1}; a_{n}<b_{n} $.

2. Пусть $latex \alpha$ — неотрицательное и $latex \beta $ — отрицательное, тогда $latex \alpha > \beta $.

3. Пусть $latex \alpha$ и $latex \beta $ — отрицательные, тогда

$latex \alpha = \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |=\left | \beta \right |$;

$latex \alpha < \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |>\left | \beta \right |$,

где $latex \left | \alpha \right |=\left | \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}… \right |=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$; $latex \left | \beta \right |=\left | \pm b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}… \right |=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}…$

Приближение вещественных чисел рациональными числами

Покажем, что любое вещественное число можно приблизить с любой степенью точности рациональными числами.

Возьмём вещественное число $latex a=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \ldots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \ldots$

Обрывая эту дробь на $latex n$-ном знаке после запятой получим рациональное число:
$latex {a}’=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0)$
Из правила сравнения вещественных чисел видно, что для $latex \forall n \in \mathbb{R}:$
$latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0) <$ $latex \underbrace{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \cdots}_{a}<$ $latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}+\frac{1}{10^{n}}$
Это неравенство значит, что число $latex a$ заключено между рациональными числами, разность между которыми равна  $latex \frac{1}{10^{n}}$.

$latex \frac{1}{10^{n}}<\varepsilon$;  $latex \varepsilon-$ фиксируемое  $latex \Rightarrow 1<\varepsilon 10^{n}$  $latex \Rightarrow \frac{1}{\varepsilon}<10^{n} \Rightarrow$  $latex n> \lg \frac{1}{\varepsilon}.$

Возьмём, например   $latex \varepsilon= \frac{1}{10^{3}}$.

Получаем   $latex n>\lg 10^{3} \Rightarrow n>3$.

Вывод: для любого вещественного вещественного числа $latex a$ и для любой наперёд заданной точности $latex \varepsilon$  существуют $latex \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{Q}$  такие, что  $latex \alpha_{1} \leq a \leq \alpha_{2}.$    $latex \alpha_{2}-\alpha_{1}<\varepsilon$.

Лемма

Если $latex \alpha$ и $latex \beta $ — вещественные числа. $latex \alpha ,\beta \in\mathbb{R}(\alpha < \beta )$, то $latex \exists r \in\mathbb{Q}:\alpha <r<\beta$.
$latex \square$ $latex 1) $ Если $latex \alpha$ и $latex \beta $ — рациональные, то $latex r=\frac{\alpha +\beta }{2}$.
$latex 1) $ Если одно из чисел $latex \alpha$ и $latex \beta $ иррациональное.
Допустим $latex \beta $ — иррациональное, тогда $latex \beta $ — бесконечная непереодическая дробь. Допустим $latex \alpha > 0 \Rightarrow \beta > 0$ (так как $latex \alpha < \beta $), тогда существует номер $latex p$, такой что $latex a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{p-1}=b_{p-1}$,   $latex a_{p}<b_{p}$.
Так как $latex \beta $ — иррациональное, то оно не может быть конечной десятичной дробью с периодом $latex «0»$. Поэтому существует номер больше $latex p$. Например $latex p+n$, такой что $latex b_{p+n}>0$.
Имеем $latex r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{p-1}b_{p}…b_{p+n-1}(0)$.
Получили число $latex r$, такое что $latex \alpha<r<\beta$.  $latex \blacksquare$

Аксиомы действительных чисел

Множеством $latex \mathbb{R} $ называется множество, на котором выполняются следующие условия:

$latex 1)$ Во множестве $latex \mathbb{R}$ определена операция «сложение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto a+b\in\mathbb{R}$
 a. $latex a+b=b+a$ (сложение коммутативно);
 b. $latex (a+b)+c=a+(b+c)$ (сложение ассоциативно);
 с. $latex \exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in\mathbb{R}:a+0=a$ (наличие нейтрального элемента);
 d. $latex \forall a\in\mathbb{R}$   $latex \exists «-a»:a+(-a)=0$ (наличие противоположного элемента).
Число $latex a+(-b)$ называется разностью чисел $latex a$ и $latex b$ и обозначаются $latex a-b$.

$latex 2)$ В $latex \mathbb{R}$ определена операция «умножение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto ab\in\mathbb{R}$
а. $latex ab=ba$ (коммутативность умножения);
b. $latex a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения);
с. $latex \exists 1\in\mathbb{R}: \forall a\in\mathbb{R}: a*1=a$ (наличие нейтрального элемента);
d. $latex \forall a\neq 0:\exists a^{-1}\in\mathbb{R}:a*a^{-1}=1$ (наличие противоположного элемента).
$latex a*b^{-1}$ — частное деление $latex a$ на $latex b$ и обозначается   $latex \frac{a}{b}$  или  $latex a:b$.

$latex 3)$ Выполняется дистрибутивный закон (связь сложения и умножения):
$latex \forall a,b,c\in \mathbb{R}: a(b+c)=ab+ac$.
$latex 4)$ $latex \forall a\in \mathbb{R}: a<0$ либо $latex a=0$, либо $latex a>0$.

При этом, если $latex a>0$ и  $latex b>0$ $latex \Rightarrow$  $latex a+b>0$,   $latex ab>0$.

Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.

Если $latex a-b>0$, то пишут $latex a>b$;

Если $latex a-b<0$, то пишут $latex a<b$;

Если $latex a-b=0$, то пишут $latex a=b$.

Для множеств:
Для $latex A,B \subset \mathbb{R}$
Запись $latex A \leq B$  означает, что  $latex \forall a \in A, \forall b \in B: a \leq b$.
Если  $latex A= \left \{a \right \}$ (множество из одного элемента)  и  $latex A \leq B$,  то  $latex a \leq B$.
Непрерывность множества $latex \mathbb{R}$ заключается в том, что в $latex \mathbb{R}$  нет «щелей», а именно справедлива:

Аксиома непрерывности

$latex \forall A,B \subset \mathbb{R} (A \neq \varnothing, B \neq \varnothing ):$ $latex a \leq b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R} :$ $latex a \leq c \leq b$.
Неравенство Бернулли
Пусть $latex x\in \mathbb{R}, x\geq 1, n\in \mathbb{N}$. Тогда
$latex \left ( 1+x \right )^{n} \geq 1+nx$
Доказательство:
Если n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно выполняется при $latex n \in \mathbb{N}$. Докажем его справедливость при $latex n+1 \in \mathbb{N}$. Действительно:

$latex \left ( 1+x \right )^{n+1}=$ $latex \left ( 1+x \right )^{n}\left ( 1+x \right )\geq \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )$;

$latex \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )=$ $latex 1+\left ( n+1 \right )x+nx^{2}\geq 1+\left ( n+1 \right )x$.

Что и требовалось доказать. $latex \blacksquare$

Вступление в теорию действительных чисел

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Множеством вещественных чисел является множество:

   • $$ \mathbb{N} $$
   • $$ \mathbb{Q} $$
   • $$ \mathbb{Z} $$
   • $$ \mathbb{R} $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Какова разность между числами 2,(8) и 2,(7)?
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   В множестве вещественных чисел коммутативными являются операции:

   • сложение
   • вычитание
   • умножение
   • частное деление
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Вещественное число представляется в виде:

   • $$ a_0,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}... $$
   • $$ a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n} $$
   • $$ \frac{a}{b} $$
   • $$ a_{0}a_{1}a_{2}... $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Отсортируйте по возрастанию числа:

   • 3,2
   • 3,21032134....
   • 3,21345...
   • 3,2(4)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. З.М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.
2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.2.
3. В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40 (скачать учебник можно здесь).

Подробнее о вещественных числах на:

Wikipedia

matica.org.ua

Теорема(необходимое условие интегрируемости)

Если функция [latex]f(x)[/latex] — интегрируема на [latex]\left [ a;b \right ][/latex], то она ограничена на [latex]\left [ a;b \right ][/latex].

Доказательство

[latex]\square [/latex]  Пусть [latex]f\in \mathbb{R}\left [ a;b \right ][/latex].Тогда,по определению: [latex]\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0:\forall T[/latex] — разбиения: как только[latex]\lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma _{T} \right(\xi ,f)-I |< \varepsilon [/latex], где  [latex]T =\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}[/latex] — разбиение [latex]\left [ a;b \right ][/latex]; [latex]\lambda [/latex]=max[latex]\left \{ \triangle x_{i} \right \}[/latex] — ранг разбиения; [latex]\triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}[/latex]; [latex]\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}[/latex] — набор промежуточных точек, [latex]\xi_{i}\in \bigtriangleup _{i},i=\overline{1,n}[/latex].

Выберем [latex]\varepsilon =1[/latex]( так как [latex]\varepsilon [/latex] — любое положительное) и обозначим интегральную сумму [latex]\sigma _{T}(\xi ,f)[/latex] через [latex]\sigma[/latex]. Тогда [latex]\exists \delta > 0: \forall T : \lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma -I \right |< 1\Leftrightarrow I-1< \sigma < I+1[/latex].

Предположим, что  [latex]f(x)[/latex] не ограничена на [latex]\left [ a;b \right ][/latex], и зафиксируем разбиение [latex]T[/latex] этого отрезка. В силу неограниченности функции  [latex]f(x)[/latex] на всём отрезке [latex]\left [ a;b \right ][/latex] она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков [latex]\triangle _{i}=[x_{i-1};x_{i}],i=\overline{1,n}[/latex]. Пусть для определённости это будет [latex]\triangle _{1}=[x_{0};x_{1}]=[a;x_{1}][/latex]. Теперь фиксируем промежуточные точки, начиная с [latex]\xi _{2}[/latex] (т.е. [latex]\xi _{i}\in\triangle _{i},i=\overline{2,n}[/latex]).Таким образом зафиксированная сумма будет иметь вполне определённое значение. Получим:

[latex]\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\sum\limits_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}[/latex]

[latex]I-1<\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\underset{A}{\underbrace{\sum_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}}}<I+1[/latex] , где A — некоторое число.

[latex]I-1-A<f(\xi _{i})\triangle x_{1}<I+1-A[/latex]      Разделим полученное неравенство на [latex]\triangle x_{1}[/latex]

[latex]\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I-1-A}}<f(\xi _{1})<\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I+1-A}}[/latex]

А это означает, что [latex]f[/latex] — ограничена на [latex]\triangle _{1}[/latex], что противоречит предположению. Следовательно, функция  [latex]f[/latex] ограничена на [latex]\left [ a;b \right ][/latex]. [latex]\blacksquare [/latex]

Замечание

Ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.

Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману

Практическое применение

Для существования определенного интеграла от некоторой функции [latex]f(x)[/latex] последняя,помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими её интегрируемость. Поэтому данная теорема является вспомогательной( например, для критерия интегрируемости). Таким образом её практическое применение сводится к облегчению доказательств более сложных теорем.

Литература:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Определенный интеграл»
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.:Высш.школа,1981,т.I — 687с.(с 442-443)
• Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс — 9-е изд. — М.:Айрис-пресс,2009.- 608 с.( с 259-260)

Смотрите дополнительно:

• В.А.Глазнев Высшая математика( 1 часть)
• Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману

Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Небольшой тест по данной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Теорема об ограниченности интегрируемой по Риману функции иначе называется

   • Необходимое условие интегрируемости
   • Достаточное условие интегрируемости
   • Альтернативы нет
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Расположите утверждения в таком порядке, чтобы из первого следовало второе

   • Функция интегрируема по Риману на отрезке
   • Функция ограничена на данном отрезке
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Расшифруйте запись: [latex]\lambda =max\left \{ \triangle x_{i} \right \}[/latex] ( несколько вариантов)

   • Ранг разбиения
   • Радиус разбиения
   • Диаметр разбиения
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Если функция ограничена на некотором отрезке [latex][a;b][/latex], то…

   • Эта функция интегрируема по Риману на данном отрезке
   • Эта функция не интегрируема по Риману на данном отрезке
   • Возможны оба варианта
   Правильно
   

   Неправильно
   

Рассмотрим последовательность $latex x_n$$latex = (1+\frac{1}{n})^n$, $latex n \in \mathbb{N}$.

Покажем, что последовательность ограничена и возрастает.

Сначала докажем монотонность. Воспользуемся биномом Ньютона:

$latex (a+b)^n$= $latex a^{n}+\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}+ \cdots + $

$latex +\frac{n (n-1) (n-2)\cdots (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}\cdot b^{n}$.

Полагая, что  $latex a= 1, b= \frac{1}{n}$,  получим:

$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= 1+\frac{n}{1}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{1}{n^{2}}+$

$latex +\frac{n (n-1) (n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{1}{n^{3}}+ … + \frac{n (n-1) (n-2)… (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot n}\cdot \frac{1}{n^{n}}= $

$latex = 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+\cdots + $

$latex +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots \cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}).$

$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+ \cdots + $

$latex + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}). (*)$

Из равенства $latex (*)$ следует, что с увеличением $latex n $ число положительных слагаемых в правой части увеличивается.

Кроме того, при увеличении $latex n$ число $latex \frac{1}{n}$ — убывает,

поэтому величины $latex (1-\frac{1}{n})$, $latex (1-\frac{1}{n})$, $latex \cdots$ возрастают.

Поэтому последовательность {$latex x_n$} =  $latex \{ (1+\frac{1}{n})^{n}\}$  — возрастающая, при этом $latex (1+\frac{1}{n})^{n}>2. (**)$

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства $latex (*)$ на единицу. Правая часть увеличится, получим неравенство:

$latex (1+\frac{1}{n})^{n}<1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+ \cdots +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}.$

Усилим полученное неравенство, заменив числа $latex 3, 4, 5, \cdots, n $, стоящие в знаменателях дробей, числом $latex 2$:

$latex (1+\frac{1}{n})^{n} = 1+ (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}).$

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

$latex 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+ \cdots +\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot (1- (\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}= 2 (1-\frac{1}{2^n})<2.$

Поэтому: $latex (1+\frac{1}{n})^{n}<1+2= 3. (***)$
Итак, последовательность ограничена, при этом для $latex n \in \mathbb{N}$ выполняются неравенства $latex (**)$ и $latex (***)$:
$latex 2 < (1+\frac{1}{n})^{n}<3.$

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой  $latex e$ :

$latex \lim\limits_{x\overset{}{\rightarrow \infty }}$$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= e.$

Определение:

Числом $latex e$ называется предел последовательности $latex x_{n}= (1+\frac{1}{n})^{n}, n \in \mathbb{N},$ т. е. $latex e= \lim\limits_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n}.$

Это число иррациональное и приближенно равно $latex e = 2.718281828\cdots$. Логарифмы с основанием $latex e$ называются натуральными и обозначаются $latex \log_{e}x= \ln x.$ Данный предел называют вторым замечательным пределом. Многие примеры сводятся с помощью простых замен ко второму замечательному пределу. Рассмотрим пример решения на второй замечательный предел.

Пример.

Найти предел $latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}.$

Решение.

Преобразуем предел:

$latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}= \lim\limits_{x \to \infty}$ $latex (1+\frac{1}{\frac{x}{2}})^{\frac{x}{2}\cdot 2}= e^{2}.$

Литература

1. Портал знаний (Введение в анализ->Последовательности)
2. Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, стр.17 (часть 1)
3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 74-76: М.Наука. — 1982, 616 стр.

Число е

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Число е

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Что мы используем при доказательстве монотонности последовательности $latex x_n=(1+\frac{1}{n})^{n}$?

   • бином Ньютона
   • метод математической индукции
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 4

   Чему равен предел $latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{1}{3x})^{4x} $ ?

   • $$ e^{\frac{1}{3}}$$
   • $$ e^{\frac{4}{3}}$$
   • $$ 0 $$
   • $$ 1 $$
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   По имени кого из ученых названо число $latex e$ в математике?

   • Евклид
   • Эйнштейн
   • Эйлер
   • Эрмит
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Ссылаясь на какую из перечисленных теорем последовательность $latex x_n=(1+\frac{1}{n})^{n}$,$latex n \in \mathbb{N}$ имеет предел?

   • Теорема Больцано-Вейерштрасса
   • Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
   • Теорема Кантора о вложенных отрезках
   • Теорема Линдемана — Вейерштрасса