3.2. Предел функции и его элементарные свойства

Будем рассматривать функции $f: X \to \mathbb R$, где $X \subset \mathbb R.$Окрестностью радиуса $\delta > 0$ (или $\delta$-окрестностью) точки $a \in \mathbb R$ мы называли множество таких $x ∈ \mathbb R$, что $a − \delta < x < a + \delta$, или, что то же самое, $\left | x − a \right | < \delta.$ Проколотой $\delta$-окрестностью точки $a$ называем $\delta$-окрестность точки $a \in \mathbb R$, из которой удалена сама точка $a$.  Другими словами, проколотая $\delta$-окрестность точки $a$ – это множество всех точек $x \in \mathbb R$, таких, что $a−\delta < x < a$ или $a < x < a + \delta$. Это можно записать так: $0 < \left | x − a \right | < \delta$.

Определение предела функции по Коши. Пусть функция $f$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $a$. Число $A$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$, зависящее, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < \left | x − a \right | < \delta$, справедливо неравенство от $\left | f \left ( x \right ) − A \right | < \varepsilon$. Если число $A$ является пределом функции $x$ в точке $a$, то говорят, что функция $f$ стремится к $A$ при $x$, стремящемся к $a$, и пишут: $\lim \limits_{x \to a} f \left ( x \right ) = A$, или $f \left (x \right ) \to A$ при $x \to a$.

Пример 1.
Пусть $f \left ( x \right ) = x \cdot \sin \frac{1}{x}, x\neq 0, a = 0.$
Данная функция определена в проколотой окрестности точки $a = 0.$ Покажем, что: $\lim \limits_{x \to 0} f \left (x \right ) = 0$. Зададим $\varepsilon > 0.$ Тогда для $x\neq 0$ неравенство $$\left | f \left (x \right ) — 0 \right | = \left | x \cdot  \sin \frac{1}{x} \right |\leqslant \left | x \right | \leqslant \varepsilon$$ справедливо, если только $0 < \left | x − 0 \right | = \left | x \right | < \delta$, где в качестве $\delta$ мы выбираем $\varepsilon$, т.е. $\delta = \varepsilon.$ Так как $\varepsilon > 0$ произвольно, то для любого $\varepsilon > 0$  найдется такое $\delta \left ( \delta = \varepsilon \right )$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < \left | x − 0 \right | < \delta$, справедливо неравенство $\displaystyle \left | x \cdot  \sin \frac{1}{x} — 0 \right | <  \varepsilon$. По определению, это и означает, что $\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} x \cdot \sin \frac{1}{x} = 0$.

Пример 2.
Пусть $f \left (x \right) = \operatorname {sgn} x = \left\{\begin{matrix}
1, x > 0, & \\
0, x = 0, & \\
-1, x < 0. &
\end{matrix}\right.$
Покажем, что функция $f$ не имеет предела в точке $a = 0$, т.е. для любого $A ∈  \mathbb R$  найдется такое $\varepsilon_{0} > 0$, что для каждого $\delta > 0$, найдется такое $x$, удовлетворяющее условию $0 < \left | x − 0 \right | < \delta$, при котором $\left | f \left (x \right ) − A \right | \leqslant \varepsilon_{0}.$
Пусть $A \in  \mathbb R$. Покажем, что $\varepsilon_{0} = 1$ обладает требуемым свойством. В самом деле, зададим произвольное $\delta > 0$. Если $A \leqslant 0$, то выберем такое $x$, что $−\delta < x < 0$, например, $\displaystyle x = \frac{−\delta}{2}$. Тогда $0 < \left | x − 0 \right | < \delta$, и $\left | f \left (x \right ) − A \right | = \left | − 1 − A \right | = 1 + A \leqslant 1 = \varepsilon_{0}$. Если же $A < 0$, то выберем такое $x$, что $0 < x < \delta$, например, $\displaystyle x = \frac{δ}{2}$. Тогда снова получим, что $0< \left | x − 0 \right | < δ$, и $\left | f \left( x \right) − A \right | = \left | 1 − A \right | = 1 − A \leqslant 1 = \varepsilon_{0}$. Итак, никакое $A ∈  \mathbb R$ не является пределом функции $f \left (x \right ) = \operatorname {sign} x $ в точке $a = 0$.

Замечание 1. В определении предела мы предполагаем, что функция $f$ определена в проколотой окрестности точки $a$. Может оказаться, что в самой точке $a$ функция $f$ также определена. Однако значение функции $f$ в этой точке $a$ совершенно не оказывает влияния на предел функции в этой точке, т. к. в определении предела мы рассматриваем лишь те значения $x$, которые отличны от $a$.

Пример 3.
Пусть $f \left ( x \right ) = |\operatorname {sign} x |= \left\{\begin{matrix}
1, x\neq 0, & \\
0, x = 0.  &
\end{matrix}\right.$
Покажем, что $\lim \limits_{x \to 0} f \left ( x \right ) = 1$.
Действительно, зададим $\varepsilon > 0$ и в качестве $\delta$ выберем любое положительное число, например, $\delta = 1$. Тогда из неравенства $0 < \left | x − 0 \right | = \left | x \right | < \delta$ вытекает $\left |f \left ( x \right) − 1 \right | = \left |1 − 1 \right | = 0 < \varepsilon$. Следует обратить внимание на то, что неравенство $\left | f \left( x \right) − 1 \right | < \varepsilon$ может и не выполняться при $x = 0$ (оно действительно не выполняется, если $\varepsilon \leqslant 1$. Но мы и не требуем, чтобы оно выполнялось при $x = 0$, т.к. рассматриваются лишь такие значения $x$, для которых $\left | x \right | > 0$.

Пример 4.
Докажем, что $\displaystyle \lim \limits_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} = 2$.
В самом деле, если $x \neq 1$, то $\displaystyle \frac{x^{2}-1}{x-1} = x + 1$, и тогда $\left | f \left (x \right) – 2 \right | = \left | \left( x+1 \right ) – 2 \right | = \left | x-1 \right | < \varepsilon$, если только $0 < \left | x-1 \right | < \delta$, где $\delta = \varepsilon$.

Замечание 2. Определение предела носит локальный характер. Это означает, что существование предела и его величина зависят лишь от значений, принимаемых функцией в достаточно малой проколотой окрестности точки $a$. Другими словами, если мы изменим функцию вне некоторой проколотой окрестности точки $a$, то это никак не скажется на существовании предела и его величине.

Пример 5.
Докажем, что $\lim \limits_{x \to a} \sqrt{x} = \sqrt{a}$ при любом $a > 0$.
Зададим $\varepsilon > 0$.Тогда для $x > 0$ неравенство $\displaystyle |\sqrt{x} — \sqrt{a}|= \frac{|x — a|}{\sqrt{x} + \sqrt{a}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{a}} < \varepsilon$ будет иметь место, если только $0 < |x — a| < \sqrt{a} \cdot  \varepsilon = \delta$.

Выше мы установили, что сходящаяся последовательность ограничена. Рассмотрим аналогичный вопрос для функций. Именно, следует ли из существования предела функции ее ограниченность? Отрицательный ответ на этот вопрос дает, например, функция $\displaystyle f \left ( x \right) = \frac{1}{x}, 0 < x < +\infty$. Действительно, легко видеть, что функция $f$ неограничена на $\left ( 0, +\infty \right )$. В то же время $\displaystyle \lim \limits_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1$. В самом деле,  $\begin{vmatrix}
\frac{1}{x} – 1
\end{vmatrix} = \left |x − 1 \right | x \leqslant 2 \left| x − 1 \right | < \varepsilon,$ если только $\displaystyle \left |x − 1 \right | < \delta = min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{\varepsilon}{2} \right\}.$ Тем не менее, справедлива.

Определение предела функции по Гейне.
Мы хотим связать определения предела функции и предела последовательности. Пусть функция $f$ определена в некоторой проколотой окрестности $U$ точки $a$. Возьмем произвольную последовательность аргументов $\begin{Bmatrix}
{x_{n}}
\end{Bmatrix}_{n=1}^{\infty}$, т.е. $x_{n} \in U \left( x_{n} \neq a, n = 1, 2, \cdots \right )$. Эта последовательность аргументов порождает последовательность значений функции $f$ в точках $x_{n}$, т.е. мы получаем последовательность $\begin{Bmatrix}
{f \left (x_{n} \right )}
\end{Bmatrix}_{n=1}^{\infty}$.

Определение. Пусть функция $f$ определена в проколотой окрестности $U$ точки $a$. Число $A$ называется пределом функции $f$ в точке $a,$ если каждая последовательность аргументов $\left\{f \left ( x_{n} \right ) \right\}$, стремящаяся к $a \left (т.е. x_{n} \in U, x_{n} \neq a, n = 1, 2, \cdots \right)$ порождает соответствующую последовательность значений функции $\begin{Bmatrix}
{f \left ( x_{n} \right )}
\end{Bmatrix}$, стремящуюся к $A$.

Итак, мы имеем два определения предела функции: по Коши и по Гейне. Покажем, что эти определения эквивалентны.

Эквивалентность двух определений предела функции в точке.
Пусть $\lim \limits_{x \to a} f \left (x \right) = A$ в смысле определения по Коши. Возьмем произвольную последовательность $\begin{Bmatrix}
{x_{n}}
\end{Bmatrix}, x_{n} \to a \left( n \to \infty \right), x_{n} \neq a$ и покажем, что $f \left( x_{n} \right) \to A \left( n \to \infty \right )$. Зададим $\varepsilon > 0$ и найдем $\delta > 0$, такое, что из неравенства $0 < \left |x − a \right | < \delta$ следует $\left |f \left ( x \right ) − A \right | < \varepsilon$. Пользуясь тем, что $x_{n} \to a \left ( n \to \infty \right )$, для найденного $\delta$ найдем номер $N$, такой, что при каждом $n \leqslant N$ справедливо неравенство $\left |x_{n} − a \right | < \delta$. Но тогда при каждом $n \leqslant N$ будет выполнено неравенство $|f \left( x_{n} \right ) − a| < \varepsilon$. Итак, для заданного $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, что для всех $n \leqslant N$ справедливо неравенство $|f \left( x_{n} \right ) − A| < \varepsilon$. Так как $\varepsilon > 0$ произвольно, то это означает, что $\lim \limits_{n \to \infty} f \left( x_{n} \right ) = A$.
Обратно, пусть число $A$ является пределом функции $f$ при $x \to a$ в смысле Гейне, т.е. для любой последовательности $\begin{Bmatrix}
{x_{n}}
\end{Bmatrix}\left ( x_{n} \to a, x_{n} \neq a \right )$ соответствующая последовательность значений функции $\begin{Bmatrix}
{f \left ( x_{n} \right )}
\end{Bmatrix}$ стремится к $A$. Предположим, что $A$ не является пределом функции $f$ в точке $a$ в смысле Коши. Это означает, что найдется такое $\varepsilon_{0} > 0$, что для любого $\delta > 0$ существует такое $x$, что $0 < \left |x − a \right | < \delta$, но $\left |f \left ( x \right ) − A \right | \leqslant \varepsilon_{0}$. Возьмем $\delta = 1$ и найдем такое $x_{1}$, что $0 < \left |x_{1} − a \right | < 1$ и $\left |f \left ( x_{1} \right ) − A \right | \leqslant \varepsilon_{0}$. Далее, для $ \displaystyle \delta = \frac{1}{2}$ найдем такое $x_{2}$, что $\displaystyle 0 < \left |x_{2} − a \right | < \frac{1}{2}$ и $\left | f \left( x_{2} \right) − A \right | \leqslant \varepsilon_{0}$. Полагая $\displaystyle \delta = \frac{1}{n}$, найдем такое $x_{n}$, что $\displaystyle 0 < \left | x_{n} − a \right | < \frac{1}{n}$ и $\left |f \left( x_{n} \right ) − A \right | \leqslant \varepsilon_{0}$. В результате получим последовательность $\begin{Bmatrix}
{x_{n}}
\end{Bmatrix}$. Из условия $\displaystyle \left|x_{n} − a \right| < \frac{1}{n}$  следует, что $x_{n} \to a \left (n \to \infty \right )$, а поскольку $\left |x_{n} − a \right| > 0$, то $x_{n} \neq a \left (n = 1, 2, \cdots \right)$. Кроме того, $\left |f(x_{n}) − A \right | \leqslant \varepsilon_{0}$. Это неравенство означает, что соответствующая последовательность значений функции $\left\{f \left (x_{n} \right ) \right\}$ не стремится к $A$. Окончательно, мы построили такую последовательность аргументов $\left\{x_{n}\right\}, x_{n} \to a, x_{n} \neq a$, что соответствующая последовательность значений функции $\left\{f \left( x_{n} \right ) \right\}$ не стремится к $A$. Это противоречит условию.

Итак, мы показали, что определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны. Часто на практике определение предела по Гейне используется для доказательства того, что у функции нет предела в точке $a$. Именно, отрицание определения предела в смысле Гейне выглядит следующим образом. Число $A$ не является пределом функции $f$ в точке $a$, если существует последовательность аргументов $\begin{Bmatrix}
{x_{n}}
\end{Bmatrix} \left (x_{n} \to a, x_{n} \neq a \right )$, такая, что $f \left (x_{n} \right)$ не стремится к $A$.
Предположим, что найдется такая последовательность аргументов, что соответствующая последовательность значений функции $\begin{Bmatrix}
{f \left( x_{n} \right )}
\end{Bmatrix}$ расходится. Тогда ясно, что никакое число не является пределом функции $f$ в точке $a$, т. е. $f$ не имеет предела при $x \to a$. Итак, для того чтобы показать, что функция $f$ не имеет предела в точке $a$, достаточно построить последовательность $\begin{Bmatrix}
{x_{n}}
\end{Bmatrix} \left(x_{n} \to a, x_{n} \neq a \right)$, такую, что $\begin{Bmatrix}
{f \left (x_{n} \right)}
\end{Bmatrix}$ не имеет предела.

Упражнение.
Доказать, что справедливо и обратное утверждение. Именно, если функция $f$ не имеет предела в точке $a$, то существует такая последовательность $\left\{x_{n} \right\} \left( x_{n} \to a, x_{n} \neq a \right)$, что $\left\{f \left (x_{n} \right ) \right\}$ расходится.

Пример.
Пусть $\displaystyle f(x) = \sin \frac{1}{x}  \left(x \neq 0 \right )$. Выберем две последовательности $\displaystyle {x}’_{k} = \frac{1}{2\pi k}$ и $\displaystyle {x}^{\prime\prime}_{k} = \frac{1}{2\pi \left(\frac{k+1}{4} \right)} \left(k = 1, 2,\cdots \right).$
Тогда ${x}’_{k} \to 0, {x}^{\prime\prime}_{k} \to 0 \left(k \to \infty \right)и f \left({x}’_{k} \right) = 0, f \left({x}^{\prime\prime}_{k} \right) = 1$. Составим последовательность аргументов ${x}’_{1}, {x}^{\prime\prime}_{1}, {x}’_{2}, {x}^{\prime\prime}_{2}, \cdots$. Тогда соответствующая им последовательность значений функции будет иметь вид $0, 1, 0, 1,…$ , которая, очевидно, расходится. Итак, мы построили стремящуюся к нулю последовательность отличных от нуля аргументов, такую, что соответствующая последовательность значений функции не имеет предела. Значит, на основании определения предела функции, функция $\displaystyle f \left(x \right) = sin \frac{1}{x}$ не имеет предела при $x \to 0$.

Идея решения этого примера часто используется и при решении других задач. Именно, для того чтобы показать, что функция $f$ не имеет предела при $x \to a$, достаточно построить две последовательности $\left\{{x}’_{n} \right\}$ и $\left\{{x}^{\prime\prime}_{n}\right\}$, стремящиеся к $a \left({x}’_{n} \neq a, {x}^{\prime\prime}_{n} \neq a \right)$, такие, что $\left\{f \left({x}’_{n} \right) \right\} $ и $\left\{f \left({x}^{\prime\prime}_{n} \right)\right\}$ аргументов ${x}’_{1}, {x}^{\prime\prime}_{1}, {x}’_{2}, {x}^{\prime\prime}_{2}, \cdots$ соответствующая последовательность значений функции $f \left({x}’_{1} \right), f \left( {x}^{\prime\prime}_{1} \right), f \left({x}’_{2} \right), f \left({x}^{\prime\prime}_{2} \right), \cdots$ будет расходящейся, так как у нее есть два различных частичных предела (не выполнено условие критерия сходимости в терминах верхнего и нижнего пределов последовательности).

Следствие. Если $f \left(x \right) \leqslant g \left(x \right)$ для всех $x$, принадлежащих проколотой окрестности $U$ точки $a$, то $\lim \limits_{x \to a} f \left(x \right) \leqslant \lim \limits_{x \to a} g \left(x \right)$, если эти пределы существуют. Действительно, если предположить, что $\lim \limits_{x \to a} f \left(x \right) < \lim \limits_{x \to a} g \left(x \right)$, то, в силу предыдущей теоремы, в некоторой проколотой окрестности точки $a$ будет справедливо неравенство $f \left(x \right) < g \left(x \right)$, что противоречит условию.

Предел функции и его элементарные свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Выберите правильное определение предела функции по Коши:

   • $\lim \limits_{x \to x_{0}}f(x) = A$ $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0: \forall x \in X:$ $0 < |x-x_{0}| < \delta$ $\\ \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$
   • $\lim \limits_{x \to x_{0}}f(x) = A$ $\exists \varepsilon > 0$ $\forall \delta > 0: \exists x \in X:$ $0 < |x-x_{0}| < \delta$ $\\ \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$
   • $\lim \limits_{x \to x_{0}}f(x) = A$ $\exists \varepsilon > 0$ $\forall \delta > 0: \exists x \in X:$ $\delta < |x-x_{0}| < 0$ $\\ \Rightarrow |f(x) - A| > \varepsilon$
   • $\lim \limits_{x \to x_{0}}f(x) = A$ $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0: \forall x \in X:$ $\delta < |x-x_{0}| < 0$ $\\ \Rightarrow |f(x) - A| > \varepsilon$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Выберите правильные утверждения:

   • Если функция $f$ имеет предел в точке $a$, то он единственный.
   • Если мы изменим функцию вне некоторой проколотой окрестности точки $a$, то это скажется на существовании предела и его величине.
   • Функция $f$ называется ограниченной на множестве $E$, если она ограничена на этом множестве сверху и снизу.
   • Число $A$ не является пределом функции $f$ в точке $a$, если существует последовательность аргументов $\begin{Bmatrix} {x_{n}} \end{Bmatrix} (x_{n} \to a, x_{n} \neq a)$, такая, что $f(x_{n})$ не стремится к $A$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Вычислите указанные пределы и установите соответствие:

   Элементы сортировки

   • $1$
   • $60$
   • $81$
   • $0$

   • $\lim \limits_{x \to 0} \frac{x^{2} + 3x- 1}{7x - 1}$

   • $\lim\limits_{x \to 10} \left( {2x\lg {x^3}} \right)$

   • $\lim\limits_{x \to 9} \large\frac{{4{x^2}}}{{1 + \sqrt x }}\normalsize$

   • $\lim\limits_{x \to 0} (x + 1)\sin x$

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Дополните определение предела функции по Гейне $$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A, $$если $\forall \left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty} \to a(x_n \neq a)$, $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty} \to \cdots$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Используя свойства пределов, вычислите $\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x^{2} + 5x — 6}{4x^{2} + 5x + 3}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Отсортируйте значения пределов функции от меньшего к большему.

   • $ \lim \limits_{x \to -1} 2x - 5$
   • $\displaystyle \lim \limits_{x \to 1} \frac{2x^{2} - 3x - 5}{ x + 1}$
   • $\displaystyle \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{ x - 99}$
   • $ \lim \limits_{x \to 2} \sqrt{x + 7}$
   Правильно
   

   Неправильно