Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах

Пусть число $ x \in \mathbb {R}$. Тогда обозначим через $q_1$ наибольшее целое число, меньшее $x$. Если $x$ не целое число, то мы получим равенство вида $\displaystyle x = q_1 + \frac{1}{x_1}$, так как дробь $\displaystyle \frac{1}{x_1} < 1$, то $ x_1>1 $, и тогда аналогично для $x_1$ находим такое целое $q_2 < x_1$, получаем $\displaystyle x_1 = q_2 + \frac{1}{x_2}$, возвращаясь к первому равенству $\displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2 + \frac{1}{x_2}}$. Продолжая этот процесс будем получать представления последующих $\displaystyle x_k:$ $$x_2 = q_3 + \frac{1}{x_3}, $$ $$x_3 = q_4 + \frac{1}{x_4},$$ $$\ldots$$ $$x_i = q_{i+1} + \frac{1}{x_{i+1}},$$ $$\ldots$$

В итоге и получим непрерывную дробь: $$ \begin{multline*} \displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2+ \frac{1}{q_3+\cdots}} \\ \ddots \\ \cdots + \frac{1}{\displaystyle q_{n-1} + \frac{1}{\displaystyle q_{n}+\frac{1}{x_n}}}.
\end{multline*}$$

Далее, нам стоит рассмотреть два случая: первый — $ x \in \mathbb {Q}$, т. е. $x$ — рациональное число и второй — $ x \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, т. е. $x$ — иррациональное число. Почему важны именно эти случаи?

По определению, рациональное число представимо в виде несократимой дроби $\displaystyle \frac{m}{n}$, где $ m \in \mathbb {Z}, \; n \in \mathbb {N}$, а, значит, и разложение, представленное сверху, должно быть конечным и, более того, может быть получено благодаря алгоритму Евклида.

С иррациональным числом получим ситуацию обратную — процесс можно будет продолжать неограниченно долго т. к. на каждом этапе $x_i$ будет иррационально.

Пусть $x_i$ — иррационально, тогда $$\displaystyle x_i = q_{i+1} + \frac{1}{x_{i+1}},$$ сумма $\displaystyle q_{i+1} + \frac{1}{x_{i+1}}$ — иррациональна, однако $q_{i+1}$ является целым по определению, которое мы дали ему выше $\Rightarrow$ дробь $\displaystyle \frac{1}{x_{i+1}}$ должна быть иррациональной. А это означает, что и $x_{i+1}$ — иррациональное число.

Т. е. получаем, что иррациональность $x_i$ влечёт за собой иррациональность $x_{i+1}$, а т. к. изначальное число $x$ — иррационально, то и все $x_j,$ при $j = 1,2,3 \ldots$ — иррациональны.

Как было упомянуто ранее, если $ x \in \mathbb {Q}$, то его разложение в непрерывную дробь можно получить с помощью алгоритма Евклида.

Перед описанием алгоритма стоит ввести понятие неполного частного — это целые числа вида $q_i, \; i = \overline{1,n}$.

Опишем сам алгоритм:

Суть алгоритма заключается в том, что на каждом шаге мы будем непосредственно получать одно из неполных частных — $q_i$, а также отношение $\displaystyle \frac{r_{i}}{r_{i-1}}$ (начиная со второго шага).

Пусть нам задано рациональное число, тогда его можно записать в виде несократимой дроби $\displaystyle \frac{m}{n}$, где $ m \in \mathbb {Z}, \; n \in \mathbb {N}$. Тогда, первый шаг: $$m=nq_1 + r_1 \Rightarrow \displaystyle \frac{m}{n} = q_1 + \frac{1}{\displaystyle \frac{m}{r_1}},$$ узнали значение $q_1$, а так же получили возможность вычислить значение $r_1$. Второй шаг: $$n = r_1q_2+r_2 \Rightarrow \displaystyle \frac{n}{r_1} = q_2 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_1}{r_2}},$$ узнали значение $q_2$, а так же получили возможность вычислить значение $r_2$. Продолжая алгоритм далее: $$r_1 = r_2q_3+r_3 \Rightarrow \displaystyle \frac{r_1}{r_2} = q_3 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_2}{r_3}}, \\ r_2 = r_3q_4+r_4 \Rightarrow \frac{r_2}{r_3} = q_4 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_3}{r_4}},\\ \cdots \\r_{n-2} = r_{n-1}q_n+r_n \Rightarrow \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}} = q_n + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_{n-1}}{r_n}}, \\ r_{n-1} = r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n} = q_{n+1}.$$ Заканчиваем алгоритм тогда, когда получим, что очередная дробь $\displaystyle \frac{r_{i-1}}{r_{i}}$ будет целым числом и, соответственно, $q_{i+1}$ будет полным частным.

Так как найдены все неполные частные, то дробь $\displaystyle \frac{m}{n}$ можно представить в виде: $$ \begin{multline*} \displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2+ \frac{1}{q_3+\cdots}} \\ \ddots \\ \cdots + \frac{1}{\displaystyle q_{n-1} + \frac{1}{\displaystyle q_{n}+\frac{1}{q_{n+1}}}}.
\end{multline*}$$

С помощью алгоритма Евклида есть возможность найти разложение в непрерывную дробь, однако, иногда промежуточные результаты важнее конечного, а именно: $$\displaystyle \delta_1 = q_1, \; \delta_2 = q_1 + \frac{1}{q_2}, \; \delta_3 = q1 + \frac{1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}}, \; \ldots$$ $\delta_i$ называются подходящими дробями. Несложно заметить зависимость $\delta_{i+1}$ от $\delta_i$ — если в записи $\delta_i $ число $ q_i$ заменить на сумму $\displaystyle q_i + \frac{1}{q_{i+1}}$, то мы получим $\delta_{i+1}.$

Подходящие дроби будут нас интересовать тем, что они образуют последовательность, которая приближается к изначальному числу. Понятно, что зная все неполные частные (после применения алгоритма Евклида) можно вычислить значения всех подходящих дробей, однако, это не очень удобно и долго.

Введем специальные обозначения для нахождения значений подходящих дробей: $\displaystyle \delta_i = \frac{P_i}{Q_i}$. При этом положим, что $P_0=1, \; P_1 = q_1$ и $Q_0=0, \; Q_1 = 1$. Так же стоит отметить, что в силу того, что для рационального числа $\displaystyle x = \frac{m}{n} $ непрерывная дробь конечна, то и количество подходящих дробей будет конечно, а это означает что существует равенство $\displaystyle \frac{m}{n} = \frac{P_i}{Q-i}$. А так как подходящие дроби так же являются несократимыми, то равенство можно упростить до $m = P_i$ и $n = Q_i$. Тогда получим, что: $$\displaystyle \delta_1 = \frac{q_1}{1} = \frac{P_1}{Q_1}, $$ $$ \delta_2 = q_1 + \frac{1}{q_2} = \frac{q_2 q_1+1}{q_2 \cdot 1 + 0} = \frac{q_2 P_1+P_0}{q_2 Q_1 + Q_0} = \frac{P_2}{Q_2}, $$ $$ \delta_3 = q1 + \frac{1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}} = \frac{q_1 \left( q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3} \right) +1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}} = \frac{q_1 \left( q_2 q_3 + 1\right)+q_3}{q_2 q_3 +1} = $$ $$ = \frac{q_1 q_2 q_3 + q_1 +q_3}{q_2 q_3} = \frac{q_3 \left( q_1 q_2 + 1 \right) + q_1}{q_3 q_2 + 1} = \frac {q_3 P_2 + P_1}{q_3 Q_2 + Q_1}.$$

Несложно заметить рекуррентное выражение для $\displaystyle \frac{P_i}{Q_i}$: $$P_i = q_i P_{i-1} + P_{i-2} \\ Q_i = q_i Q_{i-1} + Q_{i-2}. $$ Докажем это с помощью математической индукции.

База индукции: $\delta_3 = \displaystyle \frac{P_3}{Q_3} = \frac{q_3 P_2 + P_1}{q_3 Q_2 + Q_1}$.

Предположим, что $\delta_k = \displaystyle \frac{P_k}{Q_k} =\frac{q_k P_{k-1} + P_{k-2}}{q_k Q_{k-1} + Q_{k-2}}$.

Тогда: $$\delta_{k+1} = \frac{\displaystyle \left(q_k + \frac{1}{q_{k+1}} \right) P_{k-1} + P_{k-2} }{\displaystyle \left(q_k + \frac{1}{q_{k+1}} \right) Q_{k-1} + Q_{k-2}} = \frac {\displaystyle \frac{P_{k-1}}{q_{k+1}} + q_k P_{k-1} + P_{k-2}}{\displaystyle \frac{Q_{k-1}}{q_{k+1}} + q_k Q_{k-1} + Q_{k-2}} = $$ (выполним замену по предположению индукции) $$\displaystyle = \frac{\displaystyle \frac{P_{k-1}}{q_{k+1}} + P_k}{\displaystyle \frac{Q_{k-1}}{q_{k+1}} + Q_k} = \frac{P_{k-1} + P_k q_{k+1}}{Q_{k-1} + Q_k q_{k+1}} = \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}},$$ что и требовалось доказать.

Имеет место следующее свойство подходящих дробей:

Лемма. При $n > 0$ имеет место равенство $P_n Q_{n-1} — P_{n-1}Q_n = (-1)^n$.

Проверим значение левой части при $n = 1$, получим: $$P_1 Q_0 — P_0 Q_1 = -1,$$ далее вычислим значение левой части при увеличении индекса на 1, т. е. при $n+1,$ получим: $$ P_{n+1} Q_n — P_n Q_{n+1} = \left( q_{n+1} P_n + P_{n-1} \right) Q_n — P_n \left( q_{n+1} Q_n + Q_{n-1} \right) = \\ = P_{n-1} Q_n — P_{n} Q_{n-1}, $$ получили выражение противоположное заданному в условии. А, значит, при изменении индекса на единицу меняется и знак выражения, а т. к. первое значение $-1$, то и получаем требуемое.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач в которых могут быть использованы непрерывные дроби. Рекомендуется сначала решать примеры самому, а только затем сверить решение с представленным ниже.

  1. Разложить число $\displaystyle x = \frac{89}{13}$ в непрерывную дробь.
    Решение

    Применяя алгоритм Евклида получим: $$ 89 = 13 \cdot 6 + 11, \; q_1 = 6;$$ $$13 = 11 \cdot 1 + 2, \; q_2 = 1; $$ $$11 = 2 \cdot 5 + 1, \; q_3 = 5;$$ $$2 = 1 \cdot 2, \; q_4 = 2.$$ Нашли все $q_i \Rightarrow$ можем записать $x$ как непрерывную дробь: $$\displaystyle x = 6 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 5 + \frac{1}{2}}}$$

  2. Найти все подходящие дроби числа $\displaystyle x = \frac{127}{19}$.
    Решение

    Для этого используем рекуррентные формулы подходящих дробей. Воспользуемся алгоритмом Евклида для поиска всех $q_i$: $$ 127 = 19 \cdot 6 + 13, \; q_1 = 6;$$ $$19 = 13 \cdot 1 + 6, \; q_2 = 1; $$ $$13 = 6 \cdot 2 + 1, \; q_3 = 2;$$ $$6 = 1 \cdot 6, \; q_4 = 6.$$
    Далее будем выписывать подходящие дроби в порядке возрастания индекса: $$\displaystyle \delta_1 =\frac{q_1}{1} = \frac{6}{1}$$ $$\displaystyle \delta_2 =\frac{q_2 P_1 + P_0}{q_2 Q_1 + Q_0} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{1 \cdot 1 + 0} = \frac{7}{1},$$ продолжая расчеты получим: $$\displaystyle \delta_3 = \frac{2 \cdot 7 + 6}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{20}{3}$$ и, наконец, $$\displaystyle \delta_4 = \frac{6 \cdot 20 + 7}{6 \cdot 3 + 1} = \frac{127}{19} = x,$$как и ожидалось четвертая подходящая дробь равна заданному числу, т. к. максимальный индекс $q_i$ был равен четырём.

  3. Разложить в непрерывную дробь иррациональное число $\sqrt{7}$.
    Решение

    Для этого воспользуемся разложением, которое было представлено в теме первым. А именно
    $$\displaystyle x_0 = \sqrt{7} = q_1 + \frac{1}{x_1} = 2 + \left( \sqrt{7} — 2 \right)$$ $$\displaystyle \frac{1}{x_1} = \sqrt{7} — 2 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{\sqrt{7}-2} = \frac{\sqrt{7}+2}{3} = 1 + \frac{\sqrt{7}-1}{3} = 1 + \frac{1}{x_2},$$ $$\displaystyle x_2 = \frac{3}{\sqrt{7}-1} = \frac{3 \left( \sqrt{7} + 1 \right) }{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{7} — 1}{2} = 1 + \frac{1}{x_3},$$ $$\displaystyle x_3 = \frac{2}{\sqrt{7}-1} = \frac{2 \left( \sqrt{7} + 1 \right) }{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{3} = 1 + \frac{\sqrt{7} — 2}{3} = 1 + \frac{1}{x_4},$$ $$\displaystyle x_4 = \frac{3}{\sqrt{7} — 2} = \frac{3 \left(\sqrt{7} + 2 \right) }{3} = \sqrt{7} + 2 = 4 + \left( \sqrt{7} — 2 \right).$$
    Однако, слагаемое вида $\sqrt{7} — 2$ у нас уже было, а значит мы пришли к циклу. Выпишем все неполные частные, они же — целые части дробей. Получим: $\sqrt{7} = \left[2,\: \overline{1, \: 1, \: 1, \: 4} \right]$ — часть чисел находятся под чертой т. к. они находятся в цикле.

  4. Восстановить по заданным $q_i = \left[10, \: 4, \: 3, \: 2, \: 4 \right]$ рациональное число $x$.
    Решение

    Для этого воспользуемся разложением, полученным в результате алгоритма Евклида:
    Получим дробь: $$10 + \frac{1}{\displaystyle 4 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{1}{4}}}},$$ её значением и будет искомым $x$. Посчитав значение этой дроби получим, что $\displaystyle x = \frac{1361}{133}.$

  5. Восстановить по заданным $q_i = \left[\overline{2, \: 9} \right]$ иррациональное число $x$.
    Решение

    Так как число $x$ — иррациональное, то его непрерывная дробь будет бесконечной, поэтому воспользоваться методом из предыдущего примера не получится. Однако, так как мы видим по данным $q_i$, что дробь зацикливается, то можем записать следующие выражение: $$\displaystyle x = 2 + \frac{1}{\displaystyle 9 + \frac{1}{x}}$$ приведем дробь к квадратному уравнению: $$9x^2 — 18x + 2 = 0,$$ $$D = 324 + 72 = 396, \;
    \displaystyle x_{1,2} = 1 \pm \frac{\sqrt{396}}{18}.$$ Т. к. целая часть числа равна 2, то вариант $\displaystyle x = 1-\frac{\sqrt{396}}{18}$ можно отбросить. И окончательный ответ: $$\displaystyle x = 1 + \frac{\sqrt{396}}{18}$$

Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах

Тест на знание темы «Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах».

Смотрите также

  1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. cтр. 14-18
  2. Арнольд В.И. Цепные дроби.
  3. Теоретические материалы основанные на конспекте и лекциях Белозерова Г.С.

НОД двух многочленов

Для многочленов, также как и для множества целых чисел, можно определить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное.

При определении понятия НОД, для начала необходимо ознакомиться с понятием общего делителя двух многочленов. Заранее для краткости и удобства договоримся, что в дальнейшем под понятиями общего делителя и наибольшего общего делителя мы будем подразумевать их аналоги на множестве $P\left[x\right].$

Определение 1 (общий делитель)

Пусть даны $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P\left[x\right],$ причем $f\left(x\right), g\left(x\right) \neq 0.$ Тогда общим делителем этих многочленов будет являться многочлен $d\left(x\right) \in P\left[x\right]$ при условии, что $f\left(x\right) \vdots d\left(x\right)$ и $g\left(x\right) \vdots d\left(x\right).$

Замечание. Любая ненулевая константа является общим делителем для любых двух многочленов.

Пример 1. Пусть $f\left(x\right) = x^8-1,$ $g\left(x\right) = x^4-1.$ Для того, чтобы найти общие делители разложим эти многочлены по формуле разности квадратов: $$f\left(x\right) = x^8-1 = \left(x^4-1\right)\left(x^4 + 1\right) = \left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right)\left(x^4 + 1\right) =\\= \left(x-1\right)\left(x + 1\right)\left(x^2 + 1\right)\left(x^4 + 1\right),$$ $$g\left(x\right) = x^4-1 = \left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right) = \left(x-1\right)\left(x + 1\right)\left(x^2 + 1\right).$$Как мы видим, общими делителями являются $\left(x-1\right),$ $\left(x + 1\right)$ и $\left(x^2 + 1\right).$

Было бы некорректно применять такое определение НОД, по которому наибольшим общим делителем двух многочленов является их общий делитель наибольшей степени, т.к. оно является слишком обобщенным. Поэтому мы введём такое понятие:

Определение 2 (наибольший общий делитель)

Пусть даны $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P\left[x\right],$ причем $f\left(x\right), g\left(x\right) \neq 0.$ Тогда многочлен $d\left(x\right) \in P\left[x\right]$ будет являться их наибольшим общим делителем, если сам будет являться их общим делителем, который делится на любые другие общие делители $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right).$ Обозначение: $d\left(x\right) = \left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right)$ — НОД для $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P\left[x\right].$

Замечание. Пусть $f\left(x\right) = 0$ и $g\left(x\right) = 0.$ Тогда НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = 0.$

Лемма. НОД определен (если существует) с точностью до постоянного ненулевого множителя.

Пусть даны $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P\left[x\right],$ для которых $d_1\left(x\right), d_2\left(x\right) \in P\left[x\right]$ — два НОД.

Тогда, по определению, $d_1\left(x\right) \vdots d_2\left(x\right)$ и $d_2\left(x\right) \vdots d_1\left(x\right).$ По свойству делимости $\left(f\left(x\right) \vdots g\left(x\right) \wedge g\left(x\right) \vdots f\left(x\right) \Leftrightarrow \exists c \in P^*: f\left(x\right) = c \cdot g\left(x\right)\right)$ $d_1\left(x\right) = c_1 \cdot d_2\left(x\right),$ $c_1 \in P^*,$ $c_1 = \text{const}.$

Пусть $\exists c_2 \in P^*,$ $c_2 = \text{const}.$ Тогда, если $d_2\left(x\right)$ — общий делитель для $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ (по определению), то и $c_2 \cdot d_2\left(x\right)$ — тоже общий делитель. Соответственно, если $d_2\left(x\right)$ — НОД, т.е. делится на любой другой общий делитель (по определению), то и $c_2 \cdot d_2\left(x\right)$ — тоже является НОД.

Пример 2. Возьмём те же $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right),$ что и в примере 1: $f\left(x\right) = x^8-1,$ $g\left(x\right) = x^4-1.$ Чтобы найти НОД этих многочленов, разложим их так же, как и в предыдущем примере: $$f\left(x\right) = x^8-1 = \left(x^4-1\right)\left(x^4 + 1\right) = \left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right)\left(x^4 + 1\right) =\\= \left(x-1\right)\left(x + 1\right)\left(x^2 + 1\right)\left(x^4 + 1\right),$$ $$g\left(x\right) = x^4-1 = \left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right) = \left(x-1\right)\left(x + 1\right)\left(x^2 + 1\right).$$Очевидно, что наибольшим общим делителем будет являться $\left(x^4-1\right).$

Теперь разберем способ получения НОД двух многочленов. Находить его можно таким же способом, что и для двух целых чисел, — алгоритмом Евклида (или алгоритмом последовательного деления).

Замечание. С помощью этого алгоритма доказывается существование НОД двух многочленов.

Пример 3. Построим НОД для двух многочленов с помощью алгоритма Евклида. Пусть даны $f\left(x\right) = x^4+x^3-3x^2-4x-1$ и $g\left(x\right) = x^4+x^3-x-1.$

$x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $3x^2$ $-$ $4x$ $-$ $1$  
$x^4$ $+$ $x^3$     $-$ $x$ $-$ $1$  
      $-$ $3x^2$ $-$ $3x$      
$x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x$ $-$ $1$
$1$            
  $x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x$ $-$ $1$  
  $x^4$ $+$ $x^3$          
        $-$ $x$ $-$ $1$  
$-$ $3x^2$ $-$ $3x$      
$-$ $\frac{1}{3}x^2$          
        $-$ $3x^2$ $-$ $3x$  
        $-$ $3x^2$ $-$ $3x$  
              $0$  
$-$ $x$ $-$ $1$      
$3x$            

Последний ненулевой остаток и будет являться НОД этих многочленов, т.е. НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = -x-1.$

Может возникнуть случай, когда НОД двух многочленов будет равен $1.$ При этом говорят, что многочлены являются взаимно простыми.

Пример 4. Пусть даны $f\left(x\right) = -x^3+x-1$ и $g\left(x\right) = x-2.$ Найдем их НОД. Для удобства умножим $f\left(x\right)$ на $-1,$ получим $f\left(x\right) = x^3-x+1.$

$x^3$ $+$ $0x^2$ $-$ $x$ $+$ $1$  
$x^3$ $+$ $2x^2$          
    $2x^2$ $-$ $x$ $+$ $1$  
    $2x^2$ $-$ $4x$      
        $3x$ $+$ $1$  
        $3x$ $-$ $6$  
            $7$  
$x$ $-$ $2$        
$x^2$ $+$ $2x$ $+$ $3$    

Таким образом, многочлен $q\left(x\right) = x^2+2x+3$ — частное деления многочленов, а $r\left(x\right) = 7$ — остаток. Дальнейшее деление можно не продолжать, т.к. и так понятно, что в следующем остатке мы получим $0,$ т.е. $7$ будет последним ненулевым остатком, после умножения которого на $\displaystyle\frac{1}{7},$ НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = 1.$ Следовательно, $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ — взаимно простые.

Также стоит упомянуть и линейное представление НОД:$$d\left(x\right) = f\left(x\right) \cdot u\left(x\right) + g\left(x\right) \cdot v\left(x\right),$$ где $f\left(x\right), g\left(x\right), u\left(x\right), v\left(x\right) \in P\left[x\right],$ а $d\left(x\right) = \left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right).$

Примеры решения задач

  1. Определить наибольший общий делитель многочленов:
    1. $f\left(x\right) = x^2-9$ и $g\left(x\right) =x^3-27;$
    2. $f\left(x\right) = x^5+x^3+x$ и $g\left(x\right) = x^4+x^3+x;$
    Решение (пример a.)

    Для построения НОД воспользуемся алгоритмом Евклида. Так как степень многочлена $g\left(x\right)$ больше степени многочлена $f\left(x\right),$ то мы будем делить $g\left(x\right)$ на $f\left(x\right).$

      $x^3$ $+$ $0x^2$ $+$ $0x$ $-$ $27$  
      $x^3$     $-$ $9x$      
              $9x$ $-$ $27$  
    $x^2$ $-$ $9$        
    $x$            

    После первого деления мы получили остаток $r_1\left(x\right) = 9x-27.$ Для удобства мы можем умножить его на $\displaystyle\frac{1}{9}.$ Получим $r_1\left(x\right) = x-3.$

    Продолжаем наше деление, только в этот раз мы делим многочлен $g\left(x\right)$ на остаток $r_1\left(x\right).$

          $x^2$ $+$ $0x$ $-$ $9$  
          $x^2$ $-$ $3x$      
              $3x$ $-$ $9$  
              $3x$ $-$ $9$  
                  $0$  
    $x$ $-$ $3$        
    $x$ $+$ $3$        

    Теперь в остатке мы получили $0$ — значит деление закончено. Последний ненулевой остаток и будет являться НОД многочленов $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right).$ В нашем случае это $x+3.$

    Ответ: НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = x+3.$

    [свернуть]

    Решение (пример b.)

    Также как и в прошлом примере, воспользуемся алгоритмом последовательного деления.

    $x^5$ $+$ $0x^4$ $+$ $x^3$ $+$ $0x^2$ $+$ $x$  
    $x^5$ $+$ $x^4$     $+$ $x^2$      
      $-$ $x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $x$  
      $-$ $x^4$ $-$ $x^3$     $-$ $x$  
            $2x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $2x$  
    $x^4$ $+$ $x^3$ $+$ $x$    
    $x$ $-$ $1$        

    В результате первого деления мы получили остаток $r_1\left(x\right) = x-1.$ Продолжаем деление.

      $x^4$ $+$ $x^3$ $+$ $0x^2$ $+$ $x$  
      $x^4$ $-$ $\frac{1}{2}x^3$ $+$ $x^2$      
          $\frac{3}{2}x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $x$  
          $\frac{3}{2}x^3$ $-$ $\frac{3}{4}x^2$ $+$ $\frac{3}{2}x$  
            $-$ $\frac{1}{4}x^2$ $-$ $\frac{1}{2}x$  
    $2x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $2x$    
    $\frac{1}{2}x$ $+$ $\frac{3}{4}$        

    Для удобства умножим остаток $r_2\left(x\right) = -\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x$ на $-4$ и получим $r_2\left(x\right) = x^2+2x.$ Продолжаем деление.

          $2x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $2x$  
          $2x^3$ $+$ $4x^2$      
            $-$ $5x^2$ $+$ $2x$  
            $-$ $5x^2$ $-$ $10x$  
                  $12x$  
    $x^2$ $+$ $2x$        
    $2x$ $-$ $5$        

    Третий остаток умножим на $\displaystyle\frac{1}{12}$ и получим $r_3\left(x\right) = x.$ Поделим в последний раз.

              $x^2$ $+$ $2x$  
              $x^2$      
                  $2x$  
                  $2x$  
                  $0$  
    $x$            
    $x$ $+$ $2$        

    Как мы видим, последний ненулевой остаток равен $x$ — это и будет нашим НОД.

    Ответ: НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = x.$

    [свернуть]
  2. Пользуясь алгоритмом Евклида, убедиться в том, что многочлены $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ взаимно простые, и подобрать $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ так, чтобы $f\left(x\right) \cdot u\left(x\right) + g\left(x\right) \cdot v\left(x\right) = 1:$ $$f\left(x\right) = 3x^3-2x^2+x+2,\\ g\left(x\right) =x^2-x+1.$$
    Решение

    Как и сказано в условии задачи, воспользуемся алгоритмом Евклида, чтобы проверить равен ли НОД наших многочленов $1.$ В отличии от прошлого задания, здесь надо запоминать все частные и остатки.

      $3x^3$ $-$ $2x^2$ $+$ $x$ $+$ $2$  
      $3x^3$ $-$ $3x^2$ $+$ $3x$      
          $x^2$ $-$ $2x$ $+$ $2$  
          $x^2$ $-$ $x$ $+$ $1$  
            $-$ $x$ $+$ $1$  
    $x^2$ $-$ $x$ $+$ $1$    
    $3x$ $+$ $1$   $=$ $q_1\left(x\right)$  

    Получили остаток $r_1\left(x\right) = -x+1.$ Продолжаем деление.

          $x^2$ $-$ $x$ $+$ $1$  
          $x^2$ $-$ $x$      
                  $1$  
    $-$ $x$ $+$ $1$      
    $-$ $x$     $=$ $q_2\left(x\right)$  

    $r_2\left(x\right) = 1,$ следовательно НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = 1,$ значит, наши многочлены взаимно простые и можно продолжать решать. Запишем многочлены в таком виде:$$\begin{cases} f\left(x\right) = g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right) + r_1\left(x\right); \\ g\left(x\right) = r_1\left(x\right) \cdot q_2\left(x\right) + r_2\left(x\right). \end{cases}$$ Выразим $r_1\left(x\right)$ из первого равенства и подставим во второе:$$\begin{cases} r_1\left(x\right) = f\left(x\right)-g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right); \\ g\left(x\right) = \left(f\left(x\right)-g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right)\right) \cdot q_2\left(x\right) + r_2\left(x\right). \end{cases}$$ Помня про то, что $r_2\left(x\right) = d\left(x\right),$ продолжаем наши преобразования:$$f\left(x\right) \cdot \left(-q_2\left(x\right)\right) + g\left(x\right) \cdot \left(1 + q_1\left(x\right) \cdot q_2\left(x\right)\right) = d\left(x\right).$$ Подставляем значения:$$f\left(x\right) \cdot \left(x\right) + g\left(x\right) \cdot \left(-3x^2-x+1\right) = d\left(x\right).$$

    Если сравнить данное равенство с формулой линейного представления НОД, мы увидим, что получили $u\left(x\right) = x$ и $v\left(x\right) = -3x^2-x+1.$

    Ответ: $u\left(x\right) = x,$ $v\left(x\right) = -3x^2-x+1.$

    [свернуть]
  3. Пользуясь алгоритмом Евклида, найти многочлены $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ такие, чтобы они удовлетворяли равенству $f\left(x\right) \cdot u\left(x\right) + g\left(x\right) \cdot v\left(x\right) = d\left(x\right),$ где $d\left(x\right)$ — НОД многочленов $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right):$ $$f\left(x\right) = x^4+2x^3-x^2-4x-2,\\ g\left(x\right) = x^4+x^3-x^2-2x-2.$$

    Решение

    Для начала необходимо построить НОД. Для этого используем алгоритм Евклида.

    $x^4$ $+$ $2x^3$ $-$ $x^2$ $-$ $4x$ $-$ $2$  
    $x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x^2$ $-$ $2x$ $-$ $2$  
        $x^3$     $-$ $2x$      
    $x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x^2$ $-$ $2x$ $-$ $2$
    $1$       $=$ $q_1\left(x\right)$      

    Получили остаток $r_1\left(x\right) = x^3-2x.$ Делим дальше.

    $x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x^2$ $-$ $2x$ $-$ $2$  
    $x^4$     $-$ $2x^2$          
        $x^3$ $+$ $x^2$ $-$ $2x$ $-$ $2$  
        $x^3$     $-$ $2x$      
            $x^2$     $-$ $2$  
    $x^3$ $-$ $2x$          
    $x$ $+$ $1$     $=$ $q_2\left(x\right)$  

    Второй остаток $r_2\left(x\right) = x^2-2.$ Выполняем последнее деление.

              $x^3$ $-$ $2x$  
              $x^3$ $-$ $2x$  
                  $0$  
    $x^2$ $-$ $2$        
    $x$       $=$ $q_3\left(x\right)$  

    $r_3\left(x\right) = 0,$ следовательно НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = x^2-2.$ Дальнейшие наши действия ведутся по тому же принципу, что и в прошлой задаче, поэтому запишем многочлены в таком виде:$$\begin{cases} f\left(x\right) = g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right) + r_1\left(x\right); \\ g\left(x\right) = r_1\left(x\right) \cdot q_2\left(x\right) + r_2\left(x\right). \end{cases}$$ Выразим $r_1\left(x\right)$ и подставим его во второе равенство:$$\begin{cases} r_1\left(x\right) = f\left(x\right)-g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right); \\ g\left(x\right) = \left(f\left(x\right)-g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right)\right) \cdot q_2\left(x\right) + r_2\left(x\right). \end{cases}$$ Помним, что $r_2\left(x\right) = d\left(x\right),$ поэтому делаем замену:$$f\left(x\right) \cdot \left(-q_2\left(x\right)\right) + g\left(x\right) \cdot \left(1 + q_1\left(x\right) \cdot q_2\left(x\right)\right) = d\left(x\right).$$ Подставляем значения:$$f\left(x\right) \cdot \left(-x-1\right) + g\left(x\right) \cdot \left(x+2\right) = d\left(x\right).$$

    Итак, мы получили $u\left(x\right) = -x-1$ и $v\left(x\right) = x+2.$ На этом можно и закончить, но иногда стоит перепроверить правильность своих вычислений. Для проверки нам необходимо вместо $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$подставить их значения, а после раскрыть скобки. Если в итоге мы получим многочлен равный построенному НОД, то $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ подобраны верно. В нашем случае все сходится, а значит мы можем записывать их в ответ.

    Ответ: $u\left(x\right) = -x-1,$ $v\left(x\right) = x+2.$

    [свернуть]

Тест на проверку знаний по теме «НОД двух многочленов»

  1. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 416 с., стр. 168-170
  2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры — И., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968. — 431 с., стр. 137-141
  3. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида — это эффективный алгоритм для нахождения НОД. Для натуральных чисел, таких как $9$ и $6,$ достаточно было просто перебирать числа для нахождения НОД. Если же перебирать числа для более сложных примеров, как, например, $52152$ и $9875,$ то процесс нахождение НОД будет слишком долгим. Поэтому, вместо того чтобы перебирать числа, можно просто выполнить ряд простых действий.

Определение. Даны числа $A, B \in \mathbb{Z}^{+},$ где $A \geqslant B$ и $r_{k}, q_{k} \in \mathbb{Z}^{+},$ при $k = 1,2,3…n,$ где $r_k$ — остаток, а $q_{k}$ — частное. Находим ряд равенств: $$A = Bq_{1} + r_{1}$$ $$B = r_{1}q_{2}+r_2$$ $$r_{1} = r_{2}q_{3}+r_{3}$$ $$……$$ $$r_{n-1} = r_{n}q_{n+1}+0,$$ где $r_{n}$ и будет НОД целых чисел $A$ и $B$. Все ранее написанное и называется алгоритмом Евклида.

Другими словами, мы представляем деление $A$ на $B,$ как $A = Bq + r$ и пока остаток $r \neq 0$ мы делим делитель на остаток от деления. А так как остаток всегда меньше делителя двух целых чисел ($r_{1} < B$ или $r_{n} < r_{n-1}$), то рано или поздно остаток будет равен нулю. А НОД двух чисел будет последний делитель.

Выполним те же действия, но на этот раз запишем деление в столбик.


Спойлер

Евклид не открывал этот алгоритм. Этот алгоритм был придуман Аристотелем. Евклид лишь описал этот алгоритм в двух книгах «Начал», а конкретно в VII и X книгах. В первой он описал алгоритм как нахождение НОД двух натуральных чисел, а во второй как нахождение общей меры.

[свернуть]

НОД двух многочленов

Как и с большими целыми числами, алгоритм Евклида очень удобен для поиска НОД двух многочленов.

Теорема. Наибольший общий делитель двух многочленов существует.

Пусть даны два многочлена $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P[x],$ где $\deg \left(f\left(x\right)\right) \geqslant \deg \left(g\left(x\right)\right)$. Находим ряд равенств: $$f\left(x\right) = g\left(x\right)q_1\left(x\right)+r_1\left(x\right)$$ $$g\left(x\right) = r_{1}\left(x\right)q_{2}\left(x\right)+r_{2}\left(x\right)$$ $$r_{1}\left(x\right) = r_{2}\left(x\right)q_{3}\left(x\right)+r_{3}\left(x\right)$$ $$……$$ $$r_{n-1}\left(x\right) = r_{n}\left(x\right)q_{n+1}\left(x\right)+0,$$ где $r_{k}, q_{k} \in P[x]$ при $k = 1,2,3,…,n,$ где $r_{k}$ — остаток, а $q_{k}$ — частное. В случае с целыми числами, остатки в алгоритме убывают, при многочленах же убывают степени остатка ($\deg \left(r_{n}\left(x\right)\right) < \deg \left(r_{n-1}\left(x\right)\right) < \deg \left(r_{n-2}\left(x\right)\right) < …$), это означает, что наступит момент деления без остатка. Поэтому НОД двух многочленов, по алгоритму Евклида, будет последний отличный от нуля остаток(в нашем случае $r_{n}$).

В доказательстве мы явно описали принцип работы алгоритма Евклида для нахождения НОД двух многочленов над одним полем.

Запишем тот же алгоритм делением в столбик.

Примеры решения задач

Решим пару простых задач, где используется алгоритм Евклида. Рекомендую решить задания самостоятельно, а потом смотреть решение.

  1. Найти НОД $784$ и $552$ используя алгоритм Евклида.
    Решение

    Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$784 = 552 \times 1 + 232$$ $$552 = 232 \times 2 + 88$$ $$232 = 88 \times 2 + 56$$ $$88 = 56 \times 1 + 32$$ $$56 = 32 \times 1 + 24$$ $$32 = 24 \times 1 + 8$$ $$24 = 8 \times 3 + 0,$$ где число $8$ — НОД $784$ и $552,$ так как это последний делитель.

  2. Найти НОД $868$ и $923$ используя алгоритм Евклида.
    Решение

    Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$923 = 868 \times 1 + 55$$ $$868 = 55 \times 15 + 43$$ $$55 = 43 \times 1 + 12$$ $$43 = 12 \times 3 + 7$$ $$12 = 7 \times 1 + 5$$ $$12 = 7 \times 1 + 5$$ $$7 = 5 \times 1 + 2$$ $$5 = 2 \times 2 + 1$$ $$2 = 1 \times 2 + 0,$$ где число $1$ — НОД $868$ и $923,$ так как это последний делитель.

  3. Найти НОД $52800$ и $54108$ используя алгоритм Евклида.
    Решение

    Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$54108 = 52800 \times 1 + 1308$$ $$52800 = 1308 \times 480 + 480$$ $$1308 = 480 \times 2 + 348$$ $$480 = 348 \times 1 + 132$$ $$348 = 132 \times 2 + 84$$ $$132 = 84 \times 1 + 48$$ $$84 = 48 \times 1 + 36$$ $$48 = 36 \times 1 + 12$$ $$36 = 12 \times 3 + 0,$$ где $12$ — НОД $52800$ и $54108$.

  4. Найти НОД $x^5-10x^3-20x^2-15x-4$ и $x^4-6x^2-8x-3$ используя алгоритм Евклида.
    Решение

    Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$x^5-10x^3-20x^2-15x-4 = x\left(x^4-6x^2-8x-3\right) — 4x^3-12x^2-12x-4$$ $$x^4-6x^2-8x-3 = \left(- 4x^3-12x^2-12x-4\right)\left(- \frac{x}{4}\right) — 3x^3-9x^2x-9x-3$$ $$- 4x^3-12x^2-12x-4 =\left(-3x^3-9x^2x^2-9x-3\right)\left(-\frac{4}{3}\right) + 0,$$ где $3x^3-9x^2-9x-3$ — НОД многочленов $x^5-10x^3-20x^2-15x-4$ и $x^4-6x^2-8x-3,$ так как это последний делитель в алгоритме.

Проверка на освоение материала «Алгоритм Евклида».

Смотрите также

  1. Конспект Г.С.Белозерова. Глава 3 — 15с. — С. 3-5.
  2. Д.К. Фаддеев. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1984. — 416 с. — С. 7-11.
  3. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. — Москва, 1952. — 181 с. — С. 8-12.

М1689. Задача об арифметической прогрессии

Задача из журнала «Квант» (1999 год, 3 выпуск)

Условие

Арифметическая прогрессия из натуральных чисел содержит не менее трех членов, их произведение – делитель некоторого числа $n^2 + 1$.

  1. Докажите, что существует такая прогрессия с разностью $12$.
  2. Докажите, что такой прогрессии с разностью $10$ или $11$ не существует.
  3. * Какое наибольшее число членов может содержать такая прогрессия с разностью $12$?

Решение

  1. Рассмотрим числа $1$, $13$, $25$; для них $5^2 + 1 = 13\cdot2$,
    $7^2 + 1 = 25 \cdot 2$. Число $57^2 + 1$ делится на $13\cdot25$: к этому легко придти непосредственно, а общий метод см. ниже.
  2. Из трех чисел $а$, $а + 10$, $а + 20$ одно делится на $3$, а $n^2 + 1$ на $3$ не делится.
    Случай разности $11$ рассматривается аналогично.
  3. Ни один из членов прогрессии не делится на $7$, ибо на $7$ не делится $n^2 + 1$. Значит, из семи членов прогрессии (если бы такая была) можно было бы выбрать два, разность которых делится на $7$. Получили противоречие:
    $k\cdot 12$ кратно $7$ (пишут: $k\cdot 12 \vdots 7$), где $0 < k < 7$.

Докажем, что прогрессия из шести членов есть:

$\left(5, 17, 29, 41, 53, 65\right)$.

Нам нужно доказать существование такого числа $n$, что $n^2 + 1$ делится на
$$\begin{equation}\label{eq:exp1}5\cdot17\cdot 29\cdot 41\cdot 53\cdot 65 = \left( 25\right) \cdot 17\cdot 29\cdot 41\cdot 53\cdot 13.\end{equation}$$
Каждое из шести чисел в правой части $\eqref{eq:exp1}$ обладает
нужным свойством:

$\left(7 + 25x\right)^2 + 1 \vdots 25$, $\left(4 + 17y\right)^2+ 1 \vdots 17$,

$\left(12 + 29z\right)^2 + 1 \vdots 29$, $\left(9 + 41u\right)^2+ 1 \vdots 41$,

$\left(23 + 53v\right)^2 + 1 \vdots 53 \left( так \;как \;23^2 + 1 = 530\right),$

$\left(5 + 13w\right)^2+ 1 \vdots 13$.

Теперь нам понадобится предложение, известное как «китайская теорема об остатках».

Теорема. $a_1, \dotsc , a_m —$ натуральные числа, каждые
два из которых взаимно просты, $r_1, \dotsc , r_m —$произвольные целые числа. Тогда существуют целые числа $x_1, \dotsc , x_m$ такие, что

$a_1x_1+r_1=\dotsc=a_mx_m+r_m$.
При $m = 2$ теорема доказывается с помощью алгоритма Евклида, после чего ее утверждение распространяется на общий случай $m > 2$ по индукции.
Для окончания решения пункта в) достаточно применить теорему к системе уравнений $7 + 25x = 4 + 14y = \dotsc + 23+53v=5+13w$.

Дополнение. Существуют ли более длинные арифметические прогрессии, удовлетворяющие всем условиям нашей задачи? На этот вопрос нетрудно ответить с помощью результатов статьи «Суммы квадратов и целые гауссовы числа» (см. «Квант» №3 за 1999 год).Именно, легко показать, что разность любой прогрессии задачи обязана делиться на $12$. С другой стороны, выше мы показали, что разность любой такой прогрессии, содержащей не менее семи членов, должна делиться на $7$.
Прогрессия задачи с разностью $12\cdot7 = 84$ существует: с помощью статьи «Суммы квадратов…» и китайской теоремы об остатках легко показать, что делителем некоторого числа $n^2 + 1$ является произведение всех членов
прогрессии $\left(29, 113, 197, 281, 365, 449, 533, 617, 701,785\right)$.
Эта прогрессия содержит $10$ членов; $11$ же членов прогрессия задачи с разностью $84$ содержать не может: $84$ не делится на простое число $р = 4k + 3 = 11$.

В.Сендеров