Processing math: 100%

Метка: векторное произведение

Векторное произведение векторов, свойства, координатное представление

Векторное произведение векторов

Определение. Если наблюдатель, идя против часовой стрелке сначала встречает вектор →c, затем встречает вектор →a, затем вектор →b, то тройка векторов {→a,→b,→c} называется правой (рис. 1), если же наблюдатель шел по часовой стрелке и встретил вектора в той же последовательности, то тогда тройка векторов {→a,→b,→c} называется левой.

Определение с использованием руки (мнемоническое правило). Если обозначить указательный палец как →a, средний палец как →b, а большой палец как их произведение, т.е. →c, то расположение пальцев на правой руке является правой тройкой векторов, а на левой руке левой тройкой векторов.

На рисунке 1 показано как будет выглядеть правая тройка векторов.

рис. 1

Определение. Векторным произведением неколлинеарных векторов →a и →b называется вектор →c, такой, что

  1. |→c|=|→a|⋅|→b|⋅sinφ, где φ — угол между векторами →a и →b;
  2. Вектор →c ортогонален вектору →a и вектору →b;
  3. Тройка векторов {→a,→b,→c} правая.

Векторное произведение →a и →b обозначается как [→a,→b].

Свойства векторного произведения

  • [→a,→b]=−[→b,→a] (антикоммутативность).

    Смотря на определение видно, что произведения →a×→b и →b×→a имеют одинаковую длину. Так же они имеют противоположное направление из-за того, что sinφ нечетен.

  • [λ→a,→b]=λ[→a,→b] (ассоциативность).

    Докажем данное св-во для случая λ>0, а для λ<0, доказательство проводится аналогично. Легко заметить, что при λ>0 вектор λ(→a×→b) имеет то же направление, что и →a×→b (обратное при λ<0). Теперь нам надо доказать равенство длин этих произведений. |(→a×→b)|=|λ|⋅|→a×→b|=λ⋅|→a|⋅|→b|⋅sin(→a;→b), |(λ→a)×→b|=|λ→a|⋅|→b|⋅sin(→a;→b)=λ|→a|⋅|→b|⋅sin(→a;→b).

  • →a×(→b+→c)=→a×→b+→a×→c (дистрибутивность).
  • Условие коллинеарности векторов.

    Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору. →a‖→b,|→a|≠0,|→b|≠0⟺→a×→b=→0.

    Необходимость. Очевидно, что если вектора →a и →b коллинеарны, то синус угла между ними равен нулю, отсюда видим, что по определению, векторное произведение равно нулю.
    Достаточность. Теперь докажем в обратную сторону: если →a×→b=→0, то |→a|⋅|→b|⋅sin(→a;→b)=0⇒ один из сомножителей равен нулю. Так как ни один из векторов не равен нулю, то sin(→a;→b)=0, т.е. либо ^(→a;→b)=0, либо ^(→a;→b)=π и значит →a‖→b.

    Следствие: векторный квадрат равен нулевому вектору.

  • Геометрический смысл векторного произведения.

    Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на перемножаемых векторах (рис. 2).

    Если посмотреть векторного произведения |→a×→b|=|→a|⋅|→b|⋅sin(→a;→b), то мы видим общеизвестную формулу площади параллелограмма со сторонами, длины которых равны |→a| и |→b|.

    рис. 2

Координатное представление векторного произведения

Для того, чтобы выразить результат векторного произведения векторов →a=(ax,ay,az) и →b=(bx,by,bz) в координатах надо сначала найти все парные векторные произведения единичных векторов →i,→j,→k. →i×→i=→j×→j=→k×→k=0, →i×→j=→k,→j×→k=→i,→k×→i=→j, →j×→i=−→k,→k×→j=−→i,→i×→k=−→j. →a×→b=(ax⋅→i+ay⋅→j+az⋅→k)×(bx⋅→i+by⋅→j+bz⋅→k)= =axby⋅→i×→j+axbz⋅→i×→k+aybx⋅→j×→i+aybz⋅→j×→k+azbx⋅→k×→i+ +azby⋅→k×→j=axby⋅→k—axbz⋅→j—aybx⋅→k+aybz⋅→i+azbx⋅→j— −azbv⋅→i=(aybz—azby)→i—(axbz—azbx)→j+(axby—aybx)→k.
Легко заметить, что разности, стоящие в скобочках, равны определителям второго порядка. →a×→b=|ayazbybz|⋅→i—|axazbxbz|⋅→j+|axaybxby|⋅→k. Итак, видим, что справа от знака равно записано разложение определителя третьего порядка по первой строке. →a×→b=|→i→j→kaxayazbxbybz|. То есть →c=(|ayazbybz|,—|axazbxbz|,|axaybxby|).

Примеры решения задач

  1. Найти модуль векторного произведения векторов →a=(0,3,4) и →b=(5,12,0),φ=π3.
    Решение

  2. Найти координаты вектора →c, который является результатом векторного произведения векторов →a=(1,−2,3) и →b=(3,4,6).
    Решение
  3. Найти длины и координаты всех векторов получившихся в результате векторного умножения векторов →a=(2,3,4),→b=(−1,3,−7),→c=(0,0,3) зная, что sin(→a,→b)=12,sin(→a,→c)=13,sin(→b,→c)=56.
    Решение
  4. Найти площадь треугольника, у которого заданы координаты его вершин. A=(1,2,3),B=(5,11−2),C=(3,−6,4).
    Решение
  5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a=(1,−3,4),→AB, если A=(3,8,6),B=(2,4,−7) и угол между ними равен φ=π6.
    Решение

Список литературы

  1. Ефимов Н.В.: Краткий курс аналитической геометрии, стр. 154-163
  2. Постников М.М. Аналитическая геометрия, стр 133-134
  3. Личный конспект на основе лекций Белозерова Г.С.

Векторное произведение векторов

Тест для проверки знаний по теме «Векторное произведение векторов»

Вычисление площадей и объемов

Задача 1

Пирамида ABCD задана координатами своих вершин: A(4,−1, 0), B(2, 3, 4), C(−1, 4, 1), D(4,−3, 5). Найти:

  • объем пирамиды;
  • площадь грани ABC.


Спойлер

Задача 2

 

Найти объем пирамиды, у которой три грани принадлежат плоскостям XOY, XOZ, YOZ, четвертая проходит через плоскость P=4x+6y+3z−12=0, и имеет вершину в точке O(0, 0, 0).

Спойлер

Список использованной литературы:

О.Н.Цубербиллер «Задачи и упражнения по аналитической геометрии», Санкт-Петербург, 2003г., изд-во «Лань», стр.214