М698. Задача о центрах прямоугольников

Условие

На сторонах a, b, c, d вписанного в окружность четырехугольника «наружу» построены прямоугольники размерами a\times c, b\times d,c\times a, d\times b. Докажите, что центры этих прямоугольников являются вершинами а)параллелограмма, б)прямоугольника.

Решение


а) Пусть M, P, N, Q — центры прямоугольников, построенных на сторонах AB, BC, CN, DA вписанного четырехугольника ABCD (см. рисунок).
Поскольку в четырехугольнике, вписанном в окружность, суммы противоположных углов равны 180\textdegree , а прямоугольники, построенные на противоположных сторонах, конгруэнтны, то \angle MBP = \angle NDQ и \angle NCP = \angle MAQ (мы рассматриваем углы, меньшие 180\textdegree). Таким образом, треугольник MBP подобен NDC и треугольник NCP подобен MAQ. Отсюда \mid MP \mid = \mid NQ \mid и \mid NP \mid = \mid MQ \mid, а это означает, что четырехугольник MPNQ — параллелограмм.
б) Можно считать, что сторона MQ параллелограмма видна из точки A изнутри параллелограмма, сторона PN видна из точки C снаружи и, аналогично, сторона MP видна из точки B изнутри, а сторона NQ из точки D видна снаружи. Тогда расположение всех отрезков и треугольников будет таким, как показано на рисунке. Докажем, что, \angle MPN + \angle NQM = 180\textdegree (отсюда будет следовать, что \angle MPN = \angle NQM = 90\textdegree). Эта сумма, очевидно, равна \angle BPC + \angle DQA = 180\textdegree, поскольку \angle BPM = \angle DQN, а \angle CPN = \angle AQM.

М838. О разбиении точек, лежащих на сторонах треугольника, на множества

Задача из журнала “Квант” (1984, №3)

Условие

Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника $ABC$ разбиты на два множества $E_{1}$ и $E_{2}$. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множеств $E_{1}$ и $E_{2}$ найдется тройка вершин прямоугольного треугольника?

рис. 1

Ответ

Верно.

Доказательство

Доказательство проведем от противного. Пусть точки множества $E_{1}$ окрашены синим цветом, множества $E_{2}$ – красным. Предположим, что не существует прямоугольного треугольника с одноцветными вершинами, и рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в треугольник $ABC$ (см. рисунок 1). Каждые две его противоположные вершины должны быть окрашены по-разному — если, например, противоположные вершины $P$ и $Q$ синие, то любая из остальных четырех вершин должна быть красной, так как образует вместе с $P$ и $Q$ прямоугольный треугольник: но тогда любые три из этих красных точек образуют запрещенный одноцветный прямоугольный треугольник.

рис. 2

Ясно, что в таком случае найдутся две соседние разноцветные вершины шестиугольника. Либо эти две вершины, либо противоположные им (тоже разноцветные!) лежат на одной из сторон треугольника. Пусть для определенности на стороне $AB$ лежат синяя вершина $К$ и красная $L$, тогда противоположные им вершины $K’$ и $L’$ будут красной и синей (см. рисунок 3). Но тогда в какой бы цвет ни была окрашена вершина $А$, один из
прямоугольных треугольников $AKL’$ и $ALK’$ будет одноцветным. Противоречие.

рис. 3

Это рассуждение показывает, что даже множество из восьми точек — вершин шестиугольника и любых двух вершин треугольника — нельзя разбить на подмножества без прямоугольных треугольников.

Н.Б. Васильев, В.Н. Дубровский

M1421

Задача о неравенстве выпуклого четырехугольника

Условие

  1. В выпуклый четырехугольник ABCD, у которого углы при вершинах B и D — прямые, вписан четырехугольник с периметром P (его вершины лежат по одной на сторонах четырехугольника ABCD). Докажите неравенство P \geqslant  2BD
  2. В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

Решение

  1. Пусть EFKL — четырехугольник, вписанный в ABCD (см рис.). Обозначим через M и N середины отрезков EF и KL соответсвенно. Мы докажем неравенство задачи в более общем случае : \angle B \geq \frac{\pi}{2} , \angle D \geq \frac{\pi}{2}.
    При этом

    BM \leq  \frac{1}{2}EF , DN \leq\frac{1}{2}KL
    (*)

    Далее, так как \vec{MN }=\frac{1}{2}\left (  \vec{EK} +\vec{FL}\right ) , то

    \left | \vec{MN}  \right | \leq \frac{1}{2}\left ( EK+FL \right ).
    (**)

    Поскольку BM+MN+ND+ND \geq BD.
    получаем из (*), (**) неравенство задачи.

  2. Равенство (*) имеет место, если \angle B=\frac{\pi}{2}, \angle D=\frac{\pi}{2}.
    Неравенство (**) переходит в равенство, если EK||FK||MN. Кроме этого, в случае равенства точки B,M,N,D лежат на одной прямой.
    Из вышесказанного получаем следующий способ построения всех четырехугольников, для которых неравенство задачи превращается в равенство.
    Пусть O - точка пересечения AC и BD, AO \leq OC. Проведем через произвольную точку отрезка AO прямую EK, параллельную BD\left ( E\in AB, K \in AD \right ) . Симметрично отобразив прямую EK относительно BD, получим противоположную сторону FL четырехугольника.

Г. Нерсисян