Для начала определим некоторые важные понятия и рассмотрим их свойства.
Клеточное множество в $\mathbb{R}^n$
Пусть задано множество $A$. Совокупность множеств $\left \{ A_1,A_2,…,A_n \right \}$ назовем разбиением множества $A$, если выполнены условия:
1) $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^n A_i$.
2) Множества $ A_1,A_2,…,A_n$ попарно не пересекаются.
Множество
$$
\Pi=\left\{\left(x_1,…,x_n\right):\; a_i\leq x_i < b_i, \;i=\overline{1,n}\right\}
$$
будем называть клеткой в $\mathbb{R}^n$. Пустое множество — тоже клетка, размер которой бесконечно мал.
Множество $A\in\mathbb{R}^n$ называется клеточным, если оно является объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.
Свойства клеточных множеств.
Свойство 1. Пересечение двух клеток есть клетка.
Достаточно заметить, что пересечение двух произвольных полуинтервалов является либо таким же полуинтервалом, либо пустым множеством.
Свойство 2. Объединение конечного числа непересекающихся клеточных множеств является клеточным множетсвом
Справедливость этого свойства следует из определения клеточного множества.
Свойство 3. Пересечение двух клеточных множеств есть клеточное множество.
Предположим, у нас есть множества $A$ и $B$. Каждое из этих множеств мы можем разбить на клетки:
$$
\Pi_1,…,\Pi_p$$ $$\Pi_1^{\prime},…,\Pi_q^{\prime}
$$
Тогда множество $A\cap B$ можно разбить на клетки вида $\Pi_{ij}=\Pi_i\cap\Pi_j^\prime,\;i=\overline{1,p},j=\overline{1,q}$, а , следовательно, по свойству 1, оно является клеточным.
Свойство 4. Разность двух клеток есть клеточное множество.
Если клетка $\Pi$ пересекает клетку $Q$: $R=\Pi\cap Q$, то разность $\Pi \setminus Q$ равна разности $\Pi \setminus R$, и существует разбиение клетки $\Pi$ такое что $R$ является одной из клеток разбиения. А значит, мы можем ее удалить, получив в результате клеточное множество.
Свойство 5. Разность двух клеточных множеств есть клеточное множество.
Пусть имеется клеточное множество $A$. Разобьем его на клетки $\Pi_1,…,\Pi_p$. Докажем сначала, что разность клеточного множества и клетки есть клеточное множество. Пусть $Q$ — произвольная клетка. По свойству 4 множества $K_i=\Pi_i\setminus Q$ — клеточные, и попарно непересекающиеся. Следовательно, совокупность множеств $\left \{ K_1,K_2,…,K_p \right \}$ является разбиением разности множеств $A\setminus Q$. Теперь зададим клеточное множество $B$, и разобьем его на клетки $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_m^{\prime}$. Тогда множество $A\setminus B$ можно получить последовательным вычитанием клеток $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_m^{\prime}$ из множества $A$, то есть оно также является клеточным.
Свойство 6. Объединение конечного числа клеточных множеств есть клеточное множество
Докажем для случая двух множеств. Пусть $A$ и $B$ — клеточные множества. В силу свойств 3 и 5 $A\setminus B,\; B\setminus A,\; A\cap B$ — непересекающиеся клеточные множества. Тогда по свойству 2 их объединение будет клеточным множеством, которое, в свою очередь совпадает с $A\cup B$
Мера клеточного множества
Ребром клетки назовем любой из ее составляющих полуинтервалов $\left[a_i,\;b_i\right)$.
Мерой клетки будем называть произведение длин ее ребер: $$ m\left(\Pi\right)=\left(b_1-a_1\right)…(b_n-a_n) $$ Для одномерного случая это будет длина полуинтервала, для двумерного — площадь прямоугольника, для трехмерного — объем параллелепипеда.
Мерой клеточного множества $A$ назовем число:
$$
m\left(A\right)=\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_i\right),
$$
где $\Pi_1,…,\Pi_p$ — разбиение множества $A$.
Теперь докажем корректность определения.
Лемма 1. Мера клеточного множества не зависит от способа разбиения этого множества на клетки.
Легко показать, что утверждение верно для каждой отдельной клетки(доказывается прямым подсчетом). Пусть существуют два различных разбиения клеточного множества $A:\;\Pi_1,…,\Pi_p$ и $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_q^{\prime}$. Обозначим $\Pi_{ij}=\Pi_i\cap\Pi_j$. Понятно, что $\Pi_i=\bigcup\limits_{j=1}\limits^q\Pi_{ij}^\prime$, а $\Pi_j^\prime=\bigcup\limits_{i=1}\limits^p\Pi_{ij}$. Тогда:
$$
\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_i\right)=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^qm\left(\Pi_{ij}\right)=\sum_{j=1}^q\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_{ij}\right)=\sum_{j=1}^qm\left(\Pi_j^\prime\right),
$$
что и требовалось доказать.
Свойства меры клеточных множеств
Свойство 1. Если клеточные множества $A_1,…,A_p$ попарно не пересекаются, то
$$
m\left(\bigcup_{i=1}^pA_i\right)=\sum_{i=1}^pm\left(A_i\right)
$$
Справедливость данного свойства очевидна и следует из определения меры клеточного множества.
Свойство 2. Если $A$ и $B$- клеточные множества и $A\subset B$, то
$$
m\left(B\right)=m\left(A\right)+m\left(B\setminus A\right),\; m\left(A\right)\leq m\left(B\right).
$$
Множества $A$ и $B\setminus A$ не пересекаются, следовательно, по свойству 1, мера множества $B=A\cup \left(B\setminus A\right)$ будет равна сумме их мер.
Свойство 3. Если $A_1,…,A_p$ — клеточные множества, то
$$
m\left(\bigcup_{i=1}^pA_i\right)\leq \sum_{i=1}^pm\left(A_i\right)
$$
Докажем по индукции. Пусть $p=2$. Обозначим $B=A_1\cup A_2$. Тогда, поскольку $A_1\subset B$ и $B\setminus A_1\subset A_2$, выполняется свойство 5:
$$
m\left(A_1\cup A_2\right)=m\left(B\right)=m\left(A_1\right)+m\left(B\setminus A_1\right)\leq m\left(A_1\right)+m\left(A_2\right).
$$
Пусть неравенство выполняется для $p=k$. Докажем для $p=k+1$. Обозначим $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^kA_i$. Тогда мы можем рассмотреть пересечение множеств $A$ и $A_k+1$, аналогично случаю $p=2$, причем $m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^kA_i\right)\leq \sum\limits_{i=1}\limits^km\left(A_i\right)$.
Внутренностью клеточного множества назовем совокупность всех его внутренних точек, границей клетки — совокупность всех ее ребер.
Свойство 4. Для любого клеточного множества $A$ и любого $\varepsilon>0$ существует клеточное множество $A_\varepsilon,$ такое что $A_\varepsilon\subset\overline{A_\varepsilon}\subset A^0\subset A,$ где $\overline{A_\varepsilon}$ — замыкание множества $A_\varepsilon$, $A^0\;$ — внутренность множества $A_\varepsilon$.
Докажем для одной клетки $\Pi$. Возьмем произвольную точку $\left(x_1,…,x_n\right)$. Она будет принадлежать границе клетки, если существует такое $i$, что $x_i=a_i$ или $x_i=b_i$(следует из определения клетки, где $\left[a_i, b_i\right), i=\overline{1,n}$ — ребра клетки). Сдвигая концы ребра $\left[a_i, b_i\right)$ внутрь клетки, постоим клетку $\Pi_\varepsilon$, не содержащую граничных точек $\Pi$, мера которой будет отличаться от меры $\Pi$ меньше, чем на $A$.
Подготовив все необходимые понятия, перейдем к основной части нашей работы.
Мера Жордана
Множество $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ называется измеримым по Жордану, если для любого $\varepsilon>0$ найдутся два клеточных множества $A, B$, такие что $A \subset \Omega \subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)<\varepsilon$.
Рис. 1. Иллюстрация к определению множества, измеримого по Жордану.
Мы видим, что $$\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)\leq\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right).$$
Числа $\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)$ и $\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right)$ называются соответственно нижней и верхней мерой Жордана. Если эти меры равны, то множество $m\left(\Omega\right)$ — измеримо, а его мерой будет число $m\left(\Omega\right)=\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)=\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right)$.
Докажем корректность определения.
Лемма 2. В определении меры измеримого по Жордану множества $\Omega$ число $m\left(\Omega\right)$ существует и единственно, причем
$$
m\left(A\right)\leq m\left(\Omega\right)\leq m\left(B\right)
$$
Пусть $A$ и $B$ — клеточные множества, $A \subset \Omega \subset B$.
Существование.
По свойству 2 меры клеточных множеств $m\left(A\right)\leq m\left(B\right)$. Следовательно, найдется число $\gamma$, такое что
$$
m\left(A\right)\leq \sup_{A\subset\Omega}m\left(A\right)\leq \gamma \leq \inf_{\Omega\subset B}m\left(A\right)\leq m\left(B\right).
$$
Не ограничивая общности рассуждений, возьмем $m\left(\Omega\right)=\gamma$. Мы можем так сделать, исходя из определения меры, а, следовательно, число $m\left(\Omega\right)$ существует.
Единственность.
Пусть существуют два числа $\alpha$ и $\beta$, разделяющие числовые множества, порожденные мерами клеточных множеств $A$ и $B$:
$$
m\left(A\right)\leq \alpha \leq \beta \leq m\left(B\right).
$$
Множество $\Omega$ измеримо по Жордану, поэтому для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $A_\varepsilon$ и $B_\varepsilon$, такие что:
$$
A_\varepsilon\subset\Omega\subset B_\varepsilon, m\left(B_\varepsilon\right)-m\left(A_\varepsilon\right)<\varepsilon.
$$
Следовательно, верно неравенство: $$0\leq\beta-\alpha\leq m\left(B_\varepsilon\right)-m\left(A_\varepsilon\right)<\varepsilon,$$ а, значит, $\alpha=\beta$($\varepsilon$ выбирается произвольно).
Рассмотрим еще один важный случай.
Множества жордановой меры нуль
Чтобы определить понятие множества меры нуль, докажем небольшую лемму.
Лемма 3. Если $E\subset\mathbb{R}^n$ и для любого $\varepsilon>0$ найдется клеточное множество $B=B_\varepsilon$ такое что $E\subset B$ и $mB<\varepsilon$, то $mE=0$
Пусть $A=\varnothing$, тогда $A\subset E\subset B,\; mB-mA=mB<\varepsilon$, то есть $E$ — измеримо по Жордану. В силу произвольности $\varepsilon$ получаем, что $mE=0$.
Определенное таким образом множество будем называть множеством меры нуль. Такие множества обладают некоторыми важными свойствами, которые мы сейчас и рассмотрим.
Свойство 1. Объединение конечного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.
Докажем для двух множеств(для большего числа доказывается аналогично). Пусть заданы множества $E_1$ и $E_2$, такие что $m\left(E_1\right)=m\left(E_2\right)=0$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $B_1$ и $B_2$, такие что $$ E_1\subset B_1,\; E_2\subset B_2,\; m\left(B_1\right)<\frac{\varepsilon}{2},\; m\left(B_2\right)<\frac{\varepsilon}{2}.\; $$ Пусть $B=B_1\cup B_2$. По доказанному выше $B$ — клеточное множество, и выполняется:
$$
E_1\cup E_2\subset B_1\cup B_2,\quad m\left(B\right)\leq m\left(B_1\right)+m\left(B_2\right)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,
$$
а значит, $m\left(E_1\cup E_2\right)=0$.
Свойство 2. Подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль.
Пусть $E\prime$ и $E\prime$ — множества меры нуль. Тогда, по определению, для любого $\varepsilon>0$ найдется клеточное множество $A$, такое что $E\prime\subset E\subset A$ и $m\left(A\right)<\varepsilon$. Тогда, по свойству 1, $m\left(E\right)=0$.
Логично, что должны быть определенные необходимые и достаточные условия измеримости множества по Жордану. Прежде чем перейти к ним, докажем вспомогательную лемму.
Лемма 4 Если связное множество $A\subset\mathbb{R}^n$ не имеет общих точек с границей множества $B\subset\mathbb{R}^n$, то $A$ лежит либо внутри $B$, либо внутри его дополнения.
Предположим противное. Пусть существуют две точки $\alpha$ и $\beta$ множества $A$, такие что $\alpha$ принадлежит внутренности $B$, а $\beta$ принадлежит внутренности $B\setminus A$. По условию множество $A$ — связно, потому мы можем соединить эти две точки некоторой кривой $\Gamma$. Разобьем точки кривой на два класса: точка $\gamma$ принадлежит первому классу, если дуга кривой $\Gamma$ с концами $\alpha$ и $\beta$ лежит в множестве $B$. Второму классу будут принадлежать все остальные точки кривой. Тогда, согласно теореме об отделимости, мы можем разделить эти 2 класса некоторой точкой $e$, которая не принадлежит ни внутренности $B$, ни внутренности $B\setminus A$. Тогда точка $e$ является граничной для множества $B$, но по условию она принадлежит множеству $A$. Получаем противоречие.
И, наконец, докажем критерий.
Теорема(критерий измеримости множества в $\mathbb{R}^n$). Множество $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ будет измеримым по Жордану тогда и только тогда, когда оно ограниченно, а его граница $\partial\Omega$ имеет жорданову меру нуль.
Необходимость
Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ — измеримое по Жордану множество. Это значит, что для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $A$ и $B$, такие что $A \subset \Omega \subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)<\varepsilon$. Не ограничивая общности рассуждений, согласно свойству 4 меры клеточных множеств, считаем, что множество $A$ не содержит граничных точек $\Omega$, а множество $B$ содержит все такие точки. Тогда $\partial\Omega \subset B\setminus A$ и $m\left(B\setminus A\right)<\varepsilon$, следовательно, по лемме 3, множество $\partial\Omega$ имеет жорданову меру нуль.
Достаточность
Пусть $m\left(\partial\Omega\right)$ и $\Omega$ — ограниченное множество в $\mathbb{R}^n$. Заключим множество $\Omega$ в клетку $\Pi$. Теперь возьмем произвольное $\varepsilon>0$ и построим клеточное множество $C$, такое что $\partial\Omega\subset C$ и $m\left(C\right)<\varepsilon$. Тогда $\Pi\setminus C$ — клеточное множество, не содержащее граничных точек множества $\Omega$. Пусть $\Pi\setminus C=\bigcup\limits_{i=1}\limits^N\Pi_i$. Так как клетка $\Pi_i$ не содержит граничных точек множества $\Omega$, то в силу леммы 4 $\Pi_i\cap\Omega=\varnothing$ или $\Pi_i\subset\Omega$. Занумеруем клетки $\Pi_i$ в таком порядке, что $\Pi_1,…,\Pi_l\subset \Omega$, а $\Pi_{l+1},…,\Pi_N\cap\Omega=\varnothing$. Обозначим $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^l\Pi_i$ и $B=A\cup C=\Pi\;\setminus\;\left(\bigcup\limits_{i=l+1}\limits^N\Pi_i\right)$, тогда $A\subset\Omega\subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)=m\left(C\right)<\varepsilon$, то есть множество $\Omega$ измеримо по Жордану.
Свойства множеств, измеримых по Жордану
Свойство 1. Если множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$ измеримы по Жордану, то множества $\Omega_1\cap\Omega_2$, $\Omega_1\setminus \Omega_2$, и $\Omega_1\cup\Omega_2$ также измеримы по Жордану.
Измеримые по Жордану множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$ ограничены, следовательно, по доказанному выше критерию меры их границ равны нулю. Тогда мера их пересечения также будет равной нулю. Но мы знаем, что
$$
\partial \left(\Omega_1\cap\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,\quad\partial \left(\Omega_1\setminus\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,\quad\partial \left(\Omega_1\cup\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,$$ поэтому $$m\left(\partial \left(\Omega_1\cap\Omega_2\right)\right)=m\left(\partial \left(\Omega_1\setminus\Omega_2\right)\right)=m\left(\partial \left(\Omega_1\cup\Omega_2\right)\right).
$$
В силу критерия множества множества $\Omega_1\cap\Omega_2$, $\Omega_1\setminus \Omega_2$ и $\Omega_1\cup\Omega_2$ измеримы по Жордану.
Свойство 2. Если множества $\Omega_i,\;i=\overline{1,n}$ измеримы по Жордану, то и множествo $\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i$ измеримо по Жордану, и
$$
m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i\right)\leq\sum\limits_{i=1}^nm\left(\Omega_i\right).
$$
Если множества $\Omega_i,i=\overline{1,n}$ попарно не пересекаются, то
$$
m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i\right)=\sum\limits_{i=1}^nm\left(\Omega_i\right).
$$
Рассмотрим случай $n=2$. Если $\Omega_1$ и $\Omega_2$ – измеримые по Жордану множества, то в силу свойства 1 множество $\Omega_1\cup\Omega_2$ измеримо по Жордану. Из леммы 2 следует, что для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $B_1$ и $B_2$ такие что:
$$
\Omega_1\subset B_1,\;\Omega_1\subset B_1,\; m\left(\Omega_1\right)>m\left(B1\right)−\frac{\varepsilon}{2},\; m\left(\Omega_2\right)>m\left(B2\right)−\frac{\varepsilon}{2}.
$$
Тогда $B_1\cup B_2$ есть клеточное множество, содержащее множество $\Omega_1\cup\Omega_2$. Используя свойство 3 клеточных множеств, получаем, что:
$$
m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\leq m\left(B_1\cup B_2\right)\leq m\left(B_1\right)+m\left(B_2\right)\leq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right)+\varepsilon.
$$
В силу произвольности $\varepsilon$:
$$
m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\leq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right)$$ Пусть $\Omega_1\cap\Omega_2=\varnothing$. В силу леммы 2 найдутся клеточные множества $A_1$ и $A_2$, такие что
$$
A_1\subsetΩ_1,\;m(A_1)>m\left(Ω_1\right)-\frac{\varepsilon}{2},\;A_2\subsetΩ_2,\;m(A_2)>m(Ω_2)−\frac{\varepsilon}{2}.
$$
Тогда $A_1\cup A_2$есть клеточное множество, содержащееся в множестве $\Omega_1\cup\Omega_2$. Так как множества $A_1$ и $A_2$ не пересекаются, то
$$
m\left(Ω1\cupΩ2\right)≥m\left(A1\cup A2\right)=m\left(A1\right)+m\left(A2\right)>m\left(Ω1\right)+m\left(Ω2\right)−ε,
$$
Число $\varepsilon$ мы брали произвольно, следовательно,
$$
m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\geq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right).
$$
Мы видим, что мера объединения непересекающихся множеств $\Omega_1$ и $\Omega_2$ одновременно не превосходит и больше либо равна сумме их мер. А такое возможно, только если
$$
m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)=m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right).
$$
Применяя метод математической индукции, можно доказать исходное неравенство, а также случай равенства для любого $n\in\mathbb{N}$. Свойство доказано.
Пример
Множество $A=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \in \left[ 0,1 \right] \right\}$ измеримо по Жордану, так как само по себе является клеточным. А множество рациональных чисел на том же отрезке $A^\prime=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x\in\left[0,1\right]\right\}$ не измеримо, и мы можем легко это показать. Действительно, отрезке $\left[0,1\right]$ не существует подотрезка, заполненного только рациональными числами, то есть внутренняя мера Жордана множества $A^\prime$ равна $0$. С другой стороны, на всей числовой прямой мы не найдем отрезка, содержащего $\left[0,1\right]$ и заполненного рациональными числами. Это значит, что внешняя мера множества $A^\prime$ равна $1$. Мы видим, что верхняя и нижняя меры Жордана совпадают, а значит, по определению, множество $A^\prime$ не является измеримым по Жордану.
Использованная литература:
- Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов. — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2001 г., стр. 445-451
Дополнительная литература:
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 2. — Москва, Дрофа, 2003 г., стр.392-410
- Г. М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3. — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 1964 г., стр. 20-24
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Том 2. — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2002 г., стр. 235-236
Тест "Мера Жордана"
Пройдите небольшой тест, чтобы закрепить ваши знания.
Таблица лучших: Тест "Мера Жордана"
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
