8.5 Площадь поверхности тела вращения

Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция $f$. Будем вращать ее график вокруг оси $Ox$. В результате получим некоторую поверхность. Выведем формулу для вычисления ее площади.

Рассмотрим разбиение отрезка $\left[a,b\right]$ точками $a = x_{0} < x_{1} < . . . < x_{n}$. Вращая криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = f(x), x_{i} \leqslant x \leqslant x_{i+1}$, получим усеченный «конус» с образующей $y = f(x)$ и радиусами оснований $f(x_{i})$ и $f(x_{i+1})$. Соединим точки $\left(x_{i},f\left(x_{i}\right)\right)$ и $\left(x_{i+1},f\left(x_{i+1}\right)\right)$ отрезком. В результате вращения получим усеченный конус с теми же радиусами оснований и этим отрезком в качестве образующей. Площадь боковой поверхности этого конуса равна
$$2\pi\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}l_{i},$$
где $l_{i}=\sqrt{\left(\Delta x_{i}\right)^{2}+\left(f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i}\right)\right)^{2}}$ — длина образующей. Складывая, получаем
$$\sigma\equiv2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}l_{i}}.$$

При стремлении к нулю диаметра разбиения сумма σ стремится к определенному пределу, который естественно считать площадью поверхности вращения. С другой стороны, если в выражении для $l_{i}$ применить формулу Лагранжа, то получим
$$\sigma=2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right]^{2}}\Delta x_{i}},$$
где $\xi_{i}\epsilon\left[x_{i},x_{i+1}\right]$. Заменим в правой части $x_{i}$ и $x_{i+1}$ на $\xi_{i}$ и оценим погрешность. Имеем
$$\mid\sigma-2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f\left(\xi_{i}\right)}\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right]^{2}}\Delta x_{i}\mid\leqslant2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{i}\sqrt{1+M^{2}}\Delta x_{i}$$
где $ω_{i}$ – колебание функции $f$ на $\left[x_{i},x_{i+1}\right]$, а $M$ – верхняя грань функции $\mid f^{\prime}\mid$ на $\left[a,b\right]$. Из условий на функцию $f$ следует, что правая часть стремится к нулю вместе с диаметром разбиения. Поэтому сумма $\sigma$ стремится к $2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}{\text{d}x}$.

Итак, получили следующую формулу для нахождения площади поверхности вращения:
$$S=2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}{\text{d}x}.$$

Примеры решения задач

  1. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси $Ox$ дуги кубической параболы $y=x^{3}$, заключенной между прямыми $x=0$ и $x=1$.
    Решение

    $P=2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left(f^{\prime}\left(x\right)\right)^{2}}dx=2\pi\int\limits_{0}^{1}x^{3}\sqrt{1+\left(3x^{2}\right)^{2}}dx=$
    $=2\pi\int\limits_{0}^{1}x^{3}\sqrt{1+9x^{4}}dx=\begin{bmatrix}t=1+9x^{4} \\dt=36x^{3}dx \end{bmatrix}=$
    $=2\pi\int\limits_{1}^{10} \sqrt{t}\frac{\text{d}t}{36}=\frac{\pi}{18}\int\limits_{1}^{10} \sqrt{t}{\text{d}t}=\frac{\pi}{18}\cdot\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\mid^{10}_{1}=\frac{\pi}{27}\left(10\sqrt{10}-1\right)$

  2. Вычислить площадь поверхности, которая образована вращением кривой $y^{2}=4+x$, которая отсекается прямой $x=2$ вокруг оси $Ox$.
    Решение

    $P=2\pi\int\limits_{a}^{b} \psi\left(t\right)\sqrt{\left(\varphi^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}+\left(\psi^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}}=2\pi\int\limits_{-4}^{2} y\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}\text{d}x=$
    $=2\pi\int\limits_{-4}^{2} \sqrt{\left(4+x\right)\left(1+\frac{1}{4(4+x)}\right)}\text{d}x=\pi\int\limits_{-4}^{2} \sqrt{17+4x}{\text{d}x}=$
    $=\frac{\pi}{6}\left(125-1\right)=\frac{62}{3}\pi$

  3. Вычислить площадь поверхности тела вращения, заданными такими уравнениями: $x\left(t\right)=3\cos t$, $y\left(t\right)=3\sin t$.
    Решение

    $P=2\pi\int\limits_{a}^{b} y\left(t\right)\sqrt{\left(x^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}+\left(y^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}}\text{d}x=2\pi\int\limits_{0}^{\pi} 3\sin t\cdot3\text{d} t=$
    $=\frac{\pi}{6}\left(17+4x\right)^{\frac{3}{2}}\mid^{2}_{-4}=-18\pi \left(\cos t\right)\mid^{\pi}_{0}=-18\pi\cdot\left(\cos \pi-\cos 0\right)\mid^{\pi}_{0}=$
    $=-18\pi\left(-1-1\right)=36\pi$

Площадь поверхности тела вращения

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.1. Одесса, «Астропринт», 2010, стр 253-254
  3. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 13-ое издание, Московского университета, 1997, стр. 419-421

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть \left \{ f_{n} \right \} — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке \left[a;b\right] функций. Предположим, что в некоторой точке x\in \left[a;b\right] числовая последовательность \left \{ f_{n}(x_{0}) \right \} сходится, а функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right]. Тогда исходная последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right] к непрерывно дифференцируемой функции f, причем для любого x\in \left[a;b\right] справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x).

Доказательство

Спойлер

Обозначим \varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x). По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция \varphi непрерывна на \left[a;b\right]. Положим g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt. Применим на отрезке с концами x_{0} и xтеорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности \left \{ f'_{n}(t) \right \}. Тогда получим
g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f'_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0}). Тогда из равенства g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})) следует, что существует и \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x), т.е. мы показали, что последовательность \left \{ f_{n}(x) \right \} сходится на \left[a;b\right]. Обозначим f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x) и получим, что g(x)=f(x)-f(x_{0}), а так как функция g дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции \varphi) и g'(x)=\varphi (x)(в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция f также дифференцируема и f'(x)=\varphi (x), т.е. функция f имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x). Осталось показать, что последовательность \left \{ f_{n} \right \} сходится к функции f равномерно на \left[a;b\right]. Имеем
\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |.
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших n, а первое оцениваем так:
\left | \int_{x_{0}}^{x}f'_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f'_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f'_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt.
Теперь остается учесть, что последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится к функции \varphi равномерно на \left[a;b\right], и тем самым завершается доказательство теоремы.

[свернуть]

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций \left \{ u_{n} \right \}, такая, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится в некоторой точке x\in \left[a;b\right], а ряд из производных \sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда исходный ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство \left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )'=\sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right]).

Доказательство

Спойлер

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x).

[свернуть]

Теорема

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность дифференцируемых функций \left \{ f_{n} \right \}, сходящаяся в некоторой точке x\in \left[a;b\right] и такова, что функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right] к некоторой функции f, причем эта функция f дифференцируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

Спойлер

Зададим \varepsilon > 0. По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности \left \{ f'_{n} \right \}, существует такой номер N, что для всех n, m\geq N и для любого x\in \left[a;b\right] справедливо неравенство $$\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$$
Обозначим \varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x). Тогда \left | \varphi {}'_{n,m}(x) \right |< \varepsilon и, в силу формулы Лагранжа, $$\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$$
Отсюда следует, что
$$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$$
Из этого неравенства видно, что последовательность \left \{ f_{n} \right \} удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x). Далее, для n,m\geq N имеем $$\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$$
Это неравенство можем переписать так: $$\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon $$
Устремим n\rightarrow \infty и тогда получим $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$$
Зафиксируем m\geq N и найдем такое \delta >0, что для всех h, удовлетворяющих условию 0< \left | h \right |< \delta , справедливо неравенство $$\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon $$
Тогда получим, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Если в неравенстве \left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon (n, m\geq N) перейдем к пределу при n\rightarrow \infty (как уже доказано, он существует), то получим $$\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$$ где обозначено \varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x). Отсюда следует, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Это означает, что существует $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$$ .

[свернуть]

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Теорема о разности двух первообразных

Дифференцируемые в промежутке \bigtriangleup функции F(x) и G(x) будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции f(x) тогда и только тогда, когда разность их значений для любого x\in\bigtriangleup постоянна.

F(x)-G(x)=C=const

Спойлер

Пусть  F(x) — некоторая первообразная функции f(x) в промежутке \bigtriangleup. Следовательно, по определению F'(x)=f(x). Но тогда и функция G(x)=F(x)-C (C=const) также является промежутке первообразной функции f(x) в этом промежутке , поскольку G'(x)=(F(x)-C)'=F'(x)=f(x).

Пусть F(x)-G(x)=H(x). Найдем производную

H'(x)=(F(x)-G(x))'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0

Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство H'(x)=0 означает, что H(x)=F(x)-G(x)=C=const.
Итак, доказана эквивалентность тому, что функция F(x) и G(x) могут быть первообразными лишь одной и той же функции.

[свернуть]