Простейшие задачи аналитической геометрии заключаются в нахождении координат вектора, его длины, проекций и исследовании их свойств, вычислении угла между двумя векторами и т.п. В основе их решения лежит так называемый метод координат и использование декартовой прямоугольной системы координат. Этот метод состоит в том, что положение точки на плоскости или в пространстве однозначно определяется двумя или тремя координатами соответственно. В нашем случае это позволит определять положение вектора на прямой, плоскости или в пространстве. Все задачи будем рассматривать на примере трехмерного пространства и делать лишь некоторые оговорки для случая с двумерным пространством, т.к. отличия незначительны. Также будем считать, что имеется некоторая фиксированная декартова прямоугольная система координат с началом в точке $O(0, 0, 0).$

Итак, рассмотрим следующие задачи:

1. Координаты вектора
2. Координаты проекций вектора на оси координат и координатные плоскости
3. Расстояние между двумя точками
4. Угол между двумя векторами
5. Деление отрезка в заданном соотношении
6. Ортогональные проекции вектора на прямую и плоскость

Пусть заданы две точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right).$ Попробуем интерпретировать понятие расстояния между двумя точками и изобразить это в трехмерной системе координат, чтобы понять геометрический смысл. Для этого построим параллелепипед, в котором вектор $\overline{B_1B_2}$ будет его главной диагональю.

Принцип проектирования точек на координатные оси показан на данном рисунке на примере точки $B_2.$ Для точки $B_1$ ситуация аналогична. Итак, найдя проекции точек $B_1$ и $B_2,$ мы тем самым нашли проекции вектора $\overline{B_1B_2}.$

Обозначим две вершины параллелепипеда точками $A$ и $C.$ Теперь видно, что вектор $\overline{B_1B_2}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $B_1CB_2,$ для нахождения которой необходимо вычислить длину катетов $B_1C$ и $B_2C.$ Рассмотрим треугольник $B_1AC$ гипотенуза которого является катетом $B_1C$ треугольника $B_1CB_2.$ По теореме Пифагора $B_1C = \sqrt{{AB_1}^2 + {AC}^2}.$ Значит, получаем итоговую формулу: $$B_1B_2 = \sqrt{{B_1C}^2 + {B_2C}^2}.$$ Теперь, подставляя координаты точек $B_1$ и $B_2,$ имеем: $$\rho\left(B_1, C\right) = \sqrt{\left(\alpha_2 — \alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2 — \beta_1\right)^2},$$ $$\rho\left(B_1, B_2\right) = \sqrt{\left(\alpha_2 — \alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2 — \beta_1\right)^2 + \left(\gamma_2 — \gamma_1\right)^2},$$где за $\rho$ обозначено расстояние между точками. Подобным образом можно вычислить и длину вектора $\overline{B_1B_2}:$ $$\left|\overline{B_1B_2}\right| = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2},$$ где $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ координаты вектора. Для плоскости все рассуждения остаются аналогичными, а формулы выглядят следующим образом: $$\rho\left(B_1, B_2\right) = \sqrt{\left(\alpha_2 — \alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2 — \beta_1\right)^2},$$ $$\left|\overline{B_1B_2}\right| = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}.$$

Пусть в пространстве заданы три точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right),$ $B\left(\alpha, \beta, \gamma\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ лежащие на одной прямой, причем $B$ не совпадает с $B_2.$ Если определить вектор $\overline{B_1B_2},$ то число $\lambda$ называется отношением, в котором точка $B$ делит $\overline{B_1B_2}.$ Причем, если $\lambda\gt 0,$ точка $B$ лежит между точками $B_1$ и $B_2,$ если $\lambda\lt 0,$ то $B$ находится вне отрезка, а если $\lambda = 0,$ то $B$ совпадает с $B_1.$

Однако задача заключается в нахождении координат точки $B,$ считая число $\lambda$ и координаты точек $B_1,$ $B_2$ известными. Для наглядности изобразим это в трехмерной системе координат и построим проекции точек $B,$ $B_1$ и $B_2$ на ось абсцисс:

Понятно, что проекции точек также определяют соответствующие вектора, поэтому точка, например $B_x,$ делит отрезок $B_{1x}B_{2x}$ также в отношении $\lambda.$ Учитывая формулы первой статьи, найдем координаты полученных векторов: $$\overline{B_{1x}B_x} = \left(\alpha-\alpha_1\right),$$ $$\overline{B_xB_{2x}} = \left(\alpha_2-\alpha\right).$$

Тогда на примере проекций точек на ось абсцисс найдем координаты $B_x:$ $$\alpha = \frac{\alpha_1 +\lambda\alpha_2}{1+\lambda},$$ $$\beta = \frac{\beta_1+\lambda\beta_2}{1+\lambda},$$ $$\gamma = \frac{\gamma_1+\lambda\gamma_2}{1+\lambda}.$$

Для проекций точек на остальные оси формулы аналогичны. В случае плоскости вся разница состоит в том, что точки $B,$ $B_1$ и $B_2$ определяются двумя координатами.

Зададим в трехмерной декартовой прямоугольной системе координат две точки $B_1$ и $B_2,$ определяющие вектор $\overline{B_1B_2}\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right).$ Опустим из них перпендикуляры на плоскость $xy$ и получим точки $B_{1xy}$ и $B_{2xy}:$

Заметим, что прямые $B_1B_{1xy}$ и $B_2B_{2xy}$ параллельны оси аппликат, которая в свою очередь перпендикулярна плоскости $xy.$ Поэтому тот факт, что мы работаем именно в прямоугольной декартовой системе очень важен, так как в противном случае проекции не будут ортогональными. Итак, точки $B_{1xy}$ и $B_{2xy}$ определяют вектор $\overline{B_{1xy}B_{2xy}},$ который является ортогональной проекцией $\overline{B_1B_2}$ на плоскость $xy.$ Обозначим его следующим образом: $$\overline{B_{1xy}B_{2xy}} = pr_{xy}\overline{B_1B_2}.$$

Рассмотрим некоторые свойства проекций. Для этого возьмем еще один произвольный вектор $\overline{A_1A_2}\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right)$ и для векторов $\overline{B_1B_2}$ и $\overline{A_1A_2}$ определим операции сложения и умножения на константу: $$\overline{B_1B_2}+\overline{A_1A_2} = \left(\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, \gamma_1+\gamma_2\right),$$ $$\lambda\overline{B_1B_2} = \left(\lambda\alpha_1, \lambda\beta_1, \lambda\gamma_1\right),$$ $$\lambda\overline{A_1A_2} = \left(\lambda\alpha_2, \lambda\beta_2, \lambda\gamma_2\right).$$

Используя материалы второй статьи, найдем координаты проекций векторов на плоскость $xy:$ $$pr_{xy}\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_1, \beta_1, 0\right),$$ $$pr_{xy}\overline{A_1A_2} = \left(\alpha_2, \beta_2, 0\right).$$

Тогда можно описать следующие свойства: $$pr_{xy}\left(\overline{B_1B_2}+\overline{A_1A_2}\right) = pr_{xy}\overline{B_1B_2}+pr_{xy}\overline{A_1A_2} = \left(\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, 0\right),$$ $$pr_{xy}\left(\lambda\overline{B_1B_2}\right) = \lambda pr_{xy}\left(\overline{B_1B_2}\right) = \left(\lambda\alpha_1, \lambda\beta_1, 0\right),$$ $$pr_{xy}\left(\lambda\overline{A_1A_2}\right) = \lambda pr_{xy}\left(\overline{A_1A_2}\right) = \left(\lambda\alpha_2, \lambda\beta_2, 0\right).$$

При построении проекции вектора на координатную ось, все рассуждения остаются аналогичными.

В трехмерной системе координат зададим две точки $B_1$ и $B_2.$ Рассмотрим вектора $\overline{OB_1}\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $\overline{OB_2}\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ где точка $O$ — начало координат.

Определение. Углом между двумя векторами называется наименьший угол, при повороте на который направление одного вектора совпадает с направлением второго.

Для нахождения угла между векторами $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2}$ воспользуемся материалом первой статьи. Пусть точки $B_1$ и $B_2$ определяют вектор $\overline{B_1B_2}.$ Тогда $\overline{B_1B_2}$ представим в виде разности векторов $\overline{OB_2}$ и $\overline{OB_1}:$

Из рисунка видно, что искомый угол $B_1OB_2$ можно найти с помощью теоремы косинусов: $$\left|\overline{OB_2}-\overline{OB_1}\right|^2 = \left|\overline{OB_1}\right|^2 + \left|\overline{OB_2}\right|^2-2\cdot\left|\overline{OB_1}\right|\cdot\left|\overline{OB_2}\right|\cdot\cos \left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right).$$

Теперь необходимо найти длины векторов. Опираясь на материал третьей статьи, имеем: $$\left|\overline{OB_1}\right| = \sqrt{\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2},$$ $$\left|\overline{OB_2}\right| = \sqrt{\alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2}.$$ Подставим результат в формулу: $$\left(\alpha_2-\alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2-\beta_1\right)^2 + \left(\gamma_2-\gamma_1\right)^2 = \alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2 + \\ + \alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2-2\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}\cdot\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right),$$ и упростим выражение: $$-2\left(\alpha_2\alpha_1 + \beta_2\beta_1 + \gamma_2\gamma_1\right) = -2\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}\cdot\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right).$$ Откуда:$$\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right) = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2 + \gamma_1\gamma_2}{\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}}.$$ В случае двумерного пространства формула примет следующий вид: $$\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right) = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2}{\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2}}.$$