Зададим в трехмерной декартовой прямоугольной системе координат две точки $B_1$ и $B_2,$ определяющие вектор $\overline{B_1B_2}\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right).$ Опустим из них перпендикуляры на плоскость $xy$ и получим точки $B_{1xy}$ и $B_{2xy}:$

Заметим, что прямые $B_1B_{1xy}$ и $B_2B_{2xy}$ параллельны оси аппликат, которая в свою очередь перпендикулярна плоскости $xy.$ Поэтому тот факт, что мы работаем именно в прямоугольной декартовой системе очень важен, так как в противном случае проекции не будут ортогональными. Итак, точки $B_{1xy}$ и $B_{2xy}$ определяют вектор $\overline{B_{1xy}B_{2xy}},$ который является ортогональной проекцией $\overline{B_1B_2}$ на плоскость $xy.$ Обозначим его следующим образом: $$\overline{B_{1xy}B_{2xy}} = pr_{xy}\overline{B_1B_2}.$$

Рассмотрим некоторые свойства проекций. Для этого возьмем еще один произвольный вектор $\overline{A_1A_2}\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right)$ и для векторов $\overline{B_1B_2}$ и $\overline{A_1A_2}$ определим операции сложения и умножения на константу: $$\overline{B_1B_2}+\overline{A_1A_2} = \left(\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, \gamma_1+\gamma_2\right),$$ $$\lambda\overline{B_1B_2} = \left(\lambda\alpha_1, \lambda\beta_1, \lambda\gamma_1\right),$$ $$\lambda\overline{A_1A_2} = \left(\lambda\alpha_2, \lambda\beta_2, \lambda\gamma_2\right).$$

Используя материалы второй статьи, найдем координаты проекций векторов на плоскость $xy:$ $$pr_{xy}\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_1, \beta_1, 0\right),$$ $$pr_{xy}\overline{A_1A_2} = \left(\alpha_2, \beta_2, 0\right).$$

Тогда можно описать следующие свойства: $$pr_{xy}\left(\overline{B_1B_2}+\overline{A_1A_2}\right) = pr_{xy}\overline{B_1B_2}+pr_{xy}\overline{A_1A_2} = \left(\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, 0\right),$$ $$pr_{xy}\left(\lambda\overline{B_1B_2}\right) = \lambda pr_{xy}\left(\overline{B_1B_2}\right) = \left(\lambda\alpha_1, \lambda\beta_1, 0\right),$$ $$pr_{xy}\left(\lambda\overline{A_1A_2}\right) = \lambda pr_{xy}\left(\overline{A_1A_2}\right) = \left(\lambda\alpha_2, \lambda\beta_2, 0\right).$$

При построении проекции вектора на координатную ось, все рассуждения остаются аналогичными.