7.1 Определение и элементарные свойства интеграла Римана

Определение. Пусть на отрезке

$[a, b]$ задана функция

$f.$ Рассмотрим произвольную систему точек

$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b.$ Каждую такую систему назовем разбиением отрезка

$[a,b],$ а само разбиение будем обозначать через

$\Pi .$ Отрезки

$[x_i, x_{i+1}] (i = 0, 1, \ldots , n-1)$ называются частичными отрезками разбиения. Наибольшую из длин

$\Delta x_i = x_{i+1}-x_i$ частичных отрезков называют диаметром этого разбиения и обозначают

$d(\Pi) = \underset{0 \leqslant i \leqslant n-1} {\max} \Delta x_i.$
В каждом из частичных отрезков

$[x_i, x_{i+1}]$ выберем произвольным образом точку

$\xi_i$ и составим сумму

$\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} f (\xi_i) \Delta x_i.$
Сумма

$\sigma$ называется интегральной суммой для функции

$f,$ соответствующей заданному разбиению

$\Pi$ и заданному выбору точек

$\xi_i .$
Для каждого заданного разбиения множество всевозможных интегральных сумм бесконечно, поскольку каждая интегральная сумма зависит от способа выбора точек

$\xi_i .$

Определение. Число

$I$ называется пределом интегральных сумм

$\sigma$ при стремлении к нулю диаметра разбиения

$d(\Pi),$ если для любого

$\varepsilon > 0$ найдется такое

$\delta > 0,$ зависящее, вообще говоря, от

$\varepsilon,$ что для любого разбиения

$\Pi$ отрезка

$[a, b]$ диаметра

$d(\Pi) < \delta$ при любом выборе промежуточных точек

$\xi_i$ из частичных отрезков этого разбиения соответствующая интегральная сумма

$\sigma$ удовлетворяет неравенству

$|\sigma — I| < \varepsilon,$ т. е.

$\forall \varepsilon \exists \delta > 0 : \forall \Pi,$

$d(\Pi) < \delta$

$\forall \xi_i \in [x_i, x_{i+1}] (i = 0, 1, \ldots , n-1) |\sigma — I| < \varepsilon.$

Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения, то этот предел называется интегралом от функции

$f$ по отрезку

$[a, b]$ и обозначается

$\displaystyle\int\limits_a^b \!f(x)\,dx .$ В этом случае функция

$f$ называется интегрируемой на отрезке

$[a, b].$ В противном случае говорят, что функция

$f$ неинтегрируема на

$[a, b].$
Итак,

$\int\limits_a^b\! f(x)\,dx = \underset {d(\Pi) \to 0}{\lim} \sigma .$

Геометрический смысл определенного интеграла.

С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников высотой $f (\xi_i)$ и шириной $x_{i+1}-x_i.$
Поэтому определенный интеграл – предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения – можно интерпретировать как площадь (с учетом знака) криволинейной трапеции, ограниченной осью $Ox,$ прямыми $x = a, x = b$ и графиком функции $y = f(x).$
По аналогии с определением предела функции в смысле Гейне, определение предела интегральных сумм можно выразить в терминах последовательностей следующим образом.

Определение. Число

$I$ называется пределом интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения, если для любой последовательности

$\Pi_1, \Pi_2, \ldots , \Pi_n, \ldots$ разбиений отрезка

$[a, b],$ такой, что

$d(\Pi_n) \to 0$ при

$n \to \infty,$ и при любом выборе промежуточных точек из частичных отрезков этих разбиений соответствующая последовательность интегральных сумм

$\sigma_1, \sigma_2, \ldots , \sigma_n, \ldots$ сходится к числу

$I.$

Упражнение. Докажите равносильность этих двух определений предела интегральных сумм.

Если функция $f$ интегрируема на отрезке $[a, b],$ то она ограничена на этом отрезке.

Предположим, что функция $f$ неограничена на $[a, b],$ и покажем, что в этом случае для любого разбиения $\Pi$ промежуточные точки $\xi_i$ можно выбрать так, чтобы модуль соответствующей интегральной суммы оказался большим любого наперед заданного числа. Рассмотрим произвольное разбиение $\Pi : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b.$ Если $f$ неограничена на $[a, b],$ то найдется такой частичный отрезок $[x_j , x_{j+1}],$ на котором $f$ также неограничена. Действительно, если бы $f$ оказалась ограниченной на каждом из частичных отрезков, то она была бы ограниченной и на всем отрезке $[a, b].$ Итак, предположим, что $f$ неограничена сверху на $[x_j , x_{j+1}].$ Зададим произвольное число $M$ и покажем, что точки $\xi_i$ можно выбрать так, чтобы соответствующая интегральная сумма $\sigma$ стала большей, чем $M.$ Действительно, сначала выберем точки $\xi_i$ во всех отрезках, кроме $[x_j , x_{j+1}],$ и составим сумму $\displaystyle\sigma^\prime = \sum\limits_{i:i\neq j}$ $f(\xi_i) \Delta x_i.$ Затем точку $\xi_j$ выберем так, чтобы выполнялось неравенство $f(\xi_j ) \Delta x_j + \sigma^\prime > M.$ Это возможно в силу того, что функция $f$ неограничена сверху на $[a, b].$ Тогда получим, что для интегральной суммы $\sigma = \sigma^\prime + f(\xi_j ) \Delta x_j$ выполнено неравенство $\sigma > M.$
Случай неограниченной снизу $f$ исчерпывается аналогичным образом.
Наконец заметим, что из определения предела интегральных сумм вытекает, что при достаточно мелком разбиении интегральные суммы ограничены независимо от способа выбора промежуточных точек. Действительно, в определении предела условие $d(\Pi) < \delta$ влечет выполнение неравенства $|\sigma−I| < \varepsilon,$ откуда следует, что $|\sigma| < |I|+ \varepsilon.$ Мы же, предположив, что функция $f$ неограничена на $[a, b],$ получаем противоречие с ограниченностью интегральных сумм.

Замечание. В доказательстве теоремы мы воспользовались тем, что для интегрируемой функции при достаточно мелком разбиении интегральные суммы ограничены. На самом деле у интегрируемой функции ограничено множество всех интегральных сумм, соответствующих всевозможным разбиениям, а не только достаточно мелким. Действительно, мы доказали, что интегрируемая на

$[a, b]$ функция

$f$ ограничена, т. е. существует такое число

$A,$ что

$|f(x)| < A$ для всех

$x \in [a, b].$ Поэтому для любого разбиения

$\Pi$ при любом способе выбора точек

$\xi_i$ получим

$|\sigma| \leqslant \sum\limits_{i=0}^{n-1} \left|f(\xi_i) \Delta x_i\right| \leqslant A \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta x_i = A (b-a).$
Итак, каждая интегрируемая функция ограничена. Однако не каждая ограниченная функция интегрируема.

Пример ограниченной неинтегрируемой функции.

Рассмотрим функцию Дирихле $\begin{equation*} \mathcal{D}\left(x\right) = \begin{cases} 1, &\text{x — рационально,}\\ 0, &\text{x — иррационально.} \end{cases} \end{equation*}$

Эта функция ограничена. Покажем, что она неинтегрируема на любом невырожденном отрезке $[a, b].$ Действительно, если для произвольного разбиения $\Pi$ все точки $\xi_i$ выбрать рациональными, то получим $\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \mathcal {D}(\xi_i) \Delta x_i = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta x_i = b-a.$ Если же все точки $\xi_i$ взять иррациональными, то $\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \mathcal {D}(\xi_i) \Delta x_i = 0.$ Отсюда следует, что интегральные суммы не имеют предела при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Пример 1.

Пусть $f(x) = c,$ $a \leqslant x \leqslant b.$ Тогда для любого разбиения $\Pi$ при любом выборе точек $\xi_i$ будет $f(\xi_i) = c$ и поэтому $\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\Delta x_i = c \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta x_i = c (b-a).$ Таким образом, $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\! c\,dx = c (b-a).$

Пример 2.

Пусть $f(x) = x, 0 \leqslant x \leqslant 1.$ Выберем произвольное разбиение $\Pi : 0 = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = 1$ и точки $\xi_i \in [x_i, x_{i+1}].$ Тогда
соответствующая интегральная сумма будет иметь вид $\displaystyle\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \xi_i \Delta x_i.$ Наибольшая из всех интегральных сумм, соответствующая выбранному разбиению, равна $\displaystyle\overline \sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} x_{i+1} \Delta x_i,$ а наименьшая $\displaystyle\underline \sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} x_i \Delta x_i.$ Тогда имеем $\overline {\sigma} + \underline \sigma = \sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}+x_i) \Delta x_i = \sum\limits_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}^2 — x_{i}^2)$ $\overline {\sigma}-\underline \sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}+x_i) \Delta x_i \leqslant d(\Pi) \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta x_i = d(\Pi).$ Таким образом, $\overline \sigma −\underline \sigma \to 0$ при $d(\Pi) \to 0,$ а поскольку $\underline \sigma + \overline \sigma = 1,$ то обе эти суммы стремятся к $\displaystyle\frac {1}{2}.$ Отсюда и из неравенства $\underline \sigma \leqslant \sigma \leqslant \overline \sigma$ сразу следует, что $\displaystyle\sigma \to \frac{1}{2}$ при $d(\Pi) \to 0.$ Итак, функция интегрируема и $\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \!x\,dx = \frac{1}{2}.$

Пример 3. Ступенчатые функции.

Функция $f$ называется ступенчатой
на отрезке $[a, b],$ если $[a, b]$ можно разбить на отрезки $[a_0, a_1], \ldots ,[a_{s−1}, a_s],$ где $a = a_0 < a_1 < \ldots < a_s = b,$ такие, что функция $f$ постоянна на каждом интервале $(a_j , a_{j+1}),$ т. е. $f(x) = c_j,$ $x \in (a_j , a_{j+1}),$ $j = 0, 1, \ldots , s − 1.$ При достаточно малых $\delta$ для разбиения $\Pi : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b,$ диаметр которого меньше, чем $\delta,$ все частичные отрезки разбиения, за исключением, быть может, не более чем $2s$ штук, расположены целиком в соответствующих интервалах постоянства функции $f.$ Пусть разбиению $\Pi$ при каком-либо выборе промежуточных точек $\xi_j$ соответствует интегральная сумма $\sigma.$ Имеем $\left|\sigma-\sum\limits_{j=0}^{s-1} c_j (a_{j+1}-a_j)\right| \leqslant 2s \cdot \delta \cdot \left[\underset{a\leqslant x\leqslant b}{\mathrm{\max}} f(x)-\underset{a\leqslant x\leqslant b}{\mathrm{\min}} f(x)\right].$ Отсюда ясно, что при стремлении к нулю диаметра разбиения интегральные суммы стремятся к $\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{s-1} c_j (a_{j+1}-a_j),$ т.е. $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} \!f(x)\,dx = \sum\limits_{j=0}^{s-1} c_j (a_{j+1}-a_j).$

Пример 4. Функция Римана.

Напомним, что функция Римана определяется равенством $\begin{equation*} \mathcal{R}\left(x\right) = \begin{cases} 0, &\text{x — рационально,}\\ \displaystyle\frac{1}{q}, &\text{где x = $\displaystyle\frac{p}{q}$ — несократимая дробь.} \end{cases} \end{equation*}$ Покажем, что эта функция интегрируема на $[0, 1]$ и ее интеграл равен нулю. Для этого заметим, что для любого $x \in [0, 1]$ имеем $\lim\limits_{y \to x} \mathcal{R}(y) = 0.$ Действительно, это сразу следует из того, что при любом фиксированном $\varepsilon > 0$ на отрезке $[0, 1]$ существует лишь конечное число таких точек, в которых функция Римана принимает значения большие, чем $\varepsilon.$ Обозначим число таких точек через $N_\varepsilon.$ Зафиксируем $\varepsilon > 0$ и положим $\displaystyle ε^\prime = \frac {\varepsilon}{2},$ $\displaystyle\delta = \frac{\varepsilon^{\prime}}{2N_{\varepsilon^\prime}}.$ Тогда при любом разбиении $\Pi,$ диаметр которого меньше, чем $\delta,$ и при любом способе выбора промежуточных точек количество слагаемых в интегральной сумме, для которых значение функции больше, чем $\varepsilon^\prime,$ не превосходит $2N_{\varepsilon^\prime}.$ Поэтому для интегральной суммы σ справедлива следующая оценка: $\sigma \leqslant N_{\varepsilon^{\prime}}\delta + \varepsilon^\prime \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta x_i \leqslant N_{\varepsilon^{\prime}} \frac{\varepsilon^{\prime}}{2N_{\varepsilon^\prime}} = \varepsilon.$ Таким образом, получили, что $\sigma \to 0$ при $d(\Pi) \to 0,$ т. е. $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\! \mathcal{R}(x)\,dx = 0.$

Определение интегральных сумм и их пределов

Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана

Определение 1. (Интегральная сумма)

Спойлер

Пусть функция $latex f(x)$ определена на отрезке $latex [a,b]$ . Разделим отрезок $latex [a,b]$ на n произвольных частей точками $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b,$ выберем на каждом элементарном отрезке $latex [x_{k-1};x_{k}]$ произвольную точку $latex \xi _{k}$ и найдём длину каждого такого отрезка: $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ .

[свернуть]

$latex \triangle$ для функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ называется сумма вида

$latex \underbrace{\sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}},$ причем эта сумма имеет конечный предел $latex I$ если для каждого $latex \varepsilon >0$ найдется такое число $latex \delta >0$ , что при $latex (max\ \triangle x_{k})<\delta$ неравенство $latex \underbrace{\left | \sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}-I \right |<\varepsilon}$ выполняется при любом наборе числе $latex \xi _{k}.$ $latex \blacktriangle$

Определение 2. (Верхние и нижние суммы)

Спойлер

Пусть функция $latex f(x)$ ограничена на сегменте $latex [a;b]$ и $T$ — разбиение этого сегмента точками $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b.$ Обозначим через $latex M_{i}$ и $latex m_{i}$ соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте $latex [x_{i}-x_{i-1}]$ .

[свернуть]

Суммы

$latex S=M_{1}\triangle x_{1}+M_{2}\triangle x_{2}+…M_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i\triangle x_{i}}}$

$latex S=m_{1}\triangle x_{1}+m_{2}\triangle x_{2}+…m_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i\triangle x_{i}}}$

называются соответственно верхней и нижней суммами функции $latex f(x)$ для данного разбиения $latex T$ сегмента $latex [a;b]$ .

Рисунок 1. Разбиение сегмента $latex [a;b]$

Спойлер

.Замечание. Суммы такого вида называют суммами Дарбу.

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 244-246
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 2), 5-е издание, 1964 г., глава 9, §1, стр. 97-100

Тест (Определенный интеграл Римана)

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Если функция $latex f(x)$ непрерывна на $latex [a,b]$ , то предел интегральной суммы существует и …
- не зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек
- зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек
- не зависит от способа разбиения, но зависит от выбора промежуточных точек
- зависит от способа разбиения, но не зависит выбора промежуточных точек
Правильно 1 / 1Баллы

Неправильно / 1 Баллы

Подъучи ещё и снова приходи
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 4
Вычислите значения каждого интеграла и разместите их, начиная от меньшего (по значению) к большему :

1. $latex \int_{2}^{4}xdx$

2. $\int_{0}^{1}e^{x}dx$

3. $latex \int_{2}^{3}2dx$

4. $latex \int_{2}^{2}\sin ^{2}x-x^{10}+5x^{3}$
- 4
- 2
- 3
- 1
Правильно 4 / 4Баллы

Неправильно / 4 Баллы

Задание 3 из 5

3.

Количество баллов: 6

Кто есть кто?

(Риман=3 балла)

Элементы сортировки

Буняковский
Риман
Ньютон
Лагранж

Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 2
Интегральной суммой для функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ называется …
- сумма вида $\underbrace{\sum_{k=1}^{n}(\xi _{k})\triangle x_{k}}$ где $\triangle x_{k}=[x_{k}-x_{o}]$
- сумма вида $\underbrace{\sum_{k=1}^{n}(\xi _{k})\triangle x_{k}}$ где $\triangle x_{k}=[x_{k}-x_{k-1}]$
- сумма площадей прямоугольников с основанием $[x_{k}-x_{k-1}]$ и высотой $f(\xi _{i})$
- сумма площадей криволинейных трапеций с основанием $\triangle x_{k}=[x_{k}-x_{o}]$ и высотой $f(\xi _{i})$
Правильно 2 / 2Баллы

Неправильно / 2 Баллы
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Дополните фразу: геометрически интеграл представляет собой площадь криволинейной …
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)

максимум из 14 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана

Задача 1. (О вычислении пути)

Условие. Предположим, что $latex f(x)$ — скорость движения материальной точки по оси $latex OY$ и $latex f(x)>0$ . Необходимо вычислить путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$ .

Решение. Разобьём рассматриваемый промежуток времени от $latex a$ до $latex b$ на малые промежутки (рис.3) $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$ На указанном промежутке скорость приближенно можно считать равной и постоянной, например, $latex f(x_{k})$ . Получаем, что путь, пройденный материальной точкой за время $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ приближенно равен $latex f(x_{k})\triangle x_{k}$ . Следовательно, путь пройденный от $latex a$ до $latex b$ приближенно равен:

$latex {S\approx f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ . (1)

При уменьшении всех промежутков времени мы будем получать более точное значение пути. И так, чтобы получить точное значение пути, перейдём к пределу в формуле (1) :

$latex {S\approx \lim\limits_{\triangle x_{k}\to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ . (2)

Задача 2. (О вычислении площади криволинейной трапеции)

В предыдущей задаче мы вычислили путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$ , перейдя к пределу. В математике предел вида (2) называется определённым интегралом(или интегралом Римана) от функции $latex f(x)$ в пределах от $latex a$ до $latex b$ и обозначается: $\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$

Рассмотрим рис.1 Сумма вида (1) равна сумме площадей прямоугольников с основаниями $latex \triangle x_{k}$ и высотами $latex f( x_{k})$ . Т.е., данная сумма равна площади изображенной на рис.1 ступенчатой фигуры, обозначенной светло- и тёмно-зеленым цветом. При стремлении к нулю длин всех отрезков $latex \triangle x_{k}$ площадь указанной ступенчатой фигуры будет стремиться к площади отмеченной на рисунке ступенчатой фигуры, лежащей под графиком функции $latex y=f(x)$ на отрезке $latex [a;b]$ .

Эту криволинейную фигуру часто называют криволинейной трапецией . Аналогично задачи 1, перейдём к пределу:

$latex {S=\lim\limits_{\lambda \to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ , где $latex \lambda = \max \triangle x_{k}$

и $latex S$ -площадь, отмеченной на рисунке (1) фигуры (криволинейной трапеции).

Вывод: площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:

[latex] S=\lim\limits_{\lambda \to 0 } \sum\limits_{n=1}^{k}f(x_{n})\triangle x_{n}[/latex] [latex]=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] (3)

Рассмотрим пример:

Условие. Вычислить площадь $latex S$ , заключенную между графиком функции $latex y=\sin x$ на отрезке от $latex 0$ до $latex \pi$ и осью $latex OX$ (рис. 2)

Решение. По формуле (3) предыдущей задачи получаем: ${S=\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}$

Так как одной из первообразных функции $latex f(x)=\sin x$ является функция $latex \Phi (x)=-\cos x$ , то по формуле Ньютона -Лейбница получим: $S={{\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}=(-\cos \pi)-(-\cos 0) }=2$

Задача 3. (О вычислении массы линейного стержня по известной плотности)

Пусть задан прямолинейный стержень, который меняется вдоль оси (рис.3).
$latex \rho =\rho\ (x)$
Если бы плотность во всех участках стержня была бы одинаковой (однородный стержень), то масса m стержня :
$latex m=\rho (b-a)$ , $latex \rho =const$
Но, так как плотность не является постоянной, то разобьем [a,b] на однородные участки (участки с одинаковой плотностью) :
$latex a=x_{o}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$
$latex \forall \ \xi _{i}\in \triangle x_{i}$ , где $latex \triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ $latex i=\overline{1,n}$
Масса каждого отрезка : $latex m\approx \rho (\xi _{i})\cdot \triangle x_{i}$ $latex \Rightarrow$ масса всего стержня равна пределу суммы $latex {m=\lim\limits_{x \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$

Замечание

В просмотренной задаче речь идёт о рассмотрении пределов сумм вида $latex {\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$ , которые называются интегральными суммами

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 243-258
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Задача о вычислении массы линейного стержня по известной плотности.
Задача о вычислении пути, пройденного материальной точкой.

Таблица лучших: Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

максимум из 8 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ограниченность интегрируемой по Риману функции

Теорема(необходимое условие интегрируемости)

Если функция [latex]f(x)[/latex] — интегрируема на [latex]\left [ a;b \right ][/latex], то она ограничена на [latex]\left [ a;b \right ][/latex].

Доказательство

[latex]\square [/latex] Пусть [latex]f\in \mathbb{R}\left [ a;b \right ][/latex].Тогда,по определению: [latex]\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0:\forall T[/latex] — разбиения: как только[latex]\lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma _{T} \right(\xi ,f)-I |< \varepsilon [/latex], где [latex]T =\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}[/latex] — разбиение [latex]\left [ a;b \right ][/latex]; [latex]\lambda [/latex]=max[latex]\left \{ \triangle x_{i} \right \}[/latex] — ранг разбиения; [latex]\triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}[/latex]; [latex]\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}[/latex] — набор промежуточных точек, [latex]\xi_{i}\in \bigtriangleup _{i},i=\overline{1,n}[/latex].

Выберем [latex]\varepsilon =1[/latex]( так как [latex]\varepsilon [/latex] — любое положительное) и обозначим интегральную сумму [latex]\sigma _{T}(\xi ,f)[/latex] через [latex]\sigma[/latex]. Тогда [latex]\exists \delta > 0: \forall T : \lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma -I \right |< 1\Leftrightarrow I-1< \sigma < I+1[/latex].

Предположим, что [latex]f(x)[/latex] не ограничена на [latex]\left [ a;b \right ][/latex], и зафиксируем разбиение [latex]T[/latex] этого отрезка. В силу неограниченности функции [latex]f(x)[/latex] на всём отрезке [latex]\left [ a;b \right ][/latex] она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков [latex]\triangle _{i}=[x_{i-1};x_{i}],i=\overline{1,n}[/latex]. Пусть для определённости это будет [latex]\triangle _{1}=[x_{0};x_{1}]=[a;x_{1}][/latex]. Теперь фиксируем промежуточные точки, начиная с [latex]\xi _{2}[/latex] (т.е. [latex]\xi _{i}\in\triangle _{i},i=\overline{2,n}[/latex]).Таким образом зафиксированная сумма будет иметь вполне определённое значение. Получим:

[latex]\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\sum\limits_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}[/latex]

[latex]I-1<\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\underset{A}{\underbrace{\sum_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}}}<I+1[/latex] , где A — некоторое число.

[latex]I-1-A<f(\xi _{i})\triangle x_{1}<I+1-A[/latex] Разделим полученное неравенство на [latex]\triangle x_{1}[/latex]

[latex]\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I-1-A}}<f(\xi _{1})<\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I+1-A}}[/latex]

А это означает, что [latex]f[/latex] — ограничена на [latex]\triangle _{1}[/latex], что противоречит предположению. Следовательно, функция [latex]f[/latex] ограничена на [latex]\left [ a;b \right ][/latex]. [latex]\blacksquare [/latex]

Замечание

Ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.

Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману

Практическое применение

Для существования определенного интеграла от некоторой функции [latex]f(x)[/latex] последняя,помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими её интегрируемость. Поэтому данная теорема является вспомогательной( например, для критерия интегрируемости). Таким образом её практическое применение сводится к облегчению доказательств более сложных теорем.

Литература:

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Определенный интеграл»
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.:Высш.школа,1981,т.I — 687с.(с 442-443)
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс — 9-е изд. — М.:Айрис-пресс,2009.- 608 с.( с 259-260)

Смотрите дополнительно:

Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

Небольшой тест по данной теме

Таблица лучших: Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Интеграл Римана

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Литература

Смотрите также

Определение 1. (Интегральная сумма)

Определение 2. (Верхние и нижние суммы)

Рисунок 1. Разбиение сегмента latex[a;b]latex [a;b]

Список литературы:

Тест (Определенный интеграл Римана)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)

Задача 1. (О вычислении пути)

Задача 2. (О вычислении площади криволинейной трапеции)

Задача 3. (О вычислении массы линейного стержня по известной плотности)

Замечание

Список литературы:

Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Теорема(необходимое условие интегрируемости)

Доказательство

Замечание

Практическое применение

Литература:

Смотрите дополнительно:

Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

Рисунок 1. Разбиение сегмента $latex [a;b]$