Processing math: 100%

Алгебраическая форма комплексного числа


 

Определение

Комплексное число z, записанное в виде z=a+ib,
называется алгебраической формой комплексного числа, где

a и b — вещественные числа,
i — мнимая единица (i2=1) ,
a=Re z — вещественная часть z,
b=Im z — мнимая часть z.

Действия над комплексными числами:

Пусть даны два числа:
z1=a+ib,
z2=c+id

  • Cравнение:
    z1=z2(Re z1=Re z2)(Im z1=Im z2),
    т.е. (a=c)(b=d)
  • Сложение:
    z1+z2=(a+c)+i(b+d)
  • Вычитание:
    z1z2=(ac)+i(bd)
  • Умножение:
    z1z2=ac+bci+adi+bdi2
    =(acbd)+(ad+bc)i
  • Деление:
    z1z2=(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)
    =ac+bdc2+d2+bcadc2+d2

Примеры действий над комплексными числами:

  • Найти сумму двух комплексных чисел z1 и z2, где
    z1=5+6i, z2=84i:

    z3=z1+z2 =(5+8)+(64)i
    z3=13+2i

  • Найти произведение двух комплексных чисел z1 и z2, где
    z1=4+3i, z2=7+2i:

    z3=z1z2 =(4732)+(42+37)i
    z3=22+29i

  • Упростить выражение (1+i)(3+i)(5i)3i:
    (1+i)(3+i)(5i)3i=(3+i+3i+i2)(5i)3i=
    =15+20i+5i23i3i2i33i=
    т.к. i2=1i3=i2i=i
    =7+23i3i=21233+1+69+73+1i=
    =12+19i
  • Найти решения уравнения (3+2i)x+(2+4i)y=8+16i:

    (3+2i)x+(2+4i)y=8+16i
    3x+2xi2y+4yi=8+16i
    (3x2y)+(2x+4y)i=8+16i

    Приравняем вещественную и мнимую часть в левой и правой частях уравнения и составим систему уравнений:

    {3x2y=82x+4y=16
    {x=82y3(82y)2y=8
    {x=82y248y=8
    {x=82y8y=32 {x=2y=3

    Ответ:  x=0; y=4

Литература:

  1. Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
  2. А.Г. Курош, Курс высшей алгебры (девятое издание, Москва, 1968), стр. 114-116

 

Алгебраическая форма комплексного числа

Тест на знание темы: «Алгебраическая форма комплексного числа»


Таблица лучших: Алгебраическая форма комплексного числа

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Смешанные задачи на комплексные числа

Для того чтобы приступить к работе над этим пунктом, необходимо иметь понимание о том, что написано в 3 предыдущих пунктах этой темы, а так-же соответствующий теоретический материал.

Здесь представлены некоторые примеры задач в которых нужно преобразовать комплексное число из одной формы в другую для их решения.

Пример 1
Представим число z=3+i в геометрической и тригонометрической форме.

Вспомним если a+ib и r(cosα+isinα) два представления одного и того-же комплексного числа, то r=a2+b2, cosα=ar и sinα=br.

Получаем r=3+1=2 и α=π6, то-есть z1=2(cosπ6+isinπ6) — тригонометрическая форма комплексного числа.

Зная, что в представлении z=a+ib, Re(z)=a, Im(z)=b, получаем что в комплексной плоскости точка представляющая комплексное число имеет координаты (a,b).

Получаем Z2(3,1) — геометрическая форма комплексного числа.

Пример 2
Найдем г.м.т. точек z, если z=4(cosα+isinα) и 0απ2.

Имеем |z|=r=4, a=4cosα=Re(z), b=4sinα=Im(z), отсюда и из условия получаем 0a4, 0b4,a2+b2=16. Получаем четверть круга радиуса 4, расположенная в первой четверти декартовых координат. Так-же решение очевидно, если использовать полярную систему координат.

imgc2

Пример 3
Найдем комплексное число z=(1i3)(cosα+isinα)(1i)(cosαisinα).

Для на чала преобразуем комплексные числа z1=1i3,z2=1i в тригонометрическую форму. Получим z1=2(cos5π3+isin5π3) и x2=2(cos7π4+isin7π4).

Подставив найденное в исходное выражение, получим что оно состоит только из комплексных чисел в тригонометрической форме. Решим полученное.
2(cos5π3+isin5π3)(cosα+isinα)2(cos7π4+isin7π4)(cosαisinα)=
=12cos(α+5π3)+isin(α+5π3)cos(α+7π4)+isin(α+7π4)=
=22(cos(π12+2α)+isin(π12+2α))=z

В этой задаче удобно привести комплексное число к тригонометрической форме, так как операции с ними выполняются проще.

Литература

Смешанные задачи на комплексные числа.

Тест на тему «Смешанные задачи на комплексные числа».


Таблица лучших: Смешанные задачи на комплексные числа.

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Любое комплексное число z=(a,b) можно изобразить как точку на комплексной плоскости с координатами a и b, где ось абсцисс называется вещественной, а ось ординат — мнимой.
Точка на плоскости

Определение 1:

Модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей. z=a+ib, |z|=a2+b2= (Rez)2+(Imz)2,
|z|0,|z|= 0z=0.

Определение 2:

Величина угла, который образует вектор изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа (argz),z0.
Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки — отрицательный, по — положительный.
Углы, отличающиеся на 2πk,kZ, соответствуют одному и тому же числу и записываются как:
Argz= argz+2πk,kZ , 0argz<2π.

Определение 3:

У комплексного числа существует тригонометрическая форма записи z=r(cosφ+isinφ), r=|z|.

Примеры:

Найти геометрическое место точек (ГМТ):
  1. |z|1
  2. ex1

  3. |z+1|>1

|z+1|=|x+iy+1|= |(x+1)+iy|= (x+1)2+y2= (x+1)2+(y+0)2>1
ex2

Формула Муавра:

zn= rn(cos(nφ)+isin(nφ)).

Лемма 1:

Для любых двух комлексных чисел z1,z2C справедливо неравенство ||z1||z2|||z1±z2| |z1|+|z2|

Доказательство:

Пусть z10,z20,z1=r1(cosφ1+isinφ1), z2=r2(cosφ2+isinφ2).
|z1+z2|= |r1(cosφ1+isinφ1)+r2(cosφ2+isinφ2)|= |(r1cosφ1+r2cosφ2)+i(r1sinφ1+r2sinφ2)|= r1cosφ1+r2cosφ2)2+i(r1sinφ1+r2sinφ2)2= r21(cos2φ1+sin2φ1)+r22(cos2φ2+sin2φ2)+2r1r2(cosφ1cosφ2+sinφ1sinφ2)=(*)
cos2φ1+sin2φ1=1
cos2φ2+sin2φ2=1
(*)=r21+r22+2r1r2cos(φ1φ2) r21+r22+2r1r2= (r1+r2)2= r1+r2=|z1|+|z2|.

Литература:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Тест на тему «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»: