Processing math: 100%

Алгебраическая форма комплексного числа


 

Определение

Комплексное число z, записанное в виде z=a+ib,
называется алгебраической формой комплексного числа, где

a и b — вещественные числа,
i — мнимая единица (i2=1) ,
a=Re z — вещественная часть z,
b=Im z — мнимая часть z.

Действия над комплексными числами:

Пусть даны два числа:
z1=a+ib,
z2=c+id

  • Cравнение:
    z1=z2(Re z1=Re z2)(Im z1=Im z2),
    т.е. (a=c)(b=d)
  • Сложение:
    z1+z2=(a+c)+i(b+d)
  • Вычитание:
    z1z2=(ac)+i(bd)
  • Умножение:
    z1z2=ac+bci+adi+bdi2
    =(acbd)+(ad+bc)i
  • Деление:
    z1z2=(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)
    =ac+bdc2+d2+bcadc2+d2

Примеры действий над комплексными числами:

  • Найти сумму двух комплексных чисел z1 и z2, где
    z1=5+6i, z2=84i:

    z3=z1+z2 =(5+8)+(64)i
    z3=13+2i

  • Найти произведение двух комплексных чисел z1 и z2, где
    z1=4+3i, z2=7+2i:

    z3=z1z2 =(4732)+(42+37)i
    z3=22+29i

  • Упростить выражение (1+i)(3+i)(5i)3i:
    (1+i)(3+i)(5i)3i=(3+i+3i+i2)(5i)3i=
    =15+20i+5i23i3i2i33i=
    т.к. i2=1i3=i2i=i
    =7+23i3i=21233+1+69+73+1i=
    =12+19i
  • Найти решения уравнения (3+2i)x+(2+4i)y=8+16i:

    (3+2i)x+(2+4i)y=8+16i
    3x+2xi2y+4yi=8+16i
    (3x2y)+(2x+4y)i=8+16i

    Приравняем вещественную и мнимую часть в левой и правой частях уравнения и составим систему уравнений:

    {3x2y=82x+4y=16
    {x=82y3(82y)2y=8
    {x=82y248y=8
    {x=82y8y=32 {x=2y=3

    Ответ:  x=0; y=4

Литература:

  1. Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
  2. А.Г. Курош, Курс высшей алгебры (девятое издание, Москва, 1968), стр. 114-116

 

Алгебраическая форма комплексного числа

Тест на знание темы: «Алгебраическая форма комплексного числа»


Таблица лучших: Алгебраическая форма комплексного числа

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Смешанные задачи на комплексные числа

Для того чтобы приступить к работе над этим пунктом, необходимо иметь понимание о том, что написано в 3 предыдущих пунктах этой темы, а так-же соответствующий теоретический материал.

Здесь представлены некоторые примеры задач в которых нужно преобразовать комплексное число из одной формы в другую для их решения.

Пример 1
Представим число z=3+i в геометрической и тригонометрической форме.

Вспомним если a+ib и r(cosα+isinα) два представления одного и того-же комплексного числа, то r=a2+b2, cosα=ar и sinα=br.

Получаем r=3+1=2 и α=π6, то-есть z1=2(cosπ6+isinπ6) — тригонометрическая форма комплексного числа.

Зная, что в представлении z=a+ib, Re(z)=a, Im(z)=b, получаем что в комплексной плоскости точка представляющая комплексное число имеет координаты (a,b).

Получаем Z2(3,1) — геометрическая форма комплексного числа.

Пример 2
Найдем г.м.т. точек z, если z=4(cosα+isinα) и 0απ2.

Имеем |z|=r=4, a=4cosα=Re(z), b=4sinα=Im(z), отсюда и из условия получаем 0a4, 0b4,a2+b2=16. Получаем четверть круга радиуса 4, расположенная в первой четверти декартовых координат. Так-же решение очевидно, если использовать полярную систему координат.

imgc2

Пример 3
Найдем комплексное число z=(1i3)(cosα+isinα)(1i)(cosαisinα).

Для на чала преобразуем комплексные числа z1=1i3,z2=1i в тригонометрическую форму. Получим z1=2(cos5π3+isin5π3) и x2=2(cos7π4+isin7π4).

Подставив найденное в исходное выражение, получим что оно состоит только из комплексных чисел в тригонометрической форме. Решим полученное.
2(cos5π3+isin5π3)(cosα+isinα)2(cos7π4+isin7π4)(cosαisinα)=
=12cos(α+5π3)+isin(α+5π3)cos(α+7π4)+isin(α+7π4)=
=22(cos(π12+2α)+isin(π12+2α))=z

В этой задаче удобно привести комплексное число к тригонометрической форме, так как операции с ними выполняются проще.

Литература

Смешанные задачи на комплексные числа.

Тест на тему «Смешанные задачи на комплексные числа».


Таблица лучших: Смешанные задачи на комплексные числа.

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Любое комплексное число [latex] z=(a,b)[/latex] можно изобразить как точку на комплексной плоскости с координатами [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex], где ось абсцисс называется вещественной, а ось ординат — мнимой.
Точка на плоскости

Определение 1:

Модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей. [latex]z=a+ib[/latex], [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=[/latex] [latex]\sqrt{(Re\;z)^{2}+(Im\;z)^{2}}[/latex],
[latex]|z|\ge 0,\; |z|= [/latex] [latex]0 \Leftrightarrow z=0.[/latex]

Определение 2:

Величина угла, который образует вектор изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа [latex](\arg z), z\ne 0.[/latex]
Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки — отрицательный, по — положительный.
Углы, отличающиеся на [latex]2\pi k,k \in Z[/latex], соответствуют одному и тому же числу и записываются как:
[latex]\mathrm{Arg}\;z=[/latex] [latex]\arg z +2\pi k,k \in Z[/latex] , [latex]0\le \arg z < 2\pi[/latex].

Определение 3:

У комплексного числа существует тригонометрическая форма записи [latex]z=r(\cos \varphi + i\sin\varphi),[/latex] [latex] r=|z|.[/latex]

Примеры:

Найти геометрическое место точек (ГМТ):
  1. [latex]|z|\le 1[/latex]
  2. ex1

  3. [latex]|z+1|>1[/latex]

[latex]|z+1|=|x+iy+1|=[/latex] [latex]|(x+1)+iy|=[/latex] [latex]\sqrt{(x+1)^{2}+y{2}}=[/latex] [latex]\sqrt{(x+1)^{2}+(y+0)^{2}}>1[/latex]
ex2

Формула Муавра:

[latex]z^n=[/latex] [latex]r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)).[/latex]

Лемма 1:

Для любых двух комлексных чисел [latex]z_1,z_2\;\in C[/latex] справедливо неравенство [latex]\left||z_1|-|z_2|\right|\le |z_1\pm z_2|[/latex] [latex]\le |z_1|+|z_2|[/latex]

Доказательство:

Пусть [latex]z_1\ne 0, z_2\ne 0[/latex],[latex]z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),[/latex] [latex]z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).[/latex]
[latex]|z_1+z_2|=[/latex] [latex]|r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)+r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)|=[/latex] [latex]|(r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)|=[/latex] [latex]\sqrt{r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)^{2}+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)^{2}}=[/latex] [latex]\sqrt{r_{1}^{2}(\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1)+r_2^{2}(\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2)+2r_{1}r_{2}(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2)}=[/latex](*)
[latex]\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1 = 1[/latex]
[latex]cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2 = 1[/latex]
(*)=[latex]\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}\le[/latex] [latex] \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2}=[/latex] [latex]\sqrt{(r_1+r_2)^2}=[/latex] [latex]r_1+r_2=|z_1|+|z_2|.[/latex]

Литература:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Тест на тему «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»: