Пусть задана числовая последовательность {an}∞n=1. Символ a1+a2+⋯+an+…, или, что то же самое, ∞∑n=1an, называется числовым рядом, а сами числа an называются слагаемыми или членами ряда. Обозначим S1=a1,S2=a1+a2,…,Sn=a1+a2+⋯+an=n∑k=1ak (n=1,2,…). Числа Sn называются частичными суммами ряда ∞∑n=1an.
Определение. Если существует limn→∞Sn=S, то ряд ∞∑n=1an называется сходящимся, а число S называется суммой ряда ∞∑n=1an. Если же не существует конечного предела последовательности частичных сумм Sn, то ряд ∞∑n=1an называется расходящимся. Если ряд ∞∑n=1an сходится к сумме S, то это обозначают так: S=a1+a2+⋯+an+⋯=∞∑n=1an.
Таким образом, с каждым рядом ∞∑n=1an мы связываем последовательность его частичных сумм Sn=n∑k=1ak, причем сходимость ряда мы определяем как сходимость последовательности частичных сумм этого ряда (понятие сходимости последовательности изучалось нами ранее). Обратно, если задана последовательность {Sn}∞n=1, то легко составить ряд, для которого эта последовательность будет последовательностью частичных сумм. Действительно, достаточно положить a1=S1,a2=S2−S1,…, an=Sn−Sn−1 (n=2,3,…). Ясно, что в этом случае будем иметь a1+⋯+an=Sn, т. е. заданные числа Sn являются частичными суммами построенного нами рядa ∞∑n=1an.
Пример 1 (геометрическая прогрессия). Геометрической прогрессией называется такая последовательность 1,q,q2,…,qn−1,…, т. е. {qn−1}∞n=1, где q – фиксированное число. Ряд 1+q+q2+⋯+qn−1+…≡∞∑n=1qn−1 называется суммой геометрической прогрессии. В этом случае слагаемые ряда равны an=qn−1. Выведем формулу для суммы первых n слагаемых геометрической прогрессии. Имеем Sn=1+q+q2+⋯+qn−2+qn−1,qSn=q+q2+q3+⋯+qn−1+qn.Если q≠1, то вычитая второе равенство из первого, получим Sn=1−qn1−q. Если же q=1, то, очевидно, Sn=1+1+⋯+1=n и Sn→∞ (n→∞), так что при q=1 данный ряд расходится. Пусть q≠1. Тогда вопрос о сходимости ряда ∞∑n=1qn−1 сводится к вопросу о сходимости последовательности Sn=1−qn1−q. Ясно, что возможны такие случаи.
- |q|<1. При этом Sn→11−q (n→∞), т. е. наш ряд сходится и его сумма равна S=11−q.
- |q|>1. Тогда последовательность Sn не имеет предела, т. е. ряд расходится.
- |q|=1. Случай q=1 уже рассмотрен. Если же q=−1, то, очевидно, S2k=0 и S2k+1=1, так что последовательность частичных сумм {Sn} не имеет предела, т. е. ряд расходится.
Окончательно,∞∑n=1qn−1=11−qпри|q|<1, а при |q|⩾1 ряд ∞∑n=1qn−1 расходится.
Пример 2. Рассмотрим ряд 11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)+…ИмеемSn=11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)= =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1.Теперь уже легко видеть, что limn→∞Sn=limn→∞(1−1n+1)=1, а это означает, что наш ряд сходится и его сумма равна ∞∑n=11n(n+1)=1.
Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Ряд ∞∑n=1an сходится тогда и только тогда, когда для любого ε>0 найдется такой номер N=N(ε), что при любом n≥N и при любом натуральном p справедливо неравенство |n+p∑k=n+1ak|<ε.
Доказательство. Сумма слева в последнем неравенстве называется отрезком Коши. По определению, сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм Sn. В силу критерия Коши для числовых последовательностей, сходимость последовательности {Sn} эквивалентна ее фундаментальности. Фундаментальность последовательности {Sn} означает, что для любого ε>0 найдется такой номер N, что для любого n⩾N и для любого p∈N справедливо неравенство |Sn+p−Sn|<ε. Но поскольку Sn+p−Sn=a1+⋯+an+an+1+⋯+an+p−(a1+⋯+an)= =an+1+⋯+an+p, то тем самым теорема доказана.
Следствие (необходимое условие сходимости). Если ряд ∞∑n=1an сходится, то limn→∞an=0.
Доказательство. Если ряд ∞∑n=1an сходится, то, в силу критерия Коши, для любого ε>0 найдется такое N∈N, что при любом n⩾N и при любом p∈N справедливо неравенство |n+p∑k=n+1ak|<ε. В частности, если p=1, то получим, что для любого ε>0 найдется такой номер N, что при любом n⩾N справедливо неравенство |an+1|<ε. Это и означает, что limn→∞an=0.
Другое доказательство необходимого условия сходимости. Сходимость ряда ∞∑n=1an равносильна существованию следующего предела: limn→∞Sn=S. Но тогда и limn→∞Sn−1=S, откуда, в силу равенства an=Sn−Sn−1, следует limn→∞an=limn→∞(Sn−Sn−1)=limn→∞Sn−limn→∞Sn−1=S−S=0.
Итак, если ряд ∞∑n=1an, сходится, то его слагаемые стремятся к нулю. Обратное утверждение неверно. Действительно, для ряда ∞∑n=11√n имеем: an=1√n. Тогда limn→∞an=0 и, вместе с тем, Sn=1+1√2+⋯+1√n⩾n⋅1√n=√n, откуда следует, что limn→∞Sn=+∞, т. е. ряд ∞∑n=11√n расходится.
Пример. Гармоническим называется ряд ∞∑n=11n=1+12+13+⋯+1n+… Отрезок Коши этого ряда можно оценить следующим образом:
n+p∑k=n+11k=1n+1+1n+2+⋯+1n+p⩾1n+p⋅p. Если взять p=n, то получим, что 2n∑k=n+11k⩾nn+n=12. Это означает, что найдется такое ε0>0 (ε0=12), что для любого N∈N существует n⩾N (например, n=N) и существует такое p∈N (p=n), при которых справедливо неравенство |n+p∑k=n+11k|⩾ε0. В силу критерия Коши это означает, что гармонический ряд расходится.
Как правило, на практике необходимое условие сходимости применяется в следующей форме: если предел слагаемых ряда не существует, либо существует, но отличен от нуля, то ряд расходится.
Примеры решения задач
-
Найти сумму ряда ∞∑n=1(√n+2−2√n+1+√n).
Решение
Sn=(√1+2−2√1+1+√1)+(√2+2−2√2+1+√2)+⋯+ +(√n−1+2−2√n−1+1+√n−1)+(√n+2−2√n+1+√n)= =(√3−2√2+√1)+(√4−2√3+√2)+⋯+ +(√n+1−2√n+√n−1)+(√n+2−2√n+1+√n)= =1−√2+√n+2−√n+1=1−√2+1√n+2+√n+1; S=limn→∞Sn=limn→∞(1−√2+1√n+2+√n+1)=1−√2.
-
Записать первые три члена ряда ∞∑n=1√n+1(4n−3)5n.
Решение
∞∑n=1√n+1(4n−3)5n=√21⋅51+√35⋅52+√49⋅53+…
-
Записать сумму в свернутом виде с общим членом ряда 25√7+45√14+85√21+…
Решение
25√7+45√14+85√21+…=215√7⋅1+225√7⋅2+235√7⋅3+…=∞∑n=12n5√7n
-
Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости для ряда: ∞∑n=1(2n+1).
Решение
Ряды ∞∑n=1(2n+1) расходятся, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости: общий член ряда не стремится к нулю (limn→∞an=limn→∞(2n+1)=∞≠0).
Определения и простейшие свойства числового ряда
Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме
Таблица лучших: Определения и простейшие свойства числового ряда
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
- В.И.Коляда, А. А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. Часть 2. Одесса. «Астропринт». 2010. с. 27-30.
- Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.13-е издание, исправленное.Издательство Московского университета. Издательство ЧеРо. 1997. с. 247-248.
- В.А.Ильина, Э.Г.Позняка. Основы математического анализа. М.: Наука, 1980. с. 12.
- М.Ю.Пантеев. Матанализ с человеческим лицом, или Как выжить после предельного перехода. Полный курс математического анализа. Том 2. 2011, 2014. с. 100, 127.