Processing math: 100%

15.1 Определения и простейшие свойства

Пусть задана числовая последовательность {an}n=1. Символ a1+a2++an+, или, что то же самое, n=1an, называется числовым рядом, а сами числа an называются слагаемыми или членами ряда. Обозначим S1=a1,S2=a1+a2,,Sn=a1+a2++an=nk=1ak (n=1,2,). Числа Sn называются частичными суммами ряда n=1an.

Определение. Если существует limnSn=S, то ряд n=1an называется сходящимся, а число S называется суммой ряда n=1an. Если же не существует конечного предела последовательности частичных сумм Sn, то ряд n=1an называется расходящимся. Если ряд n=1an сходится к сумме S, то это обозначают так: S=a1+a2++an+=n=1an.

Таким образом, с каждым рядом n=1an мы связываем последовательность его частичных сумм Sn=nk=1ak, причем сходимость ряда мы определяем как сходимость последовательности частичных сумм этого ряда (понятие сходимости последовательности изучалось нами ранее). Обратно, если задана последовательность {Sn}n=1, то легко составить ряд, для которого эта последовательность будет последовательностью частичных сумм. Действительно, достаточно положить a1=S1,a2=S2S1,, an=SnSn1 (n=2,3,). Ясно, что в этом случае будем иметь a1++an=Sn, т. е. заданные числа Sn являются частичными суммами построенного нами рядa n=1an.

Пример 1 (геометрическая прогрессия). Геометрической прогрессией называется такая последовательность 1,q,q2,,qn1,, т. е. {qn1}n=1, где q – фиксированное число. Ряд 1+q+q2++qn1+n=1qn1 называется суммой геометрической прогрессии. В этом случае слагаемые ряда равны an=qn1. Выведем формулу для суммы первых n слагаемых геометрической прогрессии. Имеем Sn=1+q+q2++qn2+qn1,qSn=q+q2+q3++qn1+qn.Если q1, то вычитая второе равенство из первого, получим Sn=1qn1q. Если же q=1, то, очевидно, Sn=1+1++1=n и Sn (n), так что при q=1 данный ряд расходится. Пусть q1. Тогда вопрос о сходимости ряда n=1qn1 сводится к вопросу о сходимости последовательности Sn=1qn1q. Ясно, что возможны такие случаи.

  • |q|<1. При этом Sn11q (n), т. е. наш ряд сходится и его сумма равна S=11q.
  • |q|>1. Тогда последовательность Sn не имеет предела, т. е. ряд расходится.
  • |q|=1. Случай q=1 уже рассмотрен. Если же q=1, то, очевидно, S2k=0 и S2k+1=1, так что последовательность частичных сумм {Sn} не имеет предела, т. е. ряд расходится.

Окончательно,n=1qn1=11qпри|q|<1, а при |q|1 ряд n=1qn1 расходится.

Пример 2. Рассмотрим ряд 112+123++1n(n+1)+ИмеемSn=112+123++1n(n+1)= =(112)+(1213)++(1n1n+1)=11n+1.Теперь уже легко видеть, что limnSn=limn(11n+1)=1, а это означает, что наш ряд сходится и его сумма равна n=11n(n+1)=1.

Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Ряд n=1an сходится тогда и только тогда, когда для любого ε>0 найдется такой номер N=N(ε), что при любом nN и при любом натуральном p справедливо неравенство |n+pk=n+1ak|<ε.

Доказательство. Сумма слева в последнем неравенстве называется отрезком Коши. По определению, сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм Sn. В силу критерия Коши для числовых последовательностей, сходимость последовательности {Sn} эквивалентна ее фундаментальности. Фундаментальность последовательности {Sn} означает, что для любого ε>0 найдется такой номер N, что для любого nN и для любого pN справедливо неравенство |Sn+pSn|<ε. Но поскольку Sn+pSn=a1++an+an+1++an+p(a1++an)= =an+1++an+p, то тем самым теорема доказана. ◻

Следствие (необходимое условие сходимости). Если ряд n=1an сходится, то limnan=0.

Доказательство. Если ряд n=1an сходится, то, в силу критерия Коши, для любого ε>0 найдется такое NN, что при любом nN и при любом pN справедливо неравенство |n+pk=n+1ak|<ε. В частности, если p=1, то получим, что для любого ε>0 найдется такой номер N, что при любом nN справедливо неравенство |an+1|<ε. Это и означает, что limnan=0. ◻

Другое доказательство необходимого условия сходимости. Сходимость ряда n=1an равносильна существованию следующего предела: limnSn=S. Но тогда и limnSn1=S, откуда, в силу равенства an=SnSn1, следует limnan=limn(SnSn1)=limnSnlimnSn1=SS=0. ◻

Итак, если ряд n=1an, сходится, то его слагаемые стремятся к нулю. Обратное утверждение неверно. Действительно, для ряда n=11n имеем: an=1n. Тогда limnan=0 и, вместе с тем, Sn=1+12++1nn1n=n, откуда следует, что limnSn=+, т. е. ряд n=11n расходится.

Пример. Гармоническим называется ряд n=11n=1+12+13++1n+ Отрезок Коши этого ряда можно оценить следующим образом:
n+pk=n+11k=1n+1+1n+2++1n+p1n+pp. Если взять p=n, то получим, что 2nk=n+11knn+n=12. Это означает, что найдется такое ε0>0 (ε0=12), что для любого NN существует nN (например, n=N) и существует такое pN (p=n), при которых справедливо неравенство |n+pk=n+11k|ε0. В силу критерия Коши это означает, что гармонический ряд расходится.

Как правило, на практике необходимое условие сходимости применяется в следующей форме: если предел слагаемых ряда не существует, либо существует, но отличен от нуля, то ряд расходится.

Примеры решения задач

  1. Найти сумму ряда n=1(n+22n+1+n).

    Решение

    Sn=(1+221+1+1)+(2+222+1+2)++ +(n1+22n1+1+n1)+(n+22n+1+n)= =(322+1)+(423+2)++ +(n+12n+n1)+(n+22n+1+n)= =12+n+2n+1=12+1n+2+n+1; S=limnSn=limn(12+1n+2+n+1)=12.

  2. Записать первые три члена ряда n=1n+1(4n3)5n.

    Решение

    n=1n+1(4n3)5n=2151+3552+4953+

  3. Записать сумму в свернутом виде с общим членом ряда 257+4514+8521+

    Решение

    257+4514+8521+=21571+22572+23573+=n=12n57n

  4. Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости для ряда: n=1(2n+1).

    Решение

    Ряды n=1(2n+1) расходятся, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости: общий член ряда не стремится к нулю (limnan=limn(2n+1)=0).

Определения и простейшие свойства числового ряда

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме


Таблица лучших: Определения и простейшие свойства числового ряда

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости

Пусть дана последовательность a1,a2,,an,, где aiϵR,iϵN

Символ вида (*) a1+a2++an+ называется числовым рядом и обозначаетсяn=1an, при этом an называется общим членом ряда. Ряд (*) называется сходящимся, если существует предел limnSn, где Sn это n-ая частичная сумма ряда, Sn=nk=1ak.

s

При этом, число S=limnSn называется суммой ряда, и пишут S=n=1an.

Если же предел частичных сумм limnSn не существует или бесконечен, то говорят, что ряд (*) расходится и никакой суммы ряду не присваивается.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

q+q2++qn+

Запишем n-ю частичную сумму и с упростим выражение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии.

Sn=q+q2++qn=q(1qn)1q, |q|1
limnSn=limnq(1qn)1q=q1q, при |q|<1
limnSn=limnq(1qn)1q=, при |q|>1.
limnSn=limnn=, при q=1.
limnSn не существует, при q=1.

Таким образом, при |q|<1 ряд сходится, а при |q|1 — расходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Если ряд n=1an сходится, то необходимо limnan=0.

Доказательство.

Если ряд сходится, то limnSn=S, следовательно limnSn1=S.

Рассмотрим limn(Sn1Sn)=SS=0, где Sn1Sn=an, an — общий член ряда, limnan=0. Теорема доказана.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

n=1n2n1.

Необходимое условие не выполняется: limnn2n1=120. Следовательно, ряд расходится.

Литература

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Тест на проверку знаний о сходящихся и расходящихся рядах, а также необходимого условия сходимости.