Фундаментальные последовательности

Фундаментальные последовательности

Последовательность \{x_n\} называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon :\forall n\geq N_\varepsilon\ \forall p\geq N_\varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\leq \varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\rightarrow 0
Определение сходимости последовательности и фундаментальности эквивалентны.

Примеры:
Фундаментальными последовательностями являются:

  • \{x_n\}=\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + ... + \frac{\sin n\alpha}{2^n} (можно доказать, используя критерий Коши)
    Спойлер

    |x_{n+p}-x_n|=|\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + ... + \frac{\sin n\alpha}{2^n}+...+ +\frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}} - (\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + ... + \frac{\sin n\alpha}{2^n})|= |\frac{\sin(n+1)\alpha}{2^{n+1}} + \frac{\sin(n+2)\alpha}{2^{n+2}} + ... + \frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}}|\le \le |\frac{\sin(n+1)\alpha}{2^{n+1}}| + |\frac{\sin(n+2)\alpha}{2^{n+2}}| + ... + |\frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}}|\le\frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^{n+2}} + ... + \frac{1}{2^{n+p}} = \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^n}<\varepsilon \Rightarrow 2^n > \frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow n > \log_2\frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow n_0=\log_2(\frac{1}{\varepsilon}) + 1 — таким образом, получили необходимый номер элемента последовательности для каждого \varepsilon, а значит, последовательность является фундаментальной.

    [свернуть]
  • \{x_n\}=\{1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , ... , \frac{1}{n}\}
    Спойлер

    Примем \frac{1}{N_\varepsilon}<\varepsilon, тогда: |x_{n+p}-x_n|=|\frac{1}{n+p}-\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n}<\frac{1}{N_\varepsilon}<\varepsilon — таким образом, получили необходимый номер элемента последовательности для каждого \varepsilon, а значит, последовательность является фундаментальной. 

    [свернуть]
  • \{x_n\}=\frac{3n}{n+1}
    Спойлер

    |x_{n+p}-x_n|=|\frac{3(n+p)}{n+p+1}-\frac{3n}{n+1}|=|\frac{3n^2+3mn+3n+3m-3n^2-3mn-3n}{(n+p+1)(n+1)}|= =|\frac{3m}{(n+p+1)(n+1)}|<\frac{3}{n+1}<\frac{3}{n} — таким образом, приняв искомое N_\varepsilon > \frac{3}{\varepsilon}, получим необходимый номер элемента последовательности для каждого \varepsilon, а значит, последовательность является фундаментальной.

    [свернуть]

Литература: 

Фундаментальные последовательности: 1 комментарий

  1. Не ограничивайте доступ к записи. Это усложняет мне проверку.
    Не нужно подчеркивать ничего, кроме гиперссылок. Вообще, использование индивидуальных стилей в коллективной работе, это крайне дурной тон. Когда изменится общее оформление сайта, ваша страничка будет выбиваться из общего стиля. Мы уже много раз говорили — разметка должна быть семантической.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *