2.5 Критерий Коши

Если для исследования сходимости последовательности применять определение предела, то мы заранее должны знать, является ли данная последовательность сходящейся и значение ее предела. Используя определение предела, мы можем лишь доказывать выдвинутую гипотезу. Однако в ряде случаев по самому виду последовательности трудно определить, является ли она сходящейся или расходящейся. Например, $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$ . В связи с этим возникает необходимость найти внутреннее свойство последовательности, равносильное сходимости и не
зависящее от числа $a$ – предела последовательности. Мы докажем, что таким свойством является фундаментальность.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной (сходящейся в себе), если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для всех номеров $n \geqslant N$, $m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < \varepsilon$.

Существенное отличие определения фундаментальности от определения предела состоит в том, что в определении предела мы должны знать значение предела, а в определении фундаментальности это не требуется. Смысл определения предела состоит в том, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от значения предела, т. е. $|x_n — a| < \varepsilon$ при $n \geqslant N = N(\varepsilon)$. В определении фундаментальности требуется чтобы все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличались друг от друга $\Big(|x_n — x_m| < \varepsilon$, $n, m \geqslant N = N(\varepsilon)\Big).$

Равносильность сходимости последовательности и ее фундаментальности устанавливает следующая теорема.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость доказывается совсем просто. В самом деле, нужно показать, что из сходимости следует фундаментальность. Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$. Зададим $\varepsilon > 0$ и найдем номер $N$, такой, что для любого $n \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — a| < \frac{\varepsilon}{2}$. Если $n, m \geqslant N$, то получим $$|x_n — x_m| \leqslant |x_n — a| + |x_m — a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$ а это и означает, что $\{x_n\}$ – фундаментальна.

Достаточность. Нужно показать, что из фундаментальности последовательности следует ее сходимость. Сначала мы покажем, что из фундаментальности следует ограниченность. Затем, используя лемму Больцано – Вейерштрасса, из ограниченной последовательности выделим сходящуюся подпоследовательность и, наконец, снова используя фундаментальность, покажем, что и вся последовательность сходится к тому же пределу, что и выделенная подпоследовательность.

Итак, пусть $\{x_n\}$ – фундаментальная последовательность. Докажем ее ограниченность. Зададим $\varepsilon = 1$ и, пользуясь фундаментальностью, найдем номер $N_1$, такой, что для любых $n, m \geqslant N_1$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < 1$. Зафиксируем $m = N_1$. Тогда получим, что для всех $n \geqslant N_1$ имеет место неравенство $|x_n — x_m| < 1$, т. е. ${x_N}_1 — 1 < x_n < {x_N}_1 + 1$. Отсюда следует, что $|x_n| \leqslant |{x_N}_1| + 1$ для всех $n \geqslant N_1$. Во множестве $E = \{|{x_N}_1| + 1, |x_1| , \ldots , |{x_N}_1 − 1|\}$, состоящего из конечного числа элементов, выберем наибольший $A = \max\{|{x_N}_1| + 1, |x_1| ,\ldots, |{x_N}_1 − 1|\}$. Тогда получим, что $|x_n| \leqslant A$ для всех $n = 1, 2,\ldots$, а это и означает, что $\{x_n\}$ – ограниченная последовательность.

Применяя теперь к ограниченной последовательности $\{x_n\}$ лемму Больцано – Вейерштрасса, выделим из нее сходящуюся подпоследовательность ${\{{x_n}_k\}}^\infty_{k = 1}$ и обозначим через a предел этой подпоследовательности. Покажем, что вся последовательность $\{x_n\}$ также сходится к числу a, т. е. что $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$.

Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь фундаментальностью последовательности $\{x_n\}$, найдем такой номер $N$, что для всех номеров $n, m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n − x_m| < \frac{\varepsilon}{2}$. Далее, пользуясь тем, что $\lim\limits_{k\to \infty}{x_n}_k = a$, для заданного $\varepsilon$ найдем номер $k$, такой, что $n_k \geqslant N$ (это возможно, поскольку $n_k \rightarrow \infty$ при $k \rightarrow \infty$) и $|{x_n}_k — a| < \frac{\varepsilon}{2}$. Положим $m = n_k$. Тогда получим, что для любого $n \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n − {x_n}_k| < \frac{\varepsilon}{2}$. Отсюда следует, что для $n \geqslant N$ $$|x_n — a| \leqslant |x_n — {x_n}_k| + |{x_n}_k — a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Итак, для заданного $\varepsilon > 0$ мы нашли номер $N$, начиная с которого справедливо неравенство $|x_n — a| < \varepsilon$. Поскольку выбранное $\varepsilon > 0$ произвольно, то по определению предела последовательности получаем, что $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$.

Определение фундаментальности последовательности можно сформулировать в такой эквивалентной форме.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для любого $n \geqslant N$ и для любого $p \in N$ справедливо неравенство $|x_{n + p} — x_n| < \varepsilon$.

Пользуясь этим определением, скажем, что последовательность $\{x_n\}$ не является фундаментальной, если найдется такое $\varepsilon_0 > 0$, что для любого $N$ существуют такой номер $n \geqslant N$ и такое натуральное число $p$, что $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$.

Пример 1. Рассмотрим последовательность $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$. Для натуральных $n$ и $p$ имеем $x_{n + p} − x_n = \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{n + p} \geqslant \frac{1}{n + p} + \ldots + \frac{1}{n + p} = \frac{p}{n + p}$. Если $n$ зафиксировано, то для $p = n$ получаем $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \frac{1}{2}$. Выберем $\varepsilon_0 = \frac{1}{2} > 0$. Тогда для любого номера $N$ положим $n = N$, $p = n$ и будем иметь $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$. Это означает, что данная последовательность не является фундаментальной и, следовательно, в силу критерия Коши, она расходится.

Пример 2. Покажем, что последовательность $x_n = \frac{\sin 1}{1^2} + \frac{\sin 2}{2^2} + \ldots + \frac{\sin n}{n^2}$ фундаментальна, а значит, сходящаяся. Для натуральных $n$ и $p$ имеем $$|x_{n + p} − x_n| \leqslant \frac{1}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{1}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{1}{n(n + 1)} + \ldots + \frac{1}{(n + p — 1)(n + p)} =$$ $$= \frac{1}{n} — \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{n + p — 1} — \frac{1}{n + p} =$$ $$= \frac{1}{n} — \frac{1}{n + p} \leqslant \frac{1}{n} < \varepsilon,$$ если только $n \geqslant N = [\frac{1}{\varepsilon}] + 1$. Этим самым доказано, что данная последовательность фундаментальна.

Пример 3. Доказать, что последовательность $x_n = \frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + \ldots + \frac{a_n}{n^2},$ где $|a_n| \leqslant 2$ для всех $n$ натуральных, сходится, с помощью критерия Коши.

Решение

Для натуральных $n$ и $p$ $$|x_{n + p} — x_n| = \frac{|a_{n + 1}|}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{|a_{n + p}|}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{2}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{2}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{2}{(n + 1)n} + \ldots + \frac{2}{(n + p)(n + p — 1)} =$$ $$= \frac{2}{n} — \frac{2}{n + 1} + \ldots + \frac{2}{n + p — 1} — \frac{2}{n + p} =$$ $$= \frac{2}{n} — \frac{2}{n + p} \leqslant \frac{2}{n} < \varepsilon$$ если только $n \geqslant N = [\frac{2}{\varepsilon}] + 1$. таким образом доказано, что последовательность фундаментальна, а следовательно она сходится.

Упражнение. Покажите, что условие $\lim\limits_{n \to \infty}(x_{n+p} — x_n) = 0$, справедливое при любом натуральном $p$, не влечет фундаментальность последовательности $\{x_n\}$

Литература

Критерий Коши

Тест по теме: «Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.»


Таблица лучших: Критерий Коши

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *