4.8 Обратная функция

Функция $f,$ действующая из $X$ в $Y,$ называется биективной, если она взаимно однозначна и ее область значений совпадает с множеством $Y.$ Это означает, что для каждого $y \in Y$ существует единственный $x \in X,$ такой, что $y = f\left(x\right).$

Пусть функция $f: X \rightarrow Y$ биективна. Тогда каждому $y \in Y$ можно поставить в соответствие единственный $x \in X,$ такой, что $y = f\left(x\right).$ Тем самым мы получим новую функцию, действующую из $Y$ в $X.$ Такая функция называется обратной к функции $f$ и обозначается $f^{−1}.$ Например, $f\left(x\right) = x^3$ действует из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ и биективна. Тогда $f^{−1}\left(y\right) = \sqrt[3]{y}.$ Другая функция $f\left(x\right) = x^2,$ действующая из $\mathbb {R}$ в $\left[0, +\infty\right),$ не является биективной, и поэтому нельзя говорить об обратной функции. Если же мы рассмотрим функцию $f_1: \left[0, +\infty\right) \rightarrow \left[0, +\infty\right),$ действующую по правилу $f_1\left(x\right) = x^2,$ то такая функция биективна, и поэтому у нее есть обратная $f^{−1} \left(y\right) = \sqrt{y}.$ В этом примере мы пользуемся понятием сужения, т. е. функцию мы рассматриваем не на всей возможной области определения, где определяющая функцию формула имеет смысл, а лишь на части этой области. Дадим определение.

Определение. Пусть функция $f: X \rightarrow Y,$ и множество $A \subset X.$ Каждой точке $x \in A$ поставим в соответствие $y = f \left(x\right) \in Y.$ Тогда получим функцию, заданную на множестве $A,$ которую будем называть сужением функции $f$ на множество $A,$ и будем обозначать это сужение $f\mid A.$

В рассмотренном выше примере $f\left(x\right) = x^2$ функция не была взаимно однозначной на $\mathbb {R}.$ В то же время сужение $f_1 = f\mid \left[0, +\infty\right)$ – взаимно однозначная функция, и поэтому существует обратная функция.

В этом параграфе мы будем заниматься вопросом существования и свойствами обратной функции. Если обратную функцию удается явно выразить (как в рассмотренных выше примерах), то свойства обратной функции могут быть изучены непосредственно. Однако это не всегда можно сделать. Например, функция $f \left(x\right) = x + \frac{1}{2} \sin x $ взаимно однозначна, но выражение обратной функции весьма затруднительно. Мы хотим исследовать свойства обратной функции $f^{−1},$ не зная ее явного выражения.

Пусть функция $f$ определена на $\left[a, b\right].$ Очевидно, что если $f$ строго монотонна на $\left[a, b\right],$ то она взаимно однозначна. Обратное утверждение не имеет места. Например, функция $$f\left(x\right) = \begin{cases} −x, \qquad −1 \leqslant x < 0, \\ x − 1, \qquad 0 \leqslant x \leqslant 1, \end{cases}$$ очевидно, взаимно однозначна, но не является монотонной на $\left[−1, 1\right].$ Можно, однако, доказать, что если функция $f$ взаимно однозначна и непрерывна, то она строго монотонна. Мы этого не будем делать.

В дальнейшем через $\langle\alpha, \beta\rangle$ будем обозначать отрезок с концами $\alpha$ и $\beta$ (при этом неравенство $\alpha < \beta$ не обязательно).

Теорема (об обратной функции). Пусть функция $f$ строго монотонна и непрерывна на отрезке $\left[a, b\right].$ Тогда обратная функция $f^{−1}$ строго монотонна и непрерывна на отрезке $\langle f\left(a\right), f\left(b\right)\rangle.$

Рассматриваем случай возрастающей $f.$ В силу теоремы Больцано – Коши, областью значений функции $f$ является отрезок $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right].$ Так как $f$ взаимно однозначна на $\left[a, b\right],$ то существует функция $f^{−1},$ отображающая $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right]$ на $\left[a, b\right].$ Обозначим $g\left(y\right) = f^{−1}\left(y\right).$ Покажем, что $g$ строго возрастает. Пусть $y^{\prime} < y^{\prime\prime}, x^{\prime} = g\left(y^{\prime}\right), x^{\prime\prime} = g \left(y^{\prime\prime}\right).$ Если $x^{\prime} \geqslant x^{\prime\prime},$ то $f \left(x^{\prime}\right) \geqslant f \left(x^{\prime\prime}\right)$ (в силу возрастания $f$), т. е. $y^{\prime} \geqslant y^{\prime\prime},$ что противоречит условию. Итак, получаем, что $x^{\prime} < x^{\prime\prime},$ т. е. условие $y^{\prime} < y^{\prime\prime}$ влечет $x^{\prime} < x^{\prime\prime}.$ Это и означает, что обратная функция $x = g\left(y\right)$ строго возрастает на $\left[f \left(a\right), f \left(b\right)\right].$

Областью значений обратной функции $g$ является отрезок $\left[a, b\right].$ В самом деле, каждое $x \in \left[a, b\right]$ является значением функции $g\left(y\right),$ где $y = f\left(x\right).$ Так как $g$ монотонна на $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right]$ и ее областью значений является отрезок $\left[a, b\right],$ то, по теореме о непрерывности монотонной функции, функция $g$ непрерывна на отрезке $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right].$

Пример 1. Арксинус. Функция $f\left(x\right) = \sin x \left(−\infty < x < +\infty\right)$ не является взаимно однозначной. Рассмотрим сужение этой функции на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$ Это сужение – непрерывная и строго возрастающая функция. Следовательно, существует обратная функция, непрерывная и строго возрастающая.

Арксинусом называется функция, обратная к сужению функции $\sin x$ на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$ и обозначается $\arcsin x.$ Она определена на $\left[−1, 1\right],$ имеет областью значений отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$ строго возрастает и непрерывна на $\left[−1, 1\right].$

Пример 2. Арккосинус. Функция $f\left(x\right) = \cos x \left(−\infty < x < +\infty\right)$ не является взаимно однозначной. Рассмотрим сужение этой функции на $\left[0, \pi\right].$ Это сужение – непрерывная и строго убывающая функция. Следовательно, существует обратная функция, непрерывная и строго убывающая.

Арккосинусом называется функция, обратная к сужению функции $\cos x$ на $\left[0, \pi\right],$ и обозначается $\arccos x.$ Она определена на $\left[−1, 1\right],$ имеет областью значений отрезок $\left[0, \pi\right],$ строго убывает и непрерывна на $\left[−1, 1\right].$

Пример 3. Арктангенс и арккотангенс. Арктангенсом называется функция, обратная к сужению функции $\text{tg } x$ на $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right),$ и обозначается $\text{arctg } x.$ Функция $\text{arctg } x$ непрерывна и строго возрастает на $\left(−\infty, +\infty\right),$ область ее значений – интервал $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$

Арккотангенсом называется функция, обратная к сужению функции $\text{ctg } x$ на $\left(0, \pi\right),$ и обозначается $\text{arcctg } x.$ Функция $\text{arcctg } x$ непрерывна и строго убывает на $\left(−\infty, +\infty\right),$ область ее значений – интервал $\left(0, \pi\right).$

Упражнение. Постройте графики определенных выше обратных тригонометрических функций $y = \arcsin x, y = \arccos x, y = \text{arctg } x$ и $y = \text{arcctg } x.$

Пример 4. Функция $f\left(x\right) = x^n \left(x \geqslant 0, n \in \mathbb {Z}\right)$ является взаимно однозначной. Следовательно, существует обратная функция $f^{-1}\left(x\right) = \sqrt[n]{x}.$ Можем увидеть пример графика данной функции и её обратной при $ n = 2m + 1 \left(m \in \mathbb {N}\right).$

Пример 5. $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}_+,$ функция $f\left(x\right) = a^x \left(a > 0, a \neq 1\right)$ является взаимно однозначной. Следовательно, существует обратная функция $f^{-1}\left(x\right) = \log_a x.$ Можем увидеть пример графика данной функции и её обратной при $a > 1.$

Обратная функция

Вы можете пройти данный тест, чтобы примерно оценить, насколько вы поняли тему «Обратная функция»

Теорема о непрерывности обратной функции

Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если f\in C[a;b] и f строго возрастает на I = [a;b], то на E = [f(a),f(b)] определена функция x=g(y), которая будет обратной к f, непрерывной на [f(a), f(b)] и строго возрастающей на [a;b].

Если f\in C[a;b] и f строго убывает на [a;b], то на [f(b), f(a)] определена функция x=g(y), которая будет обратной к f, непрерывной на [f(b), f(a)] и строго убывающей на [a;b].

Доказательство:

Предположим, что функция f строго возрастает на отрезке I.
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений E непрерывной функции f тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции f для каждого y\in E существует единственная точка x\in I такая, что f(x)=y.
Следовательно, для функции f существует обратная функция f^{-1}, определенная на отрезке E, имеющая множество значений I.

Покажем, что f^{-1} строго возрастает на E.

Пусть y_{1} и y_{2} — две произвольные точки из E такие, что y_{1}<y_{2}, и прообразами этих точек будут точки x_{1} и x_{2}. f^{-1}(y_{1})=x_{1} и f^{-1}(y_{2})=x_{2}.

Поскольку f — строго возрастающая функция, то неравенство y_{1}=f(x_{1})<f(x_{2})=y_{2} возможно тогда и только тогда, когда x_{1}<x_{2} или, что то же самое, когда f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2}).

В силу произвольности y_{1} < y_{2} делаем вывод, что функция f^{-1} строго возрастает на множестве E.

Для случая, когда f строго убывает, теорема доказывается аналогично.

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Обратная функция

Определение

Пусть функция $y=f(x)$ с областью определения $ D(f)$ и множеством значений $R(f)$. Обратная к $f$ — функция $f^{-1}$ определяется как функция с областью определения $D(f^{-1})=R(f)$  и множеством значений $R(f^{-1})=D(f)$ , такая что $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $f(x)=y$. Таким образом,  $f^{-1}$ возвращает $y$ обратно в $x$.

График

Переход от функции $y=f(x)$, $x\in X$, к обратной функции $x=f^{-1}(y)$, $y\in Y$ (если она существует), сводится к изменению ролей множеств $X$ и $Y$. Следовательно, графики функций $y=f(x)$ и $x=f^{-1}(y)$ на плоскости $XOY$ совпадают. Но обычно и для обратной функции аргумент обозначают через $x$, т.е. записывают ее в виде $y=f^{-1}(x)$. График функции $y=f^{-1}(x)$ получается из графика функции $y=f(x)$ с помощью преобразования плоскости $XOY$, переводящей каждую точку $(x,y)$ в точку $(y,x)$, то есть симметрией относительно прямой $y=x$.

Graphic

Спойлер

  1. Найти функцию, обратную функции $y=3x+5$.
    Решение:
    Функция $y=3x+5$ определена и возрастает на всей числовой оси. Следовательно, обратная функция существует и возрастает. Разрешая уравнение относительно $x$ получим $x=\frac{y-5}{3}$.
  2. Показать, что функция $y=\frac{k}{x}$, на множестве $X = \{x \mid x > 0\}$, где $(k\neq 0)$ обратна сама себе.
    Решение:
    Функция $y=\frac{k}{x}$ определена и строго монотонна $x > 0$ . Следовательно, обратная функция существует. Область значений функции — в зависимости от $k$: если $k > 0$, то $y >0$; если $k < 0$, то $y <0$. Разрешая уравнение относительно $x$, получим $x = \frac{k}{y}$. Итак $f^{-1}(y)=\frac{k}{y}$, $f^{-1}(x) = \frac{k}{x} = f(x)$.

[свернуть]

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Тест по теме «Обратная функция»