M1537

Условие:

Про

$n$ чисел, произведение которых равно

$p$ , известно, что разность между

$p$ и каждым из этих чисел — нечётное целое число. Докажите, что все эти числа иррациональны.

Решение:

Пусть x — одно из этих n чисел.

$x+b_{1} , x+b_{2}, … , x+b_{n-1}$ — остальные и

$p = x(x+b_{1})(x+b_{2})…(x+b_{n+1})=x+c, (1)$

где, по условию, $c$ нечётно, а $b_{1} , b_{2}, … , b_{n-1}$ должны быть чётными целыми числами. Равенство $(1)$ можно записать, раскрыв скобки в виде

$x^{n} +a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} +…+a_{n-2}x^{2}+x{n-1}x=c, (2)$

где $a_{1},…,a_{n-2}$ — чётные, а $a_{n-1}=b_{1}b_{2}…b_{n-1}-1$ и $c$ — нечётные числа.Предположив, что $x$ — рациональное число, мы сразу же убедимся, что $x$ должно быть целым:если $x=k/d$ — несократимая дробь, $d>1$ , то, подставив $x$ в $(2)$ и умножив обе части на $d^{n-1}$ , мы придём к противоречию.Но и целым $x$ тоже быть не может: и при чётном, и при нечётном $x$ левая часть — четная (в последнем случае два крайние числа нечётны, а остальные чётны), а $c$ — нечётно. Полученное противоречие доказывает, что $x$ (и любой из остальных корней уравнения (1) с чётными $b$ , и нечётным $c$ ) может быть только иррациональным.

Н.Васильев, Г.Гальперин

M1421

Задача о неравенстве выпуклого четырехугольника

Условие

В выпуклый четырехугольник $ABCD$ , у которого углы при вершинах $B$ и $D$ — прямые, вписан четырехугольник с периметром $P$ (его вершины лежат по одной на сторонах четырехугольника $ABCD$ ). Докажите неравенство $P \geqslant 2BD$
В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

Решение

Пусть $EFKL$ — четырехугольник, вписанный в $ABCD$ (см рис.). Обозначим через $M$ и $N$ середины отрезков $EF$ и $KL$ соответсвенно. Мы докажем неравенство задачи в более общем случае : $\angle B \geq \frac{\pi}{2}$ , $\angle D \geq \frac{\pi}{2}$ .
При этом

$BM \leq \frac{1}{2}EF , DN \leq\frac{1}{2}KL$

(*)

Далее, так как $\vec{MN }=\frac{1}{2}\left ( \vec{EK} +\vec{FL}\right )$ , то

$\left | \vec{MN} \right | \leq \frac{1}{2}\left ( EK+FL \right )$ .

(**)

Поскольку $BM+MN+ND+ND \geq BD.$
получаем из (*), (**) неравенство задачи.
Равенство (*) имеет место, если $\angle B=\frac{\pi}{2}, \angle D=\frac{\pi}{2}$ .
Неравенство (**) переходит в равенство, если $EK||FK||MN.$ Кроме этого, в случае равенства точки $B,M,N,D$ лежат на одной прямой.
Из вышесказанного получаем следующий способ построения всех четырехугольников, для которых неравенство задачи превращается в равенство.
Пусть $O —$ точка пересечения $AC$ и $BD, AO \leq OC.$ Проведем через произвольную точку отрезка $AO$ прямую $EK,$ параллельную $BD\left ( E\in AB, K \in AD \right )$ . Симметрично отобразив прямую EK относительно $BD,$ получим противоположную сторону $FL$ четырехугольника.

Г. Нерсисян

M2103

Дана таблица $n\times n$ , столбцы которой пронумерованы числами от $1$ до $n$ . В клетки таблицы расставляются числа $1,2,\cdots,n$ так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если читсло в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких $n$ существует расстановка, в которй во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Решение

Найдем общее количество хороших клеток. В первом столбце их $n-1$ (все, кроме клетки с числом 1), во вторм их $n-2$ (все, кроме клетки с числом 1 и 2) и т.д., в последнем столбце таких клкеток нет. Значит, всего их $(n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{n(n-1)}{2}$

Поэтому в каждой строке их должно быть по $\frac{n-1}{2}$ , следовательно, $n$ должно быт ьнечетным.

$1$	$n$	$n-1$	$\cdots$	$2$
$2$	$1$	$n$	$\cdots$	$3$
$3$	$2$	$1$	$\cdots$	$4$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$n-1$	$n-2$	$n-3$	$\cdots$	$n$
$n$	$n-1$	$n-2$	$\cdots$	$1$

Приведем пример расстановки при нечетном $n$ . Пусть в первой строке записаны числа в порядке $1,n,n-1,n-2,\cdots,2$

а каждая следующая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки на 1 клетку (см.рис.). Очевидно, в любой строке и в любом столбце каждое из чисел $1,2,\cdots,n$ встречается по одному разу. Рассмотрим $m$ -ю строку ( $m\in \left \{ 1,2,\cdots,n \right \}$ ). В ее первых $m$ клетках стоят числа $1,2,\cdots,m$ в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно $\left [\frac{m}{2} \right]$ хороших. В ее последних $n-m$ клетках(т.е. в столбцах с номерами $m+1,m+2,\cdots,n$ ) стоят числа $m+1,m+2,\cdots,n$ в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно $\left [\frac{n-m}{2} \right]$ хороших. Так как числа $m$ и $n-m$ разной четности, то в $m$ -й строке ровно $\left [\frac{m}{2} \right]+\left [\frac{n-m}{2} \right]=\frac{m}{2}+\frac{n-m}{2}-\frac{1}{2}=\frac{n-1}{2}$ хороших клеток.

M1437

Докажите, что если последовательность удовлетворяет следующим условиям: Читать далее