M1537. Произведение и разность чисел

Условие:

Про [latex]n[/latex] чисел, произведение которых равно [latex]p[/latex], известно, что разность между [latex]p[/latex] и каждым из этих чисел — нечётное целое число. Докажите, что все эти числа иррациональны.

Решение:

Пусть x — одно из этих n чисел. [latex]x+b_{1} , x+b_{2}, … , x+b_{n-1}[/latex] — остальные и

[latex] p = x(x+b_{1})(x+b_{2})…(x+b_{n+1})=x+c, (1)[/latex]

где, по условию, [latex]c[/latex] нечётно, а [latex]b_{1} , b_{2}, … , b_{n-1}[/latex] должны быть чётными целыми числами. Равенство [latex](1)[/latex] можно записать, раскрыв скобки в виде

[latex] x^{n} +a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} +…+a_{n-2}x^{2}+x{n-1}x=c, (2)[/latex]

где [latex]a_{1},…,a_{n-2} [/latex] — чётные, а [latex]a_{n-1}=b_{1}b_{2}…b_{n-1}-1[/latex] и [latex]c[/latex] — нечётные числа.Предположив, что [latex]x[/latex] — рациональное число, мы сразу же убедимся, что [latex]x[/latex] должно быть целым:если [latex]x=k/d[/latex] — несократимая дробь, [latex]d>1[/latex], то, подставив [latex]x[/latex] в [latex](2)[/latex] и умножив обе части на [latex]d^{n-1}[/latex] , мы придём к противоречию.Но и целым [latex]x[/latex] тоже быть не может: и при чётном, и при нечётном [latex]x[/latex] левая часть — четная (в последнем случае два крайние числа нечётны, а остальные чётны), а [latex]c[/latex] — нечётно. Полученное противоречие доказывает, что [latex]x[/latex] (и любой из остальных корней уравнения (1) с чётными [latex]b[/latex], и нечётным [latex]c[/latex]) может быть только иррациональным.

Н.Васильев, Г.Гальперин

M1421

Задача о неравенстве выпуклого четырехугольника

Условие

  1. В выпуклый четырехугольник $latex ABCD$, у которого углы при вершинах $latex B $ и $latex D $ — прямые, вписан четырехугольник с периметром $latex P $ (его вершины лежат по одной на сторонах четырехугольника $latex ABCD$). Докажите неравенство $latex P \geqslant 2BD$
  2. В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

Решение

  1. Пусть $latex EFKL $ — четырехугольник, вписанный в $latex ABCD $ (см рис.). Обозначим через $latex M $ и $latex N $ середины отрезков $latex EF $ и $latex KL $ соответсвенно. Мы докажем неравенство задачи в более общем случае : $latex \angle B \geq \frac{\pi}{2} $ , $latex \angle D \geq \frac{\pi}{2}$.
    При этом

    $latex BM \leq \frac{1}{2}EF , DN \leq\frac{1}{2}KL $
    (*)

    Далее, так как $latex \vec{MN }=\frac{1}{2}\left ( \vec{EK} +\vec{FL}\right ) $, то

    $latex \left | \vec{MN} \right | \leq \frac{1}{2}\left ( EK+FL \right )$.
    (**)

    Поскольку $latex BM+MN+ND+ND \geq BD. $
    получаем из (*), (**) неравенство задачи.

  2. Равенство (*) имеет место, если $latex \angle B=\frac{\pi}{2}, \angle D=\frac{\pi}{2}$.
    Неравенство (**) переходит в равенство, если $latex EK||FK||MN. $ Кроме этого, в случае равенства точки $latex B,M,N,D $ лежат на одной прямой.
    Из вышесказанного получаем следующий способ построения всех четырехугольников, для которых неравенство задачи превращается в равенство.
    Пусть $latex O — $ точка пересечения $latex AC $ и $latex BD, AO \leq OC. $ Проведем через произвольную точку отрезка $latex AO $ прямую $latex EK, $ параллельную $latex BD\left ( E\in AB, K \in AD \right ) $. Симметрично отобразив прямую EK относительно $latex BD, $ получим противоположную сторону $latex FL $ четырехугольника.

Г. Нерсисян

M2103

Дана таблица $latex n\times n $, столбцы которой пронумерованы числами от $latex 1 $ до $latex n $. В клетки таблицы расставляются числа $latex 1,2,\cdots,n $ так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если читсло в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких $latex n $ существует расстановка, в которй во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Решение

Найдем общее количество хороших клеток. В первом столбце их $latex n-1 $ (все, кроме клетки с числом 1), во вторм их $latex n-2 $ (все, кроме клетки с числом 1 и 2) и т.д., в последнем столбце таких клкеток нет. Значит, всего их $latex (n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{n(n-1)}{2} $

Поэтому в каждой строке их должно быть по $latex \frac{n-1}{2} $, следовательно, $latex n $ должно быт ьнечетным.

$latex 1 $ $latex n $ $latex n-1 $ $latex \cdots $ $latex 2 $
$latex 2 $ $latex 1 $ $latex n $ $latex \cdots $ $latex 3 $
$latex 3 $ $latex 2 $ $latex 1 $ $latex \cdots $ $latex 4 $
$latex \vdots $ $latex \vdots $ $latex \vdots $ $latex \ddots $ $latex \vdots $
$latex n-1 $ $latex n-2 $ $latex n-3 $ $latex \cdots $ $latex n $
$latex n $ $latex n-1 $ $latex n-2 $ $latex \cdots $ $latex 1 $

Приведем пример расстановки при нечетном $latex n $. Пусть в первой строке записаны числа в порядке $latex 1,n,n-1,n-2,\cdots,2 $

а каждая следующая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки на 1 клетку (см.рис.). Очевидно, в любой строке и в любом столбце каждое из чисел $latex 1,2,\cdots,n $ встречается по одному разу. Рассмотрим $latex m $-ю строку ( $m\in \left \{ 1,2,\cdots,n \right \} $). В ее первых $latex m $ клетках стоят числа $latex 1,2,\cdots,m $ в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно $latex \left [\frac{m}{2} \right] $ хороших. В ее последних $latex n-m $ клетках(т.е. в столбцах с номерами $latex m+1,m+2,\cdots,n $) стоят числа $latex m+1,m+2,\cdots,n $ в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно $latex \left [\frac{n-m}{2} \right] $ хороших. Так как числа $latex m $ и $latex n-m $ разной четности, то в $latex m $-й строке ровно $latex \left [\frac{m}{2} \right]+\left [\frac{n-m}{2} \right]=\frac{m}{2}+\frac{n-m}{2}-\frac{1}{2}=\frac{n-1}{2} $ хороших клеток.

M1437

Докажите, что если последовательность удовлетворяет следующим условиям: Читать далее «M1437»