Теорема об умножении определителей

Теорема об умножении определителей. Определитель произведения двух квадратных матриц порядка $n$ равен произведению определителей этих матриц: $$\det (A \cdot B)=\det (A) \cdot \det (B)$$ или полная формула: $$\det\left (\prod_{i=1}^{k}A_i\right )= \prod_{i=1}^{k}\det A_i, A_i\in\left(P\right), i=1, \ldots, k.$$

Для доказательства рассмотрим случай $k=2$. Допустим заданы две матрицы $A=\left \| a_{ij} \right \|\in M_n\left ( P \right )$ и $B=\left \| b_{ij} \right \|\in M_n\left ( P \right )$. Воспользуемся вспомогательной блочной матрицей $C=\begin{Vmatrix}A & 0\\-E & B\end{Vmatrix}$ размера $2n\times 2n$, определитель которой имеет вид: $$\Delta = \begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12} &\cdots & a_{1n} &0 & 0 & \cdots & 0\\
a_{21}&a_{22} &\cdots & a_{2n} &0 & 0 & \cdots & 0 \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
a_{n1}&a_{n2} &\cdots & a_{nn} &0 & 0 & \cdots & 0\\
-1& 0 & \cdots & 0 & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
0 & -1 & \cdots & 0 & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
0 & 0 & \cdots & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}$$
Вычислим $\Delta$ используя теорему Лапласа. Замечаем, что отличным от нуля будет только $det(A)$. Следовательно, $\Delta=\det(A) \cdot \det(B)$. Теперь с помощью элементарных преобразований изменим $\Delta$ так, что в итоге получим определитель вида $\begin{vmatrix}A & C\\ -E & O\end{vmatrix}$. Где $C$ является произведением матриц $A$ и $B$. Первый столбец умножим на $b_{11}$ и прибавим к $\left ( n+1 \right)$-му столбцу, второй на элемент $b_{21}$ и вновь прибавим к $\left ( n+1 \right )$-му столбцу. Так же обнулим остальные элементы матрицы $B$. Записав подробнее полученный определитель имеем: $$\Delta = \begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12} &\cdots & a_{1n} & c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\
a_{21}&a_{22} &\cdots & a_{2n} & c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
a_{n1}&a_{n2} &\cdots & a_{nn} & c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\
-1& 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
0 & 0 & \cdots & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{vmatrix}$$ Снова вычислим определитель $\Delta$, разложением по последним $n$ столбцам. В этом случае отличным от нуля минором $n-$го порядка будет определитель матрицы $C$. Поэтому $\Delta= \det C\cdot\det\left (-E\right )=\det C\cdot\left ( -1 \right )^{n}\cdot\left (-1\right )^{S_1+S_2},$ где $$S_1=\sum_{k=n+1}^{2n}k, \textrm{ a } S_2=\sum_{k=1}^{n}k.$$ В результате получаем $\Delta=\det C\cdot\left ( -1 \right )^{2n\left ( n^{2}+n \right )}=\det C.$ Теперь, подставляя имеем доказательство теоремы: $$\Delta=\det C=\det (A \cdot B)=\det (A) \cdot \det (B).$$

Замечание Известно, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. $AB \neq BA$. Но определитель это действительное число, а произведение действительных чисел коммутативно. Следовательно, $$\det(AB) = \det A \cdot \det B = \det B\cdot\det A = \det(BA)$$

Теорема об умножении определителей является следствием формулы Бине-Коши. Это теорема об определителе произведения прямоугольных матриц, в случае если это произведение дает квадратную матрицу. Справедлива для матриц с элементами любого коммутативного кольца.

Теорема (формула Бине-Коши). Пусть даны две матрицы $A$ и $B$ размеров $\left ( m\times n \right )$ и $\left ( n\times m \right )$ соответственно. Определитель матрицы равен нулю, если $m > n$, и равен сумме произведений всех соответствующих миноров $m$-го порядка мaтрицы $A$ на соответствующие миноры $m$-го порядка матрицы $B$, если $m \leqslant n$. Миноры матриц $A$ и $B$ одинакового порядка, равного наименьшему из чисел n и m, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах матрицы $A$ и строках матрицы $B$ с одинаковыми номерами: $$\det AB=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }A_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }B_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m },$$
где $A_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }$ — минор матрицы $A$, составленный из столбцов с номерами $\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m$, и $B_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }$ — минор матрицы $B$, составленный из строк с номерами $\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m$.

Допустим $C=AB$, $c_{ij}=\sum_{\gamma=1}^{m}{a_{i\gamma }b_{\gamma i}}$. Значит $$\det C=\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma} \sum_{\gamma_1}{a_{1\gamma_1}b_{\gamma_{1}\sigma(1)}}\ldots \sum_{\gamma_n}{a_{n\gamma_n}b_{\gamma_{n}\sigma(n)}}=$$ $$=\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}^{m}{a_{1\gamma_{1}}}\ldots a_{n_n}\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma}b_{\gamma_1\sigma(1)}\ldots b_{\gamma_n\sigma(n)}=\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}{a_{1\gamma_{1}}\ldots a_{n\gamma_n} B^{\gamma_1\ldots \gamma_n}}.$$ Минор $B^{\gamma_1\ldots \gamma_n}$ не равен нулю только в том случае, когда $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ попарно различны, значит и суммировать можно по парно различные номера $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$. Для любой перестановки $\tau$ этих номеров справедливо $B^{\tau(\gamma_1)\ldots\tau(\gamma_n)}=(-1)^{\tau}B^{\gamma_1\ldots\gamma_n},$ из чего следует $$\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}{a_{1\gamma_{1}}\ldots a_{n\gamma_n} B_{\gamma_1\ldots \gamma_n}}=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_n}{(-1)^\tau a_{1\tau(1)}\ldots a_{n\tau(n)}B_{\gamma_1\ldots\gamma_n}}=$$ $$ =\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}{A_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}B_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}}.$$

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры решения задач связанных с рассмотренной теоремой. Читателю рекомендовано попытаться решить задачи самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным ниже.

    1. Найти определитель произведения матриц: $$A=\begin{Vmatrix}3 & 4\\ 1 & -8\end{Vmatrix},
      B=\begin{Vmatrix}2 & 9\\ -1 & 5\end{Vmatrix}$$

      Решение

      Находим определители данных матриц второго порядка: $\begin{vmatrix}3 & -4\\ 1 & -6\end{vmatrix}=-18+4=-14
      $ и $\begin{vmatrix}2 & 7\\ 1 & 5\end{vmatrix}=10-7=3$. По теореме об определителе произведения матриц получаем: $$\det (A \cdot B)=\det \left (A \right ) \cdot \det \left ( B \right )=\left ( -14\right )\cdot\left ( 3 \right )=-42.$$ Вычислим этот же определитель, находя произведение матриц: $$A\cdot B=\begin{vmatrix}3 & -4\\ 1 & -6\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}2 & 7\\ 1 & 5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 1\\ -4 & -23\end{vmatrix}$$ Следовательно, $\det \left (A\cdot B\right )=-46+4=-42$. Результаты совпадают.

    2. Найти определитель матрицы пятого порядка: $$M=\begin{Vmatrix}
      1 & 2 & u & v & w\\3 & 4 & x & y & z\\0 & 0 & 3 & 2 & 1\\0 & 0 & 2 & 5 & 3\\0 & 0 & 3 & 4 & 2
      \end{Vmatrix}$$

      Решение

      Разобьём данную матрицу на 4 блока, $M=\begin{Vmatrix}A & B\\ O & C\end{Vmatrix}$ где $A=\begin{Vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{Vmatrix}$,
      $B=\begin{Vmatrix}u & v & w\\ x & y & z\end{Vmatrix}$, $O=\begin{Vmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$, $C=\begin{Vmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 3 \\3 & 4 & 2\end{Vmatrix}$.
      Представим блочную матрицу как произведение (в справедливости этого представления можно убедиться, найдя произведение по правилам умножения блочных матриц). $$D=\begin{Vmatrix}
      A & B\\C & D \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} E_2 & O^T\\ O & C \end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} E_2 & B\\ O & E_3 \end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} A & O^T\\ O & E_3 \end{Vmatrix} ,$$ где $E_2,E_3$ — единичные матрицы соответствующих порядков.
      $\begin{vmatrix} A & O^T\\ O & E_3 \end{vmatrix} = \det A =\left | A \right |$, $\begin{vmatrix} E_2 & O^T\\ O & C \end{vmatrix} = \det C =\left | C \right|$.
      Матрица $\begin{Vmatrix} E_2 & B\\ O & E_3 \end{Vmatrix}$ — треугольная с единицами на главной диагонали, следовательно ее определитель равен $1$ По теореме об определителе произведения получаем:
      $$\begin{vmatrix} A & B\\ O & C \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} E_2 & O^T\\ O & C \end{vmatrix}\ \cdot \begin{vmatrix} E_2 & B\\ O & E_3 \end{vmatrix}\ \cdot\begin{vmatrix} A & O^T\\ O & E_3
      \end{vmatrix}=\left | C \right |\cdot 1\cdot\left | A \right |=\left | A \right |\cdot\left | C \right |$$ Найдем $\det A$ и $\det C$. $\begin{vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{vmatrix}=-2$ $\begin{vmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 3 \\3 & 4 & 2\end{vmatrix}=-15-8-36+30+18=-3$. Подставляя, получаем, $\det M=-2\cdot -3=-6$

    3. Представьте в виде определителя произведение определителей: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\ -1& 2 & 1 & 1\\ -1& -1& 2 & 1\\ -1&-1&-1& 2 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} 4& 1\\ 1& 4 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} -3 & 1\\ -1 & 3 \end{vmatrix}$$
      Решение

      По теореме об определителе ступенчатой матрицы имеем:
      $$\begin{vmatrix} 4& 1\\ 1& 4 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} -3 & 1\\ -1 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Предположим $$A=\begin{Vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\ -1& 2 & 1 & 1\\ -1& -1& 2 & 1\\ -1&-1&-1& 2 \end{Vmatrix}, B=\begin{Vmatrix}
      4 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3
      \end{Vmatrix},$$
      тогда $$AB=\begin{Vmatrix} 9 & 6 & -4 & 4\\ -2 & 7 & -4 & 4\\ -5 & -5 & -7 & 5\\ -5 & -5 & 1 & 5 \end{Vmatrix},$$ по теореме об определителе произведения получаем искомый определитель $$\det
      (A\cdot B)=\begin{vmatrix} 9 & 6 & -4 & 4\\ -2 & 7 & -4 & 4\\ -5 & -5 & -7 & 5\\ -5 & -5 & 1 & 5 \end{vmatrix}.$$

Литература

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
  2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра; 5-е изд., стереотипное. ФИЗМАТЛИТ. — 2002. С. 38-39
  3. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры С.138-139
  4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, С.93-95
  5. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов.— M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.— 416 с. C. 130-134

Теорема об умножении определителей

Тест на знание темы «Теорема об умножении определителей».

Свойства определителей

Рассмотрим свойства определителей, на основе которых можно существенно облегчить их вычисление:

Свойство $1$

Определитель транспонированной матрицы равен определителю начальной матрицы: $\det A = \det A^{T}$.

Доказательство

Действительно, брать произведения элементов по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца исходной матрицы — то же самое, что делать это по отношению к транспонированной матрице. Далее, номера строк для исходной матрицы — это номера столбцов для транспонированной, а номера столбцов исходной матрицы — суть номера строк транспонированной. Поэтому каждое слагаемое входит в состав определителя исходной матрицы и определителя транспонированной с одним и тем же множителем.

[свернуть]

Свойство $2$

Транспозиция (замена) двух строк (столбцов) матрицы — меняет знак определителя $$\det A = \begin{vmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ .&.&. \\ a_{i1} & … & a_{in} \\ a_{j1} & … & a_{jn} \\ .&.&. \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ .&.&. \\ a_{j1} & … & a_{jn}\\ a_{i1} & … & a_{in} \\ .&.&. \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{vmatrix}.$$

Доказательство

Действительно, по Теореме №$2$ о транспозиции — транспозиция меняет четность элементов перестановки. При перестановке двух строк, каждый элемент меняет знак, значит и сам определитель меняет знак.

[свернуть]

Свойство $3$

Умножение всей строки (столбца) на некий элемент $\alpha$ является аналогичным умножению всего определителя на этот элемент. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю: $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\alpha a_{i 1} & \alpha a_{i 2} & \cdots & \alpha a_{i j} & \cdots & \alpha a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}= \alpha \cdot\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i j} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}.$$

Доказательство

Пусть на $\alpha$ умножаются все элементы $i$-той строки. Каждый член определителя содержит $1$ элемент из этой строки, поэтому всякий член определителя приобретает общий множитель $\alpha$, а это значит что и сам определитель умножается на $\alpha$.

[свернуть]

Свойство $4$

Если все элементы $i$-той строки (столбца) матрицы определителя разбить в сумму двух строк: $$a_{i j}=b_{j}+c_{j}, \quad j=1, \ldots, n$$ то и саму матрицу можно будет разбить на две, у которых все строки (столбцы) кроме $i$-той — такие же как у первой матрицы, а $i$-тая строка состоит из $b_{j}$ в первой матрице определителя, и из элементов $c_{j}$ во втором.

Доказательство

Действительно, любой член матрицы определителя можно представить в виде произведения: $$\begin{aligned}a_{1 \alpha_{1}} a_{2 \alpha_{2}} \ldots a_{i \alpha_{i}} \ldots a_{n \alpha_{n}}&=a_{1 \alpha_{1}} a_{2 \alpha_{2}} \ldots\left(b_{\alpha_{i}}+c_{\alpha_{i}}\right)\ldots a_{n \alpha_{n}}=\\&=a_{1 \alpha_{1}} a_{2 \alpha_{2}} \ldots b_{\alpha_{i}} \ldots a_{n \alpha_{n}}+a_{1\alpha_{1}} a_{2 \alpha_{2}} \ldots c_{\alpha_{i}} \ldots a_{n\alpha_{n}}.\end{aligned}.$$ Объединяя первые слагаемые этого выражения, мы получим матрицу определителя, где в первой матрице в $i$-той строке вместо элементов $a_{i j}$ стоят элементы$b_{j} .$ Соответственно вторые слагаемые составляют матрицу определителя, с элементами $c_{j}$ таким образом: $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{1}+c_{1} & b_{2}+c_{2} & \dots & b_{n}+c_{n} \\a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n}\end{vmatrix}=$$$$=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots a_{1 n} \\b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \\a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\c_{1} & c_{2} &\dots & c_{n} \\a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n}\end{vmatrix}.$$

[свернуть]

Свойство $5$

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы есть произведение элементов ее главной диагонали $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3 n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}=a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot \ldots \cdot a_{n n}.$$

Доказательство

Действительно, так как определитель есть произведение одного из элементов строки (столбца) его матрицы, то у первого столбца единственным будет $a_{11}$, во втором столбце — $a_{22}$ т.к. у первой строки $a_{11}$, третьим элементом — только $a_{33}$, далее аналогично.

[свернуть]

Свойство $6$

Если в матрице определителя одна строка будет результатом ее сложения с другой строкой и умножения на число, определитель не изменится . $$\begin{vmatrix}a_{11}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ a_{i 1} & a_{i 2} & a_{i 3} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{j 1} & a_{j 2} & a_{j 3} & \cdots & a_{j n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=$$$$=\begin{vmatrix}a_{11}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & a_{i 3} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{k 1}+k a_{i 1} & a_{k 2}+k a_{i 2} & a_{k 3}+k a_{i 3} & \cdots & a_{k n}+k a_{i n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\cdot$$

Доказательство

Этот определитель можно представить в виде суммы определителей (по $4$ свойству), в итоге получится $2$ определителя, один из которых будет равен нулю, из-за равенства двух строк, а второй будет исходным.

[свернуть]

Пример $1$

Вычислить определитель $$\det A=\begin{vmatrix}6 & 1 & 6 \\12 & 2 & 12 \\9 & 2 & 5\end{vmatrix}.$$

Решение

Выносим $2$ из второй строки определителя: $$\det A = \begin{vmatrix}6 & 1 & 6 \\12 & 2 & 12 \\9 & 2 & 5\end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}6 & 1 & 6 \\6 & 1 & 6 \\9 & 2 & 5\end{vmatrix} = 0.$$ Видим что у определителя две равных строки соответственно определитель равен нулю

[свернуть]

Пример $2$

Вычислить определитель$$\det A =\begin{vmatrix}12& 5 & 1 & 5 & 19 \\0 & 8 & 2 & 12 & 9 \\0 & 0 & 4 & 27 & 41 \\0 & 0 & 0 & 5 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\end{vmatrix}$$

Решение

По пятому свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали: $$\det A=\begin{vmatrix}12& 5 & 1 & 5 & 19 \\0 & 8 & 2 & 12 & 9 \\0 & 0 & 4 & 27 & 41 \\0 & 0 & 0 & 5 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\end{vmatrix}=12\cdot8\cdot4\cdot5\cdot7=13440.$$

[свернуть]

Пример $3$

Проверьте, будет ли определитель транспонированной матрицы равен исходной:$$\begin{Vmatrix}3 & 3 & -1 \\4 & 1 & 3 \\1 & -2 & -2\end{Vmatrix}.$$

Решение

$$\begin{vmatrix}3 & 3 & -1 \\4 & 1 & 3 \\1 & -2 & -2 \end{vmatrix}=$$$$=(-6)-(-18)-(-24) + 8 + 9 — (-1)=54$$$$\begin{vmatrix}3 & 4 & 1 \\3 & 1 & -2 \\-1 & 3 & -2 \end{vmatrix}=(-6)-(-18)-(-24)+8+9- (-1)=54.$$ Действительно, определитель транспонированной матрицы равен исходной

[свернуть]

Пример 4

Вычислите определитель треугольной матрицы: $$\begin{Vmatrix}3 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 \\1 & -2 & -2 \end{Vmatrix}.$$

Решение

Воспользуемся пятым свойством: $$\begin{vmatrix}3 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 \\1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 3\cdot1\cdot-2 = -6$$

Пример $5$

Вычислите определитель: $$\begin{vmatrix}6 & 5 & 9 & 3 \\2 & 1 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 12 & 8 & 2 \end{vmatrix}.$$

Решение
[свернуть]

По $3$ свойству, матрица определителя, содержащая нулевую строку равна нулю. Ответ $\det A=0$

[свернуть]

Смотрите также

  1. Конспект Белозерова Г.С. по алгебре — Глава IV.
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, издание 9, глава 1, §4, «Определители n-го порядка»
  3. В.Воеводин Линейная алгебра М.: Наука, 1980, глава 7, §62, «Матрицы и определители» — стр 201

Свойства Определителей

Проверьте себя на знание материала «Свойства Определителей»