Отношение эквивалентности

Введение понятия «отношение эквивалентности»

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если отвечает условиям:

1. Рефлексивность: $a \sim a$, $\forall a \in A$;
2. Симметричность: $a \sim b$, то $b \sim a$, $\forall a,b \in A$;
3. Транзитивность: $a \sim b$ и $b \sim c$, то $a \sim c$, $\forall a,b,c \in A$.

Если $a$ связан с $b$, будем писать $a \sim b$ и говорить, что $a$ эквивалентен $b$.

Определение

Пусть $\rho$ — отношение эквивалентности, тогда подмножество $\overline{X}=\{y\in A\vert y\sim_{\rho}x\}$ называется классом эквивалентности.

Теорема

Любое отношения эквивалентности на множестве $A$ образует разбиение множества $A$ на классы эквивалентности. Обратно, любое разбиение множества $A$ задает на нем отношение эквивалентности.

Доказательство

Действительно, пусть $K_a$ — группа элементов из $A$ эквивалентных фиксированному элементу $a$. В силу рефлексивности $a \in K_a$.
Покажем, что для любых $K_a$ и $K_b$: $K_a = K_b$ или не имеют общих элементов.
Докажем методом «от противного».
Пусть $\exists c: c\in K_a$ и $c\in K_b$, т.е. $c \sim a$ и $c \sim b$, а в силу транзитивности $a \sim b$, и $b \sim a$. Тогда $\forall x \in K_a$, то $x \sim a$$\Rightarrow$$x \sim b$, т.е. $x \in K_b$. Таким образом, две группы, имеющие хотя бы $1$ общий элемент, полностью совпадают.
Мы получили разбиение на классы.
Докажем обратное.
Теперь пусть $(B_i)_{i\in I}$ — некоторое разбиение множества $A$. Рассмотрим отношение $\rho$, такое, что $x \sim_{\rho} y$ имеет место тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ принадлежат одному и тому же элементу $B_i$ данного разбиения:

$x \sim_{\rho} y \Leftrightarrow (\exists i \in I)(x \in B_i) \land (y \in B_i).$

Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрично. Если для любых $x$,$y$ и $z$ имеет место $x \sim_{\rho} y$ и $y \sim_{\rho} z$, то $x$, $y$ и $z$ в силу определения отношения $\rho$ принадлежат одному и тому же элементу $B_i$ разбиения. Следовательно, $x \sim_{\rho} z$ и отношение $\rho$ транзитивно. Таким образом, $\rho$ — эквивалентность на $A$.

Пример

Отношение равенства $=_\rho$ на множестве действительных чисел является отношением эквивалентности.
$\forall a \in R$: $a=a$ $\Rightarrow$ $=_\rho$ рефлексивно на множестве $R$;
$\forall a,b \in A$: $a=b$ и $b=a$ $\Rightarrow$ $=_\rho$ симметрично на множестве $R$;
$\forall a,b,c \in A$: $a=b$ и $b=c$, то $a=c$ $\Rightarrow$ $=_\rho$ транзитивно на множестве $R$.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест поможет определить как хорошо вы усвоили материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если отвечает условиям:

   • Рефлексивность
   • Антирефлексивность (иррефлексивность)
   • Симметричность
   • Антисимметричность
   • Транзитивность
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Можно ли разбить все страны на классы, помещая в один класс странны тогда и только тогда, когда они имеют общую границу?

   • Да
   • Нет
   • Невозможно определить
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Является ли, отношение «!=»(не равно) отношением эквивалентности?

   • Да
   • Нет
   • Невозможно определить
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Любое отношения эквивалентности на множестве $A$ образует _________ множества $A$ на классы эквивалентности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Напишите пропущенное слово:

   • Любое отношение эквивалентности на некотором множестве задает (разбиение) на этом множестве.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Конспект лекций С.В.Федоровского
2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994,стр 15-17
3. Отношения эквивалентности на множестве

Пусть $A$ и $B$ два конечных множества. Декартовым произведением множеств $A$ и $B$ называют множество $A\times B,$состоящее из всех упорядоченных пар, где $a\in A, b\in B.$

Бинарным отношением между элементами множества $A$ и $B$ называется любое подмножество $R$ множества $A\times B$, то есть $R\subset A\times B.$

По определению, бинарным отношением называется множество пар. Если R — бинарное отношение (т.е. множество пар), то говорят, что параметры $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$, если пара $\langle x,y \rangle$ является элементом R, т.е. $\langle x,y \rangle\in R.$

Высказывание: «предметы $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$» записывают в виде $xRy.$Таким образом, $xRy\leftrightarrow\langle x,y\rangle\in R.$

Если $R\subset A\times A$, то говорят, что бинарное отношение определено на множестве $A$.

Примеры бинарных отношений:

• на множестве целых чисел $Z$ отношения «делится», «делит», «равно», «больше», «меньше», «взаимно просты»;
• на множестве прямых пространства отношения «параллельны», «взаимно перпендикулярны», «скрещиваются», «пересекаются», «совпадают»;
• на множестве окружностей плоскости «пересекаются», «касаются», «концентричны».

Областью определения бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $x$, для которых $\langle x,y \rangle\in R$ хотя бы для одного $y$.
Область определения бинарного отношения будем обозначать $\Re R$.
$\Re R=\{ x|\exists y(\langle x,y\rangle\in R)\}$
Областью значений бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $y$, для которых $\langle x,y \rangle\in R$ хотя бы для одного $x$.
Область значений бинарного отношения будем обозначать $\Im R$
$\Im R=\{ y|\exists x(\langle x,y\rangle\in R)\}$

Инверсия (обратное отношение) $R$ — это множество $\{\langle x,y\rangle |\langle y,x\rangle\in R\}$ и обозначается, как ${R}^{-1}.$

Композиция (суперпозиция) бинарных отношений $R$ и $S$ — это множество $\{\langle x,y\rangle |\exists z\langle xSz\wedge zRy\rangle\}$ и обозначается, как $R\circ S$.

Свойства бинарных отношений

Бинарное отношение $R$ на некотором множестве $M$ может обладать различными свойствами, например:

• Рефлексивность: $\forall x\in M(xRx)$
• Антирефлексивность (иррефлексивность): $\forall x\in M\neg (xRx)$
• Корефлексивность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow x=y)$
• Симметричность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow yRx)$
• Антисимметричность: $\forall x,y\in M(xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y)$
• Асимметричность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow\neg (yRx))$. Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.
• Транзитивность: $\forall x,y,z\in M(xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz)$
• Связность: $\forall x,y\in M(x\neq y\Rightarrow xRy\lor yRx)$

Виды отношений

• Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка
• Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности
• Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка
• Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка
• Полное антисимметричное (для любых $x, y$ выполняется $xRy$ или $yRx$) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка

Операции над отношениями

Над бинарными отношениями можно производить некоторые операции, точно так же, как и над множествами. Не ограничивая общности, будем считать, что следующие операции выполняются на множестве $M$.

• Пересечение. Пересечением двух бинарных отношений ($A$и $B$) является отношение, которое определяется пересечением соответствующих подмножеств. Очевидно, что отношение $A\cap B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны как первым, так и вторым отношением ($xAy$ и $xBy$).

  Например, пересечением отношения «не меньше» и «не равно» является отношение «больше».
  $xAy\Leftrightarrow x\geq y, xBy\Leftrightarrow x\neq y$, тогда $A\cap B\Leftrightarrow x>y$

• Объединение. Объединением двух бинарных отношений ($A$ и $B$) является отношение, которое определяется объединением соответствующих подмножеств. Отношение $A\cup B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны хотя бы одним из двух отношений хотя бы одно из отношений ($xAy$ или $xBy$).

  Например, объединением отношения «больше» и отношения «равно» является отношение «больше, либо равно».

• Включение. Обозначается $A\subseteq B$. Первое отношение включено во второе, если все те пары, для которых выполняется первое отношение, являются подмножеством пар, для которых выполняется второе отношение. Если $A\subseteq B$, то $A\neq B$. Если $A\subseteq B$, то, когда любые два элемента из множества, на котором выполняется отношение $A$, связаны этим отношением, они связаны отношением $B$.

Очевидно, для любого отношения $A \varnothing\subseteq A\subseteq U$, где $\varnothing$ — пустое, а $U$- полное отношение.

Графическое представление бинарных отношений

Приведём в пример два графических представления бинарных отношений на множстве $X = \{a, b, c, d, e\}.$
Первый способ тесно связан с аналитической геометрией. Пусть дана пара взаимно перпендикулярных осей ($Ox$ и $Oy$). На каждой оси нужно отметить точки которые являются элементами множества $X$.
Будем считать, что $a, b, c, d, e$ — координаты точек на горизонтальной и вертикальной осях. Теперь отметим на плоскости точки с координатами $(x, y)$. На рисунке изображена совокупность точек, соответствующих следующему отношению: $R=\{(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)\}.$


Следующий способ, который мы рассмотрим, заключается в использовании ориентированных графов. Элементы множества $X$ становятся вершинами графа, а элементы $\langle x,y\rangle$ отношения $R$ ребрами, которые соединяют первый член $x$ отношения со вторым членом $y$. Граф, соответствующий бинарному отношению $R$, изображен на рисунке.


Задача

Бинарное отношение $R$ задано на множестве $A=\{1,2,3,4\}$, определить его свойства.
$R=\{(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(2,4)\}$


Спойлер
Проверим все свойства отношения:
• Рефлексивность
  $(\forall x\in A)\langle x,x\rangle\in R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: $x=3$, пара $\langle 3,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является рефлексивным.
• Антирефлексивность
  $(\forall x\in A)\langle x,x\rangle\notin R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: $x=1$, пара $\langle 1,1\rangle$ принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является антирефлексивным.
• Корефлексивность
  $(\forall x,y\in A)\langle x,y\rangle\notin R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: $x=1,y=2$, пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству $R$, но $x\neq y$. Бинарное отношение не является антирефлексивным.
• Симметричность
  $\forall x,y\in A (\langle x,y\rangle\in R): \langle y,x\rangle\in R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример, $x=1,y=2$ пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $\langle 2,1\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является симметричным.
• Антисимметричность
  $\forall x,y\in A(xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y)$ – это истинное высказывание
  Контрпример подобрать невозможно. Бинарное отношение является антисимметричным.
• Асимметричность
  Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения и отношение не является антирефлексивным, отношение не является асимметричным.
• Транзитивность
  $\forall x,y,z\in A(xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz)$– это ложное высказывание.
  Можно привести контр пример, $x=1,y=2,z=3$ пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству R и пара $\langle 2,3\rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $\langle 1,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является транзитивным.
• Связность
  $\forall x,y\in A(x\neq y\Rightarrow xRy\lor yRx)$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример, $x=3,y=4$, $3\neq 4$ пара $\langle 3,4\rangle$ не принадлежит множеству $R$ и пара $\langle 4,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является связанным.
Вывод: заданное бинарное отношение обладает только одним свойством антисимметричности.
[свернуть]

Источники:

• Галушкина, Марьямов, «Задачи и упражнения по дискретной математике», 2007 г., стр.51
• С.В.Федоровский.Конспект лекций по математической логике
• Кострикин А.В. , «Введение в алгебру», 1977, стр.134
• А.И. Мальцев, «Алгебраические системы», 1970, стр.16-19

Бинарные отношения

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Вопросы для закрепления пройденного материала

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Пусть $A={1}$.Запишите хотя бы один элемент декартового произведения $A\times A$ как пару чисел, разделённых запятой. Например: $8,9.$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Бинарное отношение $xRy\leftrightarrow x^2=y^2$ определено на множестве действительных чисел $R$. Какими свойствами из приведенных ниже оно обладает?

   • Рефлексивность
   • Антирефлексивность
   • Симметричность
   • Антисимметричность
   • Связность
   • Транзитивность
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Для бинарного отношения $R$ множество, состоящее из таких $x$, для которых $\langle x,y\rangle\in R$ хотя бы для одного $y$ называется

   • (областью определения)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Таблица лучших: Бинарные отношения

максимум из 15 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных