Задача 1

Пирамида

$ABCD$ задана координатами своих вершин:

$A(4,-1,~0)$ ,

$B(2,~3,~4)$ ,

$C(-1,~4,~1)$ ,

$D(4,-3,~5)$ . Найти:

объем пирамиды;

площадь грани

$ABC$ .

Спойлер

Найдем координаты векторов:

$\overline{AB}=(x_B-x_A,~y_B-y_A,~z_B-z_A)$ $=$ $(2-4,~3-(-1),~4-0)$ $=$ $(-2, ~4, ~4)$ .
$\overline{AC}=(x_C-x_A,~y_C-y_A,~z_C-z_A)$ $=$ $(-1-4,~4-(-1),~1-0)$ $=$ $(-5,-3, ~1)$ .
$\overline{AD}=(x_D-x_A,~y_D-y_A,~z_D-z_A)$ $=$ $(4-4,-3-(-1),~5-0)$ $=$ $(0,-2, ~5)$ .

Вычислим смешанное произведение:

$(\overline{AB},~\overline{AC},~\overline{AD})$ $=$ $\begin{vmatrix} -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix}$ $=$ $-2 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix}$ $=$ $-2(-15+2)+5(20+8)$ = $166$ .

Найдем объем пирамиды по формуле:

$V_{ABCD}$ $=$ $\frac{1}{6} |(\overline{AB},Ё\overline{AC}, \overline{AD})|$ $=$ $\frac{1}{6} \cdot 166$ $=$ $\frac{166}{6} \approx 27,7$ (куб.ед.).

Найдем векторное произведение:

$[\overline{AB},\overline{AC}]$ = $\begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \end{vmatrix}$ $=$ $\overline{i} \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} -\overline{j} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & 1 \end{vmatrix} + \overline{k} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & -3 \end{vmatrix}$ $=$ $\overline{i}(4+12) — \overline{j}(-2+20) + \overline{k}(6+20)$ $=$ $16 \overline{i} — 18 \overline{j} + 26\overline{k}$ = $(16,-18,~26)$ .

Найдем площадь плоскости $\mathbf{(ABC)}$ :

$S_{(ABC)} = \frac{1}{2} |[\overline{AB},~\overline{AC}]|$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{16^2+(-18)^2+26^2}$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{1256}$ $\approx$ $\frac{1}{2} \cdot 35,4$ $=$ $17,7$ .

Ответ: $\mathbf{27,7}$ куб.ед., $\mathbf{17,7}$ .

[свернуть]

Задача 2

Найти объем пирамиды, у которой три грани принадлежат плоскостям

$XOY,~XOZ,~YOZ$ , четвертая проходит через плоскость

$P=4x+6y+3z-12=0$ , и имеет вершину в точке

$O(0,~0,~0)$ .

Спойлер

Найдем точки пересечения плоскости $\mathbf{P}$ с осями координат.

Это точки $A(3,~0,~0)$ , $B(0,~2,~0)$ и $C(0,~0,~4)$ .

Найдем векторы $\mathbf{\overline{AB}}$ и $\mathbf{\overline{AC}}$ .

$\overline{AB} = (-3,~2,~0)$ ;
$\overline{AC} = (-3,~0,~4)$ .

Найдем площадь основания:

$S_{(ABC)}=\frac{1}{2} |[\overline{AB},\overline{AC}]|$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}^2}$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{8^2+12^2+6^2}$ $=$ $\frac{1}{2} \sqrt{16+144+36}$ $=$ $\sqrt{61}$ .

Найдем расстояние от точки $\mathbf{O}$ до плоскости $\mathbf{P}$ :

$\rho(O,~P) = \frac{|Ax_O+By_O+Cy_O+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ $=$ $\frac{12}{\sqrt{16+36+9}}$ $=$ $\frac{12}{\sqrt{61}}$ .

Расстояние от точки $O$ до плоскости $P$ является высотой $h$ пирамиды, опущенной из ее вершины на основание.

Найдем объем пирамиды:

$V=\frac{1}{3} S \cdot h$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{61} \cdot \frac{12}{\sqrt{61}}$ $=$ $4$ .

Ответ: $\mathbf{4}$ .

[свернуть]

Параметрическое задание

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые $x=a, x=b$ , ось абсцисс и параметрически заданная кривая

$\left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right.$

Причем: функции $x$ и $y$ непрерывны на интервале $[a,b]$ , $a<b$ ; $x=\varphi (t)$ монотонно возрастает на этом интервале и $\varphi (\alpha )=a, \psi (\beta )=b$ .

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле $S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt$

Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции $S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt$ подстановкой: $S(G)=\int\limits_\alpha^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt$

Если функция является монотонно убывающей на интервале $[\beta ,\alpha], \beta < \alpha$ , то формула примет следующий вид: $S(G)=-\int\limits_{\beta }^{\alpha }\psi (t)*\varphi ‘(t)dt$

Что делать, если нам дана не криволинейная трапеция? Свести данную фигуру к ней. Поделить её на части (прямыми, параллельными абсциссе и ординате), площадь которых уже можно будет посчитать описанным выше способом.

Примеры:

Спойлер

Дан эллипс $\left\{\begin{matrix} x=2\cos t\\y=3\sin t \end{matrix}\right.$ . Посчитать его площадь.

Делим эллипс абсциссой и ординатой на 4 симметричные части.

Очевидно, их площади равны — а площадь эллипса получается равной площади верхней правой четверти, умноженной на 4.

Считаем её. Она равна
$-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}3\sin t*(2\cos )’ dt=$ $6\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{2}t dt=$ $3\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 2t)dt=$ $\frac{3\pi }{2}$

Умножаем площадь одной четверти на 4, и:

Ответ — $6\pi$

[свернуть]

Спойлер

Дана линия,заданная функциями $x=2t-t^2$ и $y=2t^2-t^3.$
Найти площадь ограниченной ею и осью ОХ фигуры.
Находим производную $y'$ , она равна $(2t^2-t^3)’=4t-3t^3$ .
Находим $t$ , при которых наша линия пересекается с осью $OX$ . Это $t=0$ и $t=2$ . Составляем формулу площади:

$S=\int\limits_{0}^{2}(2t-t^2)(4t-3t^2)dt$ ;

$S=\int\limits_{0}^{2}(3t^4-10t^3+8t^2)dt$ ;

$S=\frac{3t^5}{5}-\frac{5t^4}{2}+\frac{8t^3}{3}|^2_0$ ;

$S=\frac{8}{15}$ ;
Ответ — $\frac{8}{15}$ .

[свернуть]

Полярное задание

А что, если функции, ограничивающие нашу область, заданы полярно?
Есть простая формула: $S=\frac{1}{2} \int\limits_{\alpha }^{\beta }r^{2}d\varphi$ Здесь $\alpha$ и $\beta$ — значения углов, ограничивающих фигуру, $r$ — расстояние от начала координат до точки, $\varphi$ — угол. Уравнение функции в полярных координатах — $r=f(\varphi )$

Помните: в полярных координатах тоже стоит делить область на простые части.

Пример:

Спойлер

Найдём площадь круга. Задан уравнением $r=a$ .

Площадь круга в первом квадранте — $S=\frac{1}{2} \int\limits_{0 }^{\frac{\pi }{2} }a^{2}d\varphi$

Преобразуем этот интеграл:

$S=\frac{1}{2}*\frac{\pi }{2}*a^{2}=\frac{\pi a^{2}}{4}$ .

Площадь всего круга — учетверённая площадь одной четверти, которую мы и подсчитали выше.

$S= \pi a^{2}$

[свернуть]

Источники:

Тест

Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

В этом тесте предоставлены упражнения по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить эти задания.

Задание 1 из 3

1.
По какой формуле находится площадь криволинейной трапеции?
- $S(G)=-\int\limits_{\alpha }^{\beta }\psi (t)*\varphi '(t)dt$
- $S(G)=\int\limits_{\beta }^{\alpha }\psi (t)*\varphi '(t)dt$
- $S(G)=\int\limits_{\alpha }^{\beta }\psi (t)*\varphi '(t)dt$
- ни один из вариантов не является правильным
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
При решении задач на вычисление площади плоской области, заданной параметрически, удобно придерживаться следующего порядка:
- - построить в декартовых координатах фигуру, площадь которой требуется найти;
- - найти точки пересечения кривых, образующих границу области для определения пределов интегрирования;
- - записать формулу для вычисления и найти площадь.
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Вычислить площадь фигуры ограниченной эллипсом $\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$
- $\pi ab$
- $ab$
- $\frac{1}{2}\pi ab$
- ни один из вариантов не является правильным
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

максимум из 14 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: площадь

Вычисление площадей и объемов

Задача 1

Задача 2

Список использованной литературы:

Вычисления площадей плоских областей, ограниченных кривыми, заданными параметрически и в полярных координатах

Параметрическое задание

Примеры:

Полярное задание

Пример:

Источники:

Тест

Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

Средний результат
Ваш результат