Поле

Понятие поля:

Коммутативное кольцо P , в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Так как любое поле является кольцом, следовательно операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями, им присущи данные свойства:

  1. Всюду определенность;
  2. Однозначность;
  3. Замкнутость;

we

Rew

Также эти операции из-за того что это поле будут иметь следующие свойства:

  1. Для любых ab, c относительно операции + выполняются следующие свойства:
    • сложение коммутативно, a+b=b+a,
    • сложение ассоциативно, a+(b+c)=(a+b)+c,
    • существует единственный нулевой элемент 0 такой, что a+0=a для любого элемента a,
    • для каждого элемента a существует единственный противоположный элемент — a такой, что a+(-a)=0.
  2. Для любых a, b, c относительно операции * выполняются следующие свойства:
    • умножение коммутативно, ab=ba,
    • умножение ассоциативно, a(bc)=(ab)c,
    • существует единственный единичный элемент 1 такой, что a\times 1=1\times a=a для любого элемента a,
    • для каждого ненулевого элемента a существует единственный обратный элемент a^{-1} такой, что aa^{-1}=a^{-1}a=1.
  3. Операции сложения и умножения связаны между собой следующим соотношением: умножение дистрибутивно относительно сложения, (a+b)c=ac+bc.

Примеры полей:

  1. Рациональные числа;
  2. Вещественные числа;
  3. Комплексные числа;
  4. Поле вычетов по модулю p, p простое число;

Список использованной литературы:

  1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974, ст. 28-29.
  2. Конспект лекций Белозерова Г.С.

Поле

Данный тест предназначен для проверки знаний по данной теме.

Построение поля комплексных чисел

Спойлер

Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.

Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.

В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву «i» (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.

[свернуть]

Спойлер

Множеством комплексных чисел называется множество \mathbb{R}^2 при условии выполнения следующих требований:

  1. (a,b)=(c,d) \Leftrightarrow a=c и b=d ;
  2. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ;
  3. (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) .

[свернуть]
Расширение числовых множества Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение x^2+1=0 не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

  1. \mathbb{C} — поле;
  2. \mathbb{R} \subset \mathbb{C} ;
  3. x^2+1=0 — разрешимо в \mathbb{C} (1);
  4. \mathbb{C} минимально по включениям.
Спойлер

\mathbf{I.} \mathbf{(\mathbb{C},+)} — абелева группа.

(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b) ;

  • Нейтральный элемент:

(0,0)+(a,b)=(a,b) ;

  • Обратный элемент:

\forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}  \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C}

(a,b)+(-a,-b)=(0,0) ;

\mathbf{II.} \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)} — абелева группа.

  • Алгебраичность умножения;
  • Ассоциативность умножения;
  • Коммутативность умножения;
  • Единица:  e=(1,0)

\exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C} , \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}

(a,b)(x,y)=(a,b) \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b)

\begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases}

Рассмотрим возможные решения системы:

1) a\neq0,~b\neq0

\begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases}

(a^2+b^2)x=a^2+b^2 \Rightarrow x=1,~y=0 .

2) a\neq0,~b=0

\begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases}

x=1,~y=0 .

3) a=0,~b\neq0 \Rightarrow x=1,~y=0 .

Следовательно, e=(1,0) .

  • Обратный элемент:

\forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*} \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*} :

(a,b)(x,y)=(1,0)

(ax-by,bx+ay)=(1,0)

\begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases}

Домножим первое уравнение системы на a , а второе — на b , a\neq0,~b\neq0 .

\begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases}
(a^2+b^2)x = a \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2} .

\frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1 \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2} .

(a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}) .

\mathbf{III.} Дистрибутивность.

Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
(a,b)[(c,d)+(e,f)] = (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f).

\blacksquare

[свернуть]

Спойлер

Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.

M \subset \mathbb{C} , M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\} = \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\} .

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида (a,0) ), где x  является  реальной частью комплексного числа, и их свойства:

  • (a,0)+(b,0) = (a+b,0) \epsilon~M ;
  • (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0) \epsilon~M ;
  • (0,0)~\epsilon~M , (1,0)~\epsilon~M ;
  • -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M ;
  • (a,0)^{-1},~a\neq0 , (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M .

Таким образом, f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M

f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R} .

a \to (a,0). Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.

\blacksquare

[свернуть]

Спойлер

x^2+1=0 . Обозначим 0 = (0,0) , 1 = (1,0) и x = (u,v) \Rightarrow

(u,v)^2+(1,0)=(1,0)

(u^2-v^2,2uv)=(0,0)

Решим систему уравнений на основе этого выражения:

\begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases}

v\neq0,~u=0 ,

v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1),

Следовательно, возможные решения уравнения — (0,1),~(0,-1) .

i=(0,1),~-i=(0,-1) — мнимая единица i .

\blacksquare

[свернуть]

Спойлер

Любое подмножество \mathbb{C'} множества \mathbb{C} совпадает с \mathbb{C} , если для \mathbb{C'} выполнимо:

    • \mathbb{R}\subset\mathbb{C'} ;
    • разрешимо уравнение x^2+1=0 ;
    • \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C'} , (a+b)~\epsilon~\mathbb{C'} ;
    • a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C'} .

\blacksquare

[свернуть]

Список источников:

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.

Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля.

Группа

Множество G с бинарной алгебраической операцией \ast называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция \ast в G ассоциативна: a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c \forall a,b,c\in G;
  2. В G существует нейтральный элемент \theta :a\ast\theta=\theta\ast a=a \forall a\in G;
  3. Для каждого элемента a\in G существует обратный ему элемент a^{-1}\in G: a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta .

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

Спойлер

  1. Ассоциативность очевидна
    \forall a,b,c\in R a+(b+c)=(a+b)+c
  2. Нейтральным элементом является число 0.
     0+a=a+0=a \forall a\in r
  3. Для каждого элемента множества R существует обратные ему элемент, также принадлежащий множеству R .
     a^{-1}=-a
    \forall a\in R a+(-a)=(-a)+a=\theta=0

\Rightarrow R является группой относительно операции сложения.
Проверим коммутативность:
 \forall a,b\in R a+b=b+aверно.
\RightarrowГруппа абелева.
Что и требовалось доказать

[свернуть]

Кольцо

Множество K , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение \cdot, называется кольцом, если выполняются следующие условия:

  1. Относительно операции сложения множество K — коммутативная группа, т.е:
    1. Операция сложения коммутативна: a+b=b+a \forall a,b\in K;
    2. Операция сложения ассоциативна: a+(b+c)=(a+b)+c \forall a,b,c\in K;
    3. Существует нулевой элемент \theta: a+\theta =\theta +a=a \forall a\in K;
    4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент (-a)\in K: a+(-a)=(-a)+a=\theta;
  2. Операция умножения в множестве K ассоциативна:
    a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c  \forall a,b,c\in K
  3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
    (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c  c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b  \forall a,b,c\in K

Если операция умножения коммутативна:a\cdot b=b\cdot a, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент e: a\cdot e=e\cdot a=a, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

Спойлер

    1. Коммутативность сложения
       (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i=(c+di)+(a+bi)  \forall (a+bi),(c+di)\in C
    2. Ассоциативность сложения
       ((a+bi)+(c+di))+(e+fi)=((a+c)+(b+d)i)+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+((c+e)+(d+f)i)=(a+bi)+((c+di)+(e+fi))  \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C
    3. Существование нейтрального элемента
       \forall (a+bi)\in C  (a+bi)+(0+0i)=(a+bi)
    4. Существование обратного элемента
       \forall (a+bi)\in C \exists (-a-bi)\in C:<br /> (a+bi)+(-a-bi)=(0+0i)
  1. Ассоциативность умножения
     \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C<br /> (a+bi)\cdot ((c+di)\cdot (e+fi))=(a+bi)\cdot ((ce-df)+(cf+de)i)=(a\cdot (ce-df)-b\cdot (cf+de))+(a\cdot (cf+de)+b\cdot (ce-df))i)=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)i=(e\cdot (ac-bd)-f\cdot (ad+bc))+(e\cdot (ad+bc)+ f\cdot (ac-bd))=((a+bi)\cdot (c+di))\cdot (e+fi)
  2. Дистрибутивность сложения и умножения
     \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C<br /> ((a+bi)+(c+di))\cdot (e+fi)=((a+c)+(b+d)i)\cdot (e+fi)=((a+c)e-(b+d)f)+((a+c)f+(b+d)e)i)=(ae+ce-bf-df)+(af+cf+be+de)i=(ae-bf)+(be+af)i+(ce-df)+(cf+de)i=(a+bi)\cdot (e+fi)+(c+di)\cdot (e+fi)

Множество комплексных чисел является кольцом

[свернуть]

Поле

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. \forall a,b\in P, где a\neq 0, уравнение ax = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq = b.

2. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных