Метка: равенство множеств

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 1 выпуск)

Условие

Найдите все функции $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что

$$f \left (x-f \left (y \right ) \right ) =f \left (f \left (y \right ) \right ) +xf \left (y \right ) +f \left (x \right ) -1$$ для всех $x,y \in \mathbb{R}$.

Решение

Пусть $A$ — множество значений функции $f$ и $c=f \left (0 \right )$. Положив $x=y=0$, мы получим

$$f \left (-c \right ) =f \left (c \right ) +c-1,$$ поэтому $c \neq 0$. Легко найти сужение функции $f$ на множество $A$: взяв $x = f \left (y \right )$, получим $$\begin{equation}\label{eq:first} f \left (x \right ) = \frac{c+1}{2}-\frac{x^2}{2} \end{equation}$$ для всех $x$ из $A$.
Основной шаг доказательства состоит в том, чтобы показать, что множество разностей $x-y$, где $x, y \in A$, есть все множество $\mathbb{R}$. Для $y=0$ мы имеем $$\left \{ f \left (x-c \right ) -f \left (x \right ) \mid x \in \mathbb{R} \right \} = \left \{ cx+f \left (c \right ) -1 \mid x \in \mathbb{R} \right \} =\mathbb{R},$$ поскольку $c \neq 0$.
Теперь мы можем получить значение $f \left (x \right )$ для произвольного $x$: если мы выберем $y_1, y_2 \in A$ такие, что $x = y_1-y_2$, и используем $\left (1 \right )$, то мы получим $$f \left (x \right ) =f \left (y_1-y_2 \right ) =\\ =f \left (y_2 \right ) +y_1y_2+f \left (y_1 \right ) -1= \frac{c+1}{2}-\frac{y_2^2}{2} +y_1y_2+\\ \begin{align} + \frac{c+1}{2}-\frac{y_1^2}{2} -1=c- \frac{\left (y_1-y_2 \right ) ^2}{2} =c- \frac{x^2}{2}. \end{align}$$ Сравнивая $\left (1 \right )$ и $\left (2 \right )$, мы получим $c = 1$, и поэтому $$f \left (x \right ) =1- \frac{x^2}{2}$$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Мы получили единственную функцию, которая удовлетворяет функциональному уравнению задачи.