Проверим ЛНЗ системы $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$: $$\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\2 & 3 & 3\\3 & 7 & 1\end{vmatrix} = 3+18+14-9-21-4=1 \ne 0 \Rightarrow $$ $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$ — ЛНЗ $\Rightarrow$ базис в $\mathbb{R}^3$.
Проверим ЛНЗ системы $\langle e’_1,e’_2,e’_3 \rangle$: $$\begin{vmatrix}3 & 1 & 4\\5 & 2 & 1\\1 & 1 & -6\end{vmatrix} = -36+1+20-8-3+30=4 \ne 0 \Rightarrow$$ $\langle e’_1,e’_2,e’_3 \rangle$ — ЛНЗ $\Rightarrow$ базис в $\mathbb{R}^3$.
Построим матрицу перехода $\Gamma_{E \to E’}$:
Построим линейную комбинацию для каждого вектора из базиса $E’$:
$$\left\{\begin{matrix}\alpha_{11}e_{1} & + & \alpha_{21}e_{2} & + & \alpha_{31}e_{3} & = & e’_{1}\\ \alpha_{12}e_{1} & + & \alpha_{22}e_{2} & + & \alpha_{32}e_{3} & = & e’_{2}\\ \alpha_{13}e_{1} & + & \alpha_{23}e_{2} & + & \alpha_{33}e_{3} & = & e’_{3} \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{11}(1, 2, 1) & + & \alpha_{21}(2, 3, 3) & + & \alpha_{31}(3, 7, 1) & = & (3, 1, 4)\\ \alpha_{12}(1, 2, 1) & + & \alpha_{22}(2, 3, 3) & + & \alpha_{32}(3, 7, 1) & = & (5, 2, 1)\\ \alpha_{13}(1, 2, 1) & + & \alpha_{23}(2, 3, 3) & + & \alpha_{33}(3, 7, 1) & = & (1, 1, -6) \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{11} & + & 2\alpha_{21} & + & 3\alpha_{31} & = & 3\\ 2\alpha_{11} & + & 3\alpha_{21} & + & 7\alpha_{31} & = & 1\\ \alpha_{11} & + & 3\alpha_{21} & + & \alpha_{31} & = & 4 \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix}\alpha_{12} & + & 2\alpha_{22} & + & 3\alpha_{32} & = & 5\\ 2\alpha_{12} & + & 3\alpha_{22} & + & 7\alpha_{32} & = & 2\\ \alpha_{12} & + & 3\alpha_{22} & + & \alpha_{32} & = & 1 \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{13} & + & 2\alpha_{23} & + & 3\alpha_{33} & = & 1\\ 2\alpha_{13} & + & 3\alpha_{23} & + & 7\alpha_{33} & = & 1\\ \alpha_{13} & + & 3\alpha_{23} & + & \alpha_{33} & = & -6 \end{matrix}\right.$$ Решаем систему методом Гаусса и находим координаты векторов в новом базисе: $\left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 7 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 4 & 1 & -6 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 & -8 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -4 & -7 \end{array}\right)\sim $
$\left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 & -8 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -4 & -12 & -8 \end{array}\right)$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{31} & = & 4\\ \alpha_{21} & = & 9\\ \alpha_{11} & = & -27 \end{matrix}\right. \Rightarrow\ e’_{1}=(-27, 9, 4)$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{32} & = & 12\\ \alpha_{22} & = & 20\\ \alpha_{12} & = & -71 \end{matrix}\right.\Rightarrow\ e’_{2}=(-71, 20, 12)$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{33} & = & 8\\ \alpha_{23} & = & 9\\ \alpha_{13} & = & -41 \end{matrix}\right. \Rightarrow\ e’_{3}=(-41, 9, 8)$$ $$\Gamma_{E \to E’}=\left(\begin{matrix}-27 & -71 & 41 \\ 9 & 20 & 9 \\ 4 & 12 & 8 \end{matrix}\right)$$
$x_{1}=-27x’_{1}-71x’_{2}-41x’_{3}$,
$x_{2}=9x’_{1}+20x’_{2}+9x’_{3}$,
$x_{3}=4x’_{1}+12x’_{2}+8x’_{3}$.
[свернуть]