формула Муавра

Формула Муавра

Допустим $z=r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)$ и $n$ принадлежит множеству целых чисел. Тогда можно считать, что $z^{n}=r^{n}\cdot\left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right).$

Пусть $n=2,$ где $n\in \mathbb {Z}$ — база индукции. Тогда

$z^{2}=r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\cdot r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)=r^{2}(\cos\left(2\phi\right)+i\sin\left(2\phi\right)).$ Допустим, что теорема верна

$\forall n\leqslant m, m\leqslant2$ и докажем, что она так же верна и для

$n=m+1.$ Тогда

$z^{m+1}=z^{m}\cdot z=r^{m}(\cos\left(m\phi\right)+i\sin\left(m\phi\right))\cdot r\cdot(\cos\phi+i\sin\phi)=$

$=r^{m+1}(\cos\left(m+1\right)\phi+i\sin\left(m+1\right)\phi).$ Для

$n=1$ формула простая, а если

$n=0,$ то

$z=1,$ то есть

$z^{0}=r^{0}\left(\cos\left(0\phi\right)+i\sin\left(0\phi\right)\right)=1\left(\cos0+i\sin0\right)=1.$ Следовательно, теорема справедлива

$\forall n\geqslant0.$ Докажем, что она так же справедлива

$\forall n\lt0.$ Тогда

$z^{-n}=\dfrac{1}{z^{n}}=\dfrac{1}{\left(r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\right)^{n}}=$

$=\dfrac{1}{r^{n}\left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right)}=r^{-n}\dfrac{cos\left(n\phi\right)-i\sin\left(n\phi\right)}{\cos\left(n\phi\right)^{2}+\sin\left(n\phi\right)^{2}}=$

$=r^{-1}\dfrac{\cos\left(-n\phi\right)+i\sin\left(-n\phi\right)}{1}=r^{-n}\left(\cos\left(-n\phi\right)+i\sin\left(-n\phi\right)\right).$ Теорема доказана.

$\left|z^{n} \right|=\left|z \right|^{n} \forall n\in \mathbb {Z},$ $Arg\left(z^{n}\right)=n\cdot Arg\left(z\right)+2\pi k, k\in \mathbb {Z}, \forall n\in \mathbb {Z}.$

Примеры

Рассмотрим несколько примеров с использованием формулы Муавра.

Вычислить $\sqrt[5]{\dfrac{\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}}{i^{1323}}}.$

Решение

Найдём сначала $r$ для $\left(-1+i\right)^{3}$ :
$r=\sqrt{\left(-1\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.$ Теперь найдём аргумент $z$ для $\left(-1+i\right)^{3}.$ Для этого нужно найти угол $\alpha :$
$\tan\alpha=1, \alpha=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z.$ Так как $\sin\alpha \lt0$ и $\cos\alpha \lt0,$ то $\alpha=\dfrac{3\pi}{4}.$
Теперь найдём $r$ и $z$ для $\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}:$
$r=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2.$ Найдём $z:$

$\tan\beta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \beta=\dfrac{\pi}{6}+s\pi, s\in Z.$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$
$\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}=\left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)\right)+i\sin\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)=$
$=\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12},$
$i^{1323}=-i.$ По формуле $\dfrac{\phi+2\pi k}{n},$ где $n=5,$ $k=\overline{0, 4}$ получаем:
$w_{0}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)\right)=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{60}\right)+\right.$
$\left.+i\sin\left(\dfrac{\pi}{60}\right)\right),$
$w_{1}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)\right)=$
$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)\right),$
$w_{2}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)\right)=$
$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)\right),$
$w_{3}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)\right)=$
$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)\right),$
$w_{4}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)\right)=$
$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)\right).$
Вычислить $\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}.$

Решение

$\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \alpha=\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in Z.$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$
$\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}=\left(2\left(\cos{\dfrac{\pi}{6}}+i\sin{\dfrac{\pi}{6}}\right)\right)^{2020}=$
$=2^{2020}\left(\cos\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)+i\sin\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)\right)=$
$=2^{2020}\left(cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=2^{2020}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Смотрите также

А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 201-202).
Личный конспект, основанный на лекциях Г. С. Белозёрова.

Формула Муавра

Проверим как Вы усвоили материал.

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Верно ли $z^{n}=r^{n}\cdot(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))$ , если $n\in\mathbb {R}?$
- Да.
- Нет.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Чему будет равно $\left(3 + \sqrt{3}\right)^{1939}?$
- $\left(\sqrt{3}\right)^{1939}\left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
- $\left(2\sqrt{3}\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)$
- $\left(2\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
- $\left(2\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 5

3.

Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра

Подставьте к каждому примеру его решение.

Элементы сортировки

$64$
$4\left(\cos{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}+i\sin{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\right)$
$8\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$
$4\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\left(1+\sqrt{3}i\right)^{6}$

$\left(\sqrt{3}+i\right)^{2}$

$\left(\sqrt{3}+i\right)^{3}$

$\left(1+\sqrt{3}i\right)^{2}$

Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Впишите правильный ответ к примеру $\left(1+\sqrt{3}i\right)^{3}.$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Справедлива ли формула Муавра для всех $n \lt 0?$
Правильно

Неправильно

Извлечение корней из комплексных чисел

Корень степени $n$ из комплексного числа

Пусть $z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right ).$ Тогда называется комплексное число $w$ , для которого верно равенство $w^n=z.$

Легко заметить, что при $z=0 \Rightarrow w=0.$ Поэтому предположим, что $z \neq 0$
Пусть $w=\rho \left ( \cos\psi + i\sin\psi \right ),$ чему тогда равны $\rho,\:\psi?$

Распишем равенство $w^n=z,\:z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right )$

$\left ( \rho \left ( \cos\psi +i\sin\psi \right ) \right )^n=r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$ Воспользуемся формулой Муавра:

$\rho^n \left ( \cos n \psi +i\sin n \psi \right ) =r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$ Из равенства комплексных чисел следует равенство их аргументов и модулей.

$\rho = \sqrt[n]{r}$

$\psi =\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n},\:k=0,1,..,n-1$ Тогда:

$w_k=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )+i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )\right )$ Пришли к зависимости корня от параметра

$k$ . Рассмотрим лемму.

$w_k=w_l\Leftrightarrow \left ( k-l \right )\vdots \,n$

$w_k=w_l$ равные комплексные числа, а значит их аргументы равны

$\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n}=\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi l}{n}+2\pi t$

$2\pi \left(k-l \right )=2\pi nt\Leftrightarrow k-l=nt\Leftrightarrow \left(k-l \right )\vdots \: n$

$W=\left \{ w_0,\:w_1,…,\:w_{n-1} \right \}$ — множество корней степени $n$ из $z$ . В силу вышеизложенной леммы все корни попарно различны. Значит мы имеем только n различных значений аргумента, при этом модули корней равны

$\left | \sqrt[n]{z} \right |=\sqrt[n]{\left | z \right |}$

$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[n]{z}=\frac{\mathop{\rm Arg}\,z+2\pi k}{n},\,k=\overline{0,\,n-1}$ Общий вид корня степени

$n$

$\sqrt[n]{z}= \left \{ \sqrt[n]{r}\left ( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n} \right ) +i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right ) \right) \right \},$ где

$k\in \mathbb{N},\,k=\overline{0,\,n-1}$

$\displaystyle\frac{\varphi }{n}$ называется фазой, $\displaystyle\frac{2\pi k}{n}$ называется сдвигом по фазе.

Так как все значения корня имеют одинаковый модуль, то есть одинаковое расстояние от начала координат (равное модулю этих корней), все они вписаны в окружность с центром в начале координат. Множество всех корней степени $n$ из комплексного числа изображается как правильный $n$ -угольник.

Квадратный корень из комплексного числа

Извлечь квадратный корень из комплексного числа можно и без перехода к тригонометрической форме. Рассмотрим теорему

Если $z = a + bi,\:\left(a^2+b^2\neq 0\right),$ то существует ровно 2 корня

$b = 0,\:a > 0 \Rightarrow w = \pm \sqrt{a}$
$b = 0,\: a < 0 \Rightarrow w = \pm i\sqrt{a}$
$b \neq 0 \Rightarrow w = \pm \left(\sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2} + a} {2}}+i \, \mathop{\rm sign} \, b \sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$

Пусть $w=x+yi,$ где $x,\:y\in \mathbb{R}$

$w^2=z \Rightarrow (x+yi)^2=a+bi$

$x^2-y^2+2xyi=a+bi$ Получили

$x^2-y^2=a$

$2xy=b$ Если

$b=0$ , тогда или

$x=0$ , или

$y=0$ .

$b=0,\:y=0.$ Тогда получим $x^2=a \Rightarrow \: x\pm \sqrt{a}$
$b=0,\:x=0.$ Тогда получим $-y^2=a \Rightarrow a<0.$ Тогда $y^2=-a \Rightarrow y^2=ai^2\Rightarrow y=\pm\sqrt{a}i$
$b \neq 0,\: x \neq 0.$
Выразим $y$ из равенства
$y=\frac{b}{2x}$ Подставим значение $y$ в равенство, получим: Домножим обе части равенства на $4x^2$
$4x^4-4x^2a-b^2=0$

Воспользуемся формулой дискриминанта, тогда
$x_{1,2}^{2}=\frac{2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{4}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2},\: x_{1,2}^{2}\in \mathbb{R}$
$x_{2}^{2}=\frac{a-\sqrt{a^2+b^2}}{2}<0,$ так как $x_{2}^{2}\in \mathbb{R} \Rightarrow$ не имеет решений
$x=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

Выразим $y^2$ из равенства
$y^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}-a= \frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}$ Тогда
$y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}$ Из равенства следует, что $\mathop{\rm sign}\,xy=\mathop{\rm sign}\,b.$ Значит, если $\mathop{\rm sign}\,b>0$ то $\mathop{\rm sign}\,x=\mathop{\rm sign}\,y,$ если же $\mathop{\rm sign}\,b<0$ , то $\mathop{\rm sign}\,x=-\mathop{\rm sign}\,y.$ Откуда следует:
$w=\pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\,\mathop{\rm sign}\,b \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$

Примеры решения задач

Найти общий вид корней третьей степени из $z=-\sqrt{3}+i$

Решение

Запишем $z$ в тригонометрической форме $z=2\left ( \cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6} \right )$ Аргументы и модули корней третьей степени будут иметь вид: $\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[3]{z}=\frac{5 \pi }{18}+\frac{2 \pi k }{3},\:k=0,1,2$ $\left | \sqrt[3]{z} \right |=\sqrt[3]{2}$ Тогда общий вид корней будет таков $w_k=\left \{ \sqrt[3]{2}\left ( \cos\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right )+i\sin\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right ) \right ) \right \},$ $k=0,1,2$

[свернуть]
Найти значения квадратных корней из $z=3-4i$

Решение

$w_{1,2}=\pm \sqrt[2]{z},\:w=x+iy$ $\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $y^2=\frac{1}{2}\left (-3+5 \right )=1$ $x^2=\frac{1}{2}\left ( 3+5 \right )=4$ Откуда $x=\pm 2,\:y=\pm 1$ Значит $w_{1,2}=\pm \left(2-i\right)$

[свернуть]
Решите уравнение $z^2=2i$

Решение

$z=\pm \sqrt{2i}$ Уравнение будет иметь два корня $w_{1,2}$ . Найдем их
$w_{1,2}=\pm z,\:w=x+iy$ $\left | z^2 \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $y^2=\frac{1}{2}\left (0+2 \right )=1$ $x^2=\frac{1}{2}\left ( 0+2 \right )=1$ Откуда $x=\pm 1,\:y=\pm 1$ Значит корни уравнения будут равны $w_{1,2}=\pm \left(1+i\right)$

[свернуть]
Будет ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \frac{14\pi}{24}+i\sin\frac{14\pi}{24} \right )$ корнем четвертой степени из $z=\sqrt{3}+i$ ?

Решение

Найдем общий вид корней четвертой степени из $z$ и проверим, принадлежит ли $z_1$ множеству корней. Запишем $z$ в тригонометрической форме $z=2\left ( \cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} \right )$ Аргументы и модули корней четвертой степени будут иметь вид: $\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[4]{z}=\frac{ \pi }{24}+\frac{ \pi k }{2},\:k=0,1,2,3$ $\left | \sqrt[4]{z} \right |=\sqrt[4]{2}$ Тогда общий вид корней будет таков $w_k= \left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right ) \right ) \right \},$ $k=0,1,2,3$ Корни четвертой степени комплексного числа $z$ равны $w_0=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $w_1=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{13\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{13\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $w_2=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{25\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{25\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $w_3=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{37\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{37\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $z_1$ не равен какому-либо корню четвертой степени из $z,$ значит он не является корнем четвертой степени из $z$

[свернуть]

Извлечение корней из комплексных чисел

Тест на знание темы «Извлечение корней из комплексных чисел»

Задание 1 из 6

1.
Количество баллов: 1
Принадлежит ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{25\pi}{24}+i\sin \frac{25\pi}{24} \right )$ множеству корней четвертой степени из $z=2\left ( \cos\frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6} \right )?$
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 6

2.
Количество баллов: 1
Чему равен модуль комплексного числа $w=\sqrt[2]{z},$ при $z=64 \left( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \right)$
Правильно

Неправильно

Правильный ответ — 8
Задание 3 из 6

3.
Количество баллов: 2
Выберите все правильные утверждения
- Все корни степени $n$ из $z$ лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным модулю этих корней
- Множество всех корней степени $n$ из комплексного числа геометрически изображаются правильным $2n$ -угольником
- Все корни степени $n$ из комплексного числа попарно различны
- Не из каждого комплексного числа можно извлечь корень
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 6

Количество баллов: 4

Установите соответствие между комплексными числами и комплексными числами, принадлежащими к множеству их квадратных корней

Элементы сортировки

$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{13 \pi}{8}+i\sin\frac{13 \pi}{8} \right )$
$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{9 \pi}{8}+i\sin\frac{9 \pi}{8} \right )$
$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{15 \pi}{8}+i\sin\frac{15 \pi}{8} \right )$
$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{11 \pi}{8}+i\sin\frac{11 \pi}{8} \right )$

$-1-i$

$1+i$

$1-i$

$-1+i$

Задание 5 из 6

5.
Количество баллов: 4
Расставьте в порядке убывания модулей корней третьей степени из нижеприведенных комплексных чисел.
- $-2+3i$
- $2-i$
- $1+i$
- $i$
Правильно

Неправильно
Задание 6 из 6

6.
Количество баллов: 1
Заполните пропуск
- (Модули) корней из комплексного числа равны
Правильно

Неправильно

Смотрите также

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Любое комплексное число [latex] z=(a,b)[/latex] можно изобразить как точку на комплексной плоскости с координатами [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex], где ось абсцисс называется вещественной, а ось ординат — мнимой.
Точка на плоскости

Определение 1:

Модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей. [latex]z=a+ib[/latex], [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=[/latex] [latex]\sqrt{(Re\;z)^{2}+(Im\;z)^{2}}[/latex],
[latex]|z|\ge 0,\; |z|= [/latex] [latex]0 \Leftrightarrow z=0.[/latex]

Определение 2:

Величина угла, который образует вектор изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа [latex](\arg z), z\ne 0.[/latex]
Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки — отрицательный, по — положительный.
Углы, отличающиеся на [latex]2\pi k,k \in Z[/latex], соответствуют одному и тому же числу и записываются как:
[latex]\mathrm{Arg}\;z=[/latex] [latex]\arg z +2\pi k,k \in Z[/latex] , [latex]0\le \arg z < 2\pi[/latex].

Определение 3:

У комплексного числа существует тригонометрическая форма записи [latex]z=r(\cos \varphi + i\sin\varphi),[/latex] [latex] r=|z|.[/latex]

Примеры:

Найти геометрическое место точек (ГМТ):

[latex]|z|\le 1[/latex]

[latex]|z+1|>1[/latex]

[latex]|z+1|=|x+iy+1|=[/latex] [latex]|(x+1)+iy|=[/latex] [latex]\sqrt{(x+1)^{2}+y{2}}=[/latex] [latex]\sqrt{(x+1)^{2}+(y+0)^{2}}>1[/latex]

Формула Муавра:

[latex]z^n=[/latex] [latex]r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)).[/latex]

Лемма 1:

Для любых двух комлексных чисел [latex]z_1,z_2\;\in C[/latex] справедливо неравенство [latex]\left||z_1|-|z_2|\right|\le |z_1\pm z_2|[/latex] [latex]\le |z_1|+|z_2|[/latex]

Доказательство:

Пусть [latex]z_1\ne 0, z_2\ne 0[/latex],[latex]z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),[/latex] [latex]z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).[/latex]
[latex]|z_1+z_2|=[/latex] [latex]|r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)+r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)|=[/latex] [latex]|(r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)|=[/latex] [latex]\sqrt{r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)^{2}+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)^{2}}=[/latex] [latex]\sqrt{r_{1}^{2}(\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1)+r_2^{2}(\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2)+2r_{1}r_{2}(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2)}=[/latex](*)
[latex]\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1 = 1[/latex]
[latex]cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2 = 1[/latex]
(*)=[latex]\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}\le[/latex] [latex] \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2}=[/latex] [latex]\sqrt{(r_1+r_2)^2}=[/latex] [latex]r_1+r_2=|z_1|+|z_2|.[/latex]

Литература:

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 — c.31-35.
Конспект лекций Г.С.Белоозерова.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Тест на тему «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»:

Задание 1 из 4

1.

Количество баллов: 1

Соеденить:

Элементы сортировки

$z^n=r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))$
$\sqrt{a^2+b^2}$
$r(\cos \varphi + i\sin\varphi)$

Формула Муавра:

Модуль комплексного числа:

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 3
Расставить в правильном порядке доказательство леммы 1:
- $| z_{1} + z_{2} | = | r_{1} (\cos φ_{1} + i \sin φ_{1}) + r_{2} (\cos φ_{2} + i \sin φ_{2}) | =$
- $| (r_{1} \cos φ_{1} + r_{2} \cos φ_{2}) + i (r_{1} \sin φ_{1} + r_{2} \sin φ_{2}) | =$
- $\sqrt{r_{1} \cos φ_{1} + r_{2} \cos φ_{2})^{2} + i (r_{1} \sin φ_{1} + r_{2} \sin φ_{2})^{2}} =$
- $\sqrt{r_{1}^{2} (\cos^{2} φ_{1} + \sin^{2} φ_{1}) + r_{2}^{2} (\cos^{2} φ_{2} + \sin^{2} φ_{2}) +}$
- $\sqrt{2 r_{1} r_{2} (\cos φ_{1} \cos φ_{2} + \sin φ_{1} \sin φ_{2})} =$
- $\sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (φ_{1} - φ_{2})}$
- $\leq \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2}} =$
- $\sqrt{(r_{1} + r_{2})^{2}} = r_{1} + r_{2} = | z_{1} | + | z_{2} | .$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 3
Вставить пропущенные слова (учитывая род, число, падеж):
- "Величина угла, изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется (аргументом) этого комплексного числа."
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 3
[latex]\mathrm{Arg}\;z=[/latex]
- $\arg z +2\pi k,k \in Z$
- $\arg z +3\pi k,k \in Z$
- $\arg z +\pi k,k \in R$
Правильно

Неправильно

Средний результат
Ваш результат

Примеры

Смотрите также

Формула Муавра

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

Корень степени nn из комплексного числа

Квадратный корень из комплексного числа

Примеры решения задач

Извлечение корней из комплексных чисел

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

Смотрите также

Определение 1:

Определение 2:

Определение 3:

Примеры:

Найти геометрическое место точек (ГМТ):

Формула Муавра:

Лемма 1:

Доказательство:

Литература:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Корень степени $n$ из комплексного числа