Формула Муавра

Теорема. Допустим $z=r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)$ и $n$ принадлежит множеству целых чисел. Тогда можно считать, что $z^{n}=r^{n}\cdot\left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right).$

Пусть $n=2,$ где $n\in \mathbb {Z}$ — база индукции. Тогда $$z^{2}=r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\cdot r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)=r^{2}(\cos\left(2\phi\right)+i\sin\left(2\phi\right)).$$Допустим, что теорема верна $\forall n\leqslant m, m\leqslant2$ и докажем, что она так же верна и для $n=m+1.$ Тогда $$z^{m+1}=z^{m}\cdot z=r^{m}(\cos\left(m\phi\right)+i\sin\left(m\phi\right))\cdot r\cdot(\cos\phi+i\sin\phi)=$$ $$=r^{m+1}(\cos\left(m+1\right)\phi+i\sin\left(m+1\right)\phi).$$ Для $n=1$ формула простая, а если $n=0,$ то $z=1,$ то есть $$z^{0}=r^{0}\left(\cos\left(0\phi\right)+i\sin\left(0\phi\right)\right)=1\left(\cos0+i\sin0\right)=1.$$ Следовательно, теорема справедлива $\forall n\geqslant0.$ Докажем, что она так же справедлива $\forall n\lt0.$ Тогда $$z^{-n}=\dfrac{1}{z^{n}}=\dfrac{1}{\left(r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\right)^{n}}=$$ $$=\dfrac{1}{r^{n}\left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right)}=r^{-n}\dfrac{cos\left(n\phi\right)-i\sin\left(n\phi\right)}{\cos\left(n\phi\right)^{2}+\sin\left(n\phi\right)^{2}}=$$ $$=r^{-1}\dfrac{\cos\left(-n\phi\right)+i\sin\left(-n\phi\right)}{1}=r^{-n}\left(\cos\left(-n\phi\right)+i\sin\left(-n\phi\right)\right).$$ Теорема доказана.

Следствие.$\left|z^{n} \right|=\left|z \right|^{n}
\forall n\in \mathbb {Z},$$ $$Arg\left(z^{n}\right)=n\cdot Arg\left(z\right)+2\pi k, k\in \mathbb {Z}, \forall n\in \mathbb {Z}.$

Примеры

Рассмотрим несколько примеров с использованием формулы Муавра.

  1. Вычислить $\sqrt[5]{\dfrac{\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}}{i^{1323}}}.$
    Решение

    Найдём сначала $r$ для $\left(-1+i\right)^{3}$: $$r=\sqrt{\left(-1\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.$$ Теперь найдём аргумент $z$ для $\left(-1+i\right)^{3}.$ Для этого нужно найти угол $\alpha :$ $$\tan\alpha=1, \alpha=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z.$$ Так как $\sin\alpha \lt0$ и $\cos\alpha \lt0,$ то $\alpha=\dfrac{3\pi}{4}.$
    Теперь найдём $r$ и $z$ для $\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}:$ $$r=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2.$$ Найдём $z:$
    $$\tan\beta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \beta=\dfrac{\pi}{6}+s\pi, s\in Z.$$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$ $$\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}=\left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)\right)+i\sin\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)=$$ $$=\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12},$$ $$i^{1323}=-i.$$ По формуле $\dfrac{\phi+2\pi k}{n},$ где $n=5,$ $k=\overline{0, 4}$ получаем:$$w_{0}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)\right)=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{60}\right)+\right.$$ $$\left.+i\sin\left(\dfrac{\pi}{60}\right)\right),$$ $$w_{1}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)\right)=$$ $$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)\right),$$ $$w_{2}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)\right)=$$ $$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)\right),$$ $$w_{3}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)\right)=$$ $$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)\right),$$ $$w_{4}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)\right)=$$ $$=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)\right).$$

  2. Вычислить $\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}.$
    Решение

    $$\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \alpha=\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in Z.$$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$ $$\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}=\left(2\left(\cos{\dfrac{\pi}{6}}+i\sin{\dfrac{\pi}{6}}\right)\right)^{2020}=$$ $$=2^{2020}\left(\cos\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)+i\sin\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)\right)=$$ $$=2^{2020}\left(cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=2^{2020}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$$

Смотрите также

  1. А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 201-202).
  2. Личный конспект, основанный на лекциях Г. С. Белозёрова.

Формула Муавра

Проверим как Вы усвоили материал.

Ф1759. О силе тяги, времени и предельной скорости

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 2 выпуск)

Условие

Длинный товарный поезд трогается с места. Вагоны соединены друг с другом с помощью абсолютно неупругих сцепок. Первоначально зазор в каждой сцепке равен $L$ (см. рисунок). Масса локомотива $m$, а его порядковый номер первый. Все вагоны загружены, и масса каждого из них тоже m.

  1. Считая силу тяги локомотива постоянной и равной $F$ , найдите время, за которое в движение будет вовлечено $N$ вагонов.
  2. Полагая, что состав очень длинный ($N\rightarrow \infty$), определите предельную скорость ${\mathcal v}_\infty$ локомотива.

train

Решение

  1. Пусть ${\mathcal v}_i^{\prime}$ — скорость части состава из $i$ вагонов сразу после вовлечения в движение $i$-го вагона, а ${\mathcal v}_i$ — скорость части состава из $i$ вагонов перед ударом с $(i+1)$-м вагоном. Из закона сохранения импульса $$(i+1)m\mathcal v_{i+1}^{\prime}=im\mathcal {v}_i=\mathcal {p}_i$$По второму закону Нютона $$a_{a+1}=\dfrac{F}{(i+1)m}$$ а по известному кинематическому соотношению $$a_{i+1}L=\dfrac{\mathcal v_{i+1}^{2}-\mathcal v_{i+1}^{\prime2}}{2}$$Отсюда получим $$\mathcal v_{i+1}^{2}=\dfrac{2FL}{(i+1)m}+\left({\dfrac{i}{i+1}}\right)^{2}\mathcal v_{i+1}^{2}$$ или $$\mathcal {p}_{i+1}^{2}=2(i+1)mFL+\mathcal {p}_{i}^{2}$$Из этой рекуррентной формулы следует $$\mathcal {p}_{N}^{2}=2mFL\sum_{i=1}^{N}i+\mathcal {p}_{0}^{2}$$ или, так как $\mathcal {p}_{0}=0$, $$\mathcal {p}_{N}^{2}=2mFL\dfrac{N(N+1)}{2}$$ откуда $$\mathcal v_{N}=\sqrt{\dfrac{FL}{m}}\sqrt{\dfrac{N+1}{N}}$$Найдём теперь время $\mathcal t_{N}$ вовлечения в движение $N$ вагонов: $$\mathcal v_{i}-\mathcal v_{i}^{\prime}=\mathcal a_{i}\triangle\mathcal t_{i},$$ $$\triangle\mathcal t_{i}=\dfrac{\mathcal v_{i}-\mathcal v_{i}^{\prime}}{\mathcal a_{i}}=\dfrac{m}{F}(i\mathcal v_{i}-i\mathcal v_{i}^{\prime})=\dfrac{m}{F}(i\mathcal v_{i}-(i-1)\mathcal v_{i-1}),$$ $$\mathcal t_{N}=\dfrac{m}{F}\sum_{i=1}^{N-1}(i\mathcal v_{i}-(i-1)\mathcal v_{i-1})=\dfrac{m}{F}((N-1)\mathcal v_{N-1}-0\cdot\mathcal v_{0})=$$ $$=\dfrac{m}{F}\mathcal v_{N-1}(N-1).$$Используя полученное ранее выражение для $\mathcal v_{N}$, окончательно получим $$\mathcal t_{N}=\sqrt{\dfrac{mL}{F}}N\sqrt{1-\dfrac{1}{N}}.$$
  2. Из выражения для $\mathcal v_{N}$ находим, что при $N\rightarrow \infty$ скорость состава $\mathcal n_{\infty}\rightarrow\sqrt{FL/m}$.

П. Бойко, Ю. Полянский

M1276. О высотах треугольников, пересекающихся в одной точке

Задача из журнала «Квант» (1991 год, 9 выпуск)

Условие

Для данной хорды $MN$ окружности рассматриваются треугольники $ABC$, основаниями которых являются диаметры $AB$ этой окружности, не пересекающие $MN$, а стороны $AC$ и $BC$ проходят через концы $M$ и $N$ хорды $MN$. Докажите, что высоты всех таких треугольников $ABC$, опущенные из вершины $C$ на сторону $AB$, пересекаются в одной точке.

Доказательство

Точки $M$ и $N$ — основания высот треугольника $ABC$, опущенных из вершин $A$ и $B$, поэтому третья высота проходит через точку $H$ их пересечения, причем точки $C$, $M$, $N$ и $H$ лежат на одной окружности $δ$ с диаметром $CH$. Пусть $P$ — центр этой окружности. Заметим, что при движении диаметра $AB$ величина угла $C$ треугольника остаётся неизменной, — она измеряется полуразностью постоянных по величине дуг  $AB$ и $MN$ (см. рисунок). Поскольку хорда $MN$ неподвижна, остаётся неизменной и окружность $δ$ (по которой движутся точка $C$ и диаметрально противоположная ей точка $H$), а тем самым и её центр $P$: диаметр $CH$ — участок интересующей нас высоты — просто вращается вокруг точки $P$.

Cycle

 Е. Куланин