Ф1759. О силе тяги, времени и предельной скорости

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 2 выпуск)

Условие

Длинный товарный поезд трогается с места. Вагоны соединены друг с другом с помощью абсолютно неупругих сцепок. Первоначально зазор в каждой сцепке равен $L$ (см. рисунок). Масса локомотива $m$, а его порядковый номер первый. Все вагоны загружены, и масса каждого из них тоже m.
Вагоны
1) Считая силу тяги локомотива постоянной и равной $F$ , найдите время, за которое в движение будет вовлечено $N$ вагонов.

2) Полагая, что состав очень длинный ($N\rightarrow \infty$), определите предельную скорость ${\mathcal v}_\infty$ локомотива.

Решение

1) Пусть ${\mathcal v}_i^{\prime}$ — скорость части состава из $i$ вагонов сразу после вовлечения в движение $i$-го вагона, а ${\mathcal v}_i$ — скорость части состава из $i$ вагонов перед ударом с $(i+1)$-м вагоном. Из закона сохранения импульса

$(i+1)m\mathcal v_{i+1}^{\prime}=im\mathcal {v}_i=\mathcal {p}_i$

По второму закону Нютона

$a_{a+1}=\dfrac{F}{(i+1)m}$

а по известному кинематическому соотношению

$a_{i+1}L=\dfrac{\mathcal v_{i+1}^{2}-\mathcal v_{i+1}^{\prime2}}{2}$

Отсюда получим

$\mathcal v_{i+1}^{2}=\dfrac{2FL}{(i+1)m}+\left({\dfrac{i}{i+1}}\right)^{2}\mathcal v_{i+1}^{2}$

или

$\mathcal {p}_{i+1}^{2}=2(i+1)mFL+\mathcal {p}_{i}^{2}$

Из этой рекуррентной формулы следует

$\mathcal {p}_{N}^{2}=2mFL\sum_{i=1}^{N}i+\mathcal {p}_{0}^{2}$

или, так как $\mathcal {p}_{0}=0$,

$\mathcal {p}_{N}^{2}=2mFL\dfrac{N(N+1)}{2}$

откуда

$\mathcal v_{N}=\sqrt{\dfrac{FL}{m}}\sqrt{\dfrac{N+1}{N}}$

Найдём теперь время $\mathcal t_{N}$ вовлечения в движение $N$ вагонов:

$\mathcal v_{i}-\mathcal v_{i}^{\prime}=\mathcal a_{i}\triangle\mathcal t_{i}$,

$\triangle\mathcal t_{i}=\dfrac{\mathcal v_{i}-\mathcal v_{i}^{\prime}}{\mathcal a_{i}}=\dfrac{m}{F}(i\mathcal v_{i}-i\mathcal v_{i}^{\prime})=\dfrac{m}{F}(i\mathcal v_{i}-(i-1)\mathcal v_{i-1})$,

$\mathcal t_{N}=\dfrac{m}{F}\sum_{i=1}^{N-1}(i\mathcal v_{i}-(i-1)\mathcal v_{i-1})=\dfrac{m}{F}((N-1)\mathcal v_{N-1}-0\cdot\mathcal v_{0})=$

$=\dfrac{m}{F}\mathcal v_{N-1}(N-1)$.

Используя полученное ранее выражение для $\mathcal v_{N}$, окончательно получим

$\mathcal t_{N}=\sqrt{\dfrac{mL}{F}}N\sqrt{1-\dfrac{1}{N}}$.

2) Из выражения для $\mathcal v_{N}$ находим, что при $N\rightarrow \infty$ скорость состава $\mathcal n_{\infty}\rightarrow\sqrt{FL/m}$.

 

П. Бойко, Ю. Полянский

 

M1276. О высотах треугольников, пересекающихся в одной точке

Задача из журнала «Квант» (1991 год, 9 выпуск)

Условие

Для данной хорды $MN$ окружности рассматриваются треугольники $ABC$, основаниями которых являются диаметры $AB$ этой окружности, не пересекающие $MN$, а стороны $AC$ и $BC$ проходят через концы $M$ и $N$ хорды $MN$. Докажите, что высоты всех таких треугольников $ABC$, опущенные из вершины $C$ на сторону $AB$, пересекаются в одной точке.

Доказательство

Точки $M$ и $N$ — основания высот треугольника $ABC$, опущенных из вершин $A$ и $B$, поэтому третья высота проходит через точку $H$ их пересечения, причем точки $C$, $M$, $N$ и $H$ лежат на одной окружности $δ$ с диаметром $CH$. Пусть $P$ — центр этой окружности. Заметим, что при движении диаметра $AB$ величина угла $C$ треугольника остаётся неизменной, — она измеряется полуразностью постоянных по величине дуг  $AB$ и $MN$ (см. рисунок). Поскольку хорда $MN$ неподвижна, остаётся неизменной и окружность $δ$ (по которой движутся точка $C$ и диаметрально противоположная ей точка $H$), а тем самым и её центр $P$: диаметр $CH$ — участок интересующей нас высоты — просто вращается вокруг точки $P$.
Рисунок
                                                                                                   

 Е. Куланин