Циклическая группа

Будем говорить, что группа G является циклической, если существует такой элемент a\in G, что всякий элемент x\in G может быть записан в виде x=a^n, где n\in Z(другими словами, если отображение f: Z\rightarrow G, определяемое формулой f(n)=a^n,сюръективно). При этом элемент a называется образующей группы G. Всякая циклическая группа, очевидно, абелева.
Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная группа целых чисел — всякое целое число кратно числу 1, то есть это число служит образующим элементом рассматриваемой группы; в качестве образующего элемента можно было бы также взять число -1.
Примером конечной циклической группы порядка n служит мультипликативная группа корней n-ой степени из единицы. Все эти корни являются степенями одного их них, а именно первообразного корня.

Задача

Пусть G — группа с групповой операцией \ast и g\in G. Доказать, что множество H=\{g^k, (g')^k|k\in N\cup \{0\}\} является группой. Группа H является циклической, порождённой g. H=\langle g\rangle.

Спойлер
[свернуть]

Решение.Введём обозначения: g'=g^{-1}, (g')^k=g^{-k}. Докажем, что для m,n\in Z выполняется g^m\ast g^n=g^{m+n}.
 m\geq 0, n\geq 0\Rightarrow g^m\ast g^n=g^{m+n}.
-n\leq m<0

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

Определение циклической группы

Пусть дана группа (G, \cdot). Если \exists g_{0}\in G такое, что \forall g\in G, \exists n\in \mathbb Z: g=g_{0}^n, то (G, \cdot) называется циклической группой  и пишут G=<g_{0}>_{n}, где g_{0} образующая и количество элементов, порядок группы, |G|=n. Циклическая группа G называется конечной, если она имеет конечное число элементов, в противном случае группа называется бесконечной.

Теорема
Пусть дана циклическая группа (G, \cdot) и G=<g_{0}>_{n}, тогда эта группа имеет следующий вид: G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}.

Доказательство
Для доказательства покажем что все элементы нашей группы различные, иначе количество элементов в группе будет меньше её порядка.
Пусть \exists i<j такие, что  0\leq i<j \leq{n-1} и  g_{0}^{i} = g_{0}^{j}\Rightarrow g_{0}^{j-i} = 1, тогда \exists m\in \mathbb Z : m=j-i, следовательно 1\leq m\leq{n-1} и g_{0}^m=1. Отсюда \forall g\in G, g=g_{0}^t, t\in \mathbb Z и t=mq+r, 0\leq r<m, тогда g_{0}^t=g_{0}^{mq+r}=(g_{0}^m)^q\cdot g_{0}^r\Rightarrow g_{0}^t =1\cdot g_{0}^r=g_{0}^r, это значит что все элементы группы будут равны g_{0}^r, где \forall t\in \mathbb Z существует свой r,но 0\leq r<m, а 1\leq m\leq{n-1} мы получаем противоречие, поскольку мы не получим всю группу.

Таким образом G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}.

Примеры циклических групп
A=\{1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6\} — Конечная иклическая группа, поскольку каждый элемент является значением 2^k, 0\leq k\leq 6, отсюда образующей этой группы является 2 и A=<2>_{7}.

A=\{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \frac{1}{2^6} \} — Конечная циклическая группа, каждый элемент является значением (\frac{1}{2})^k, 0\leq k\leq 6, образующей является \frac12 и A=<\frac12>_{7}.

Литература

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 24-28.
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 с. 246-248.
  3. Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.

 

Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

Тест на тему «Теорема о представлении элементов конечной циклической группы»:

Таблица лучших: Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных