Метка: бином Ньютона

Бином Ньютона — формула, представляющая выражение $latex (a+b)^{n}$ при $latex n>0$  в виде:

$latex (a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+$

$latex C_{n}^{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n}$,

где $latex C_{a}^{b}$ — число сочетаний из $latex a$ элементов по $latex b$ элементов.

$latex C_{n}^{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}$.

Докажем верность данного утверждения:

$latex \square$ Доказательство методом математической индукции.

$latex 1)$ Для $latex n= 1$ :

$latex a+b=C_{1}^{0}a^{1-0}b^{0}+C_{1}^{1}a^{1-1}b^{1}=$

$latex a*1+b*1=a+b.$

Для $latex n=1$ утверждение выполняется.

$latex 2)$ Предположим, что утверждение выполняется для $latex n=k$.

$latex (a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k-0}b^{0}+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{1}+$

$latex C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+C_{k}^{k}a^{0}b^{k}=$

$latex a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+$

$latex C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+b^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}.$

$latex 3)$ Докажем верность формулы для $latex n=k+1$.

Докажем, что $latex (a+b)^{k+1}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$.

$latex (a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}=$

$latex (a+b)\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}=$

$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}$

Вынесем слагаемое при $latex i=0$ из первой суммы:

$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i} = a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$

Вынесем слагаемое при $latex i=k$ из последней суммы:

$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=$

$latex b^{k+1} + \sum\limits_{i=0}^{k-1}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=$

$latex b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$

Прибавим данные суммы:

$latex=a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$latex b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$

$latex =a^{k+1}+b^{k+1}+$

$latex \sum\limits_{i=1}^{k}(C_{k}^{i}+C_{k}^{i-1})a^{k-i+1}b^{i}=$

$latex =\sum\limits_{i=0}^{0}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$latex \sum\limits_{i=k+1}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$latex \sum\limits_{i=1}^{k}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$

$latex =\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$ $latex \blacksquare$

Также с помощью бинома Ньютона строится треугольник Паскаля, в котором числа в строке обозначают коэффициенты при соответствующих степенях:

Примеры:

$latex 1)$ $latex (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+\frac{3!}{1!*2!}ab^{2}+b{3}=$

       $latex a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$

$latex 2)$ $latex (a+b+c)^{4}=?$

$latex (a+b+c)^{4}=(a+(b+c))^{4}=$

$latex a^{4}+a^{3}(b+c)\frac{4!}{3!}+a^{2}(b+c)^{2}\frac{4!}{2!2}+$

$latex a(b+c)^{3}\frac{4!}{3!}+(b+c)^{4}=$

$latex a^{4}+a^{3}b\frac{4!}{3!}+a^{3}c\frac{4!}{3!}+a^{2}b^{2}\frac{4!}{2!2!}+2a^{2}bc\frac{4!}{2!}+$

$latex a^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+ab^{3}\frac{4!}{3!}+3ab^{2}c\frac{4!}{1*2*3}+$

$latex +3abc^{2}\frac{4!}{1*2*3}+ac^{3}\frac{4!}{3!}+$

$latex b^{4}+b^{3}c\frac{4!}{3!}+b^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+bc^{3}\frac{4!}{3!}+c^{4}=$

$latex =a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c)+$

$latex 6(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})+4(b^{3}a+c^{3}a+ c^{3}b)+$

$latex 12(a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab).$

Список литературы:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.5.

Тест "Бином Ньютона"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Доказательство Бинома Ньютона проводится методом:

   • математической индукции
   • дедукции
   • от противного
   • приведение к определению
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   С помощью Бинома Ньютона можно преобразовать выражения:

   • $$a!b!$$
   • $$\sum_{i=0}^{7}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$
   • $$(a+b)^{11}$$
   • $$f(x)'$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Укажите формулу для сочетаний из n элементов по k

   • $$(n+k)/2$$
   • $$n*k!$$
   • $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
   • $$\frac{n!}{k!(n-k+i)!}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Рассмотрим последовательность $latex x_n$$latex = (1+\frac{1}{n})^n$, $latex n \in \mathbb{N}$.

Покажем, что последовательность ограничена и возрастает.

Сначала докажем монотонность. Воспользуемся биномом Ньютона:

$latex (a+b)^n$= $latex a^{n}+\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}+ \cdots +$

$latex +\frac{n (n-1) (n-2)\cdots (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}\cdot b^{n}$.

Полагая, что  $latex a= 1, b= \frac{1}{n}$,  получим:

$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= 1+\frac{n}{1}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{1}{n^{2}}+$

$latex +\frac{n (n-1) (n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{1}{n^{3}}+ … + \frac{n (n-1) (n-2)… (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot n}\cdot \frac{1}{n^{n}}=$

$latex = 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+\cdots +$

$latex +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots \cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}).$

$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+ \cdots +$

$latex + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}). (*)$

Из равенства $latex (*)$ следует, что с увеличением $latex n$ число положительных слагаемых в правой части увеличивается.

Кроме того, при увеличении $latex n$ число $latex \frac{1}{n}$ — убывает,

поэтому величины $latex (1-\frac{1}{n})$, $latex (1-\frac{1}{n})$, $latex \cdots$ возрастают.

Поэтому последовательность {$latex x_n$} =  $latex \{ (1+\frac{1}{n})^{n}\}$  — возрастающая, при этом $latex (1+\frac{1}{n})^{n}>2. (**)$

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства $latex (*)$ на единицу. Правая часть увеличится, получим неравенство:

$latex (1+\frac{1}{n})^{n}<1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+ \cdots +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}.$

Усилим полученное неравенство, заменив числа $latex 3, 4, 5, \cdots, n$, стоящие в знаменателях дробей, числом $latex 2$:

$latex (1+\frac{1}{n})^{n} = 1+ (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}).$

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

$latex 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+ \cdots +\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot (1- (\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}= 2 (1-\frac{1}{2^n})<2.$

Поэтому: $latex (1+\frac{1}{n})^{n}<1+2= 3. (***)$
Итак, последовательность ограничена, при этом для $latex n \in \mathbb{N}$ выполняются неравенства $latex (**)$ и $latex (***)$:
$latex 2 < (1+\frac{1}{n})^{n}<3.$

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой  $latex e$ :

$latex \lim\limits_{x\overset{}{\rightarrow \infty }}$$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= e.$

Определение:

Числом $latex e$ называется предел последовательности $latex x_{n}= (1+\frac{1}{n})^{n}, n \in \mathbb{N},$ т. е. $latex e= \lim\limits_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n}.$

Это число иррациональное и приближенно равно $latex e = 2.718281828\cdots$. Логарифмы с основанием $latex e$ называются натуральными и обозначаются $latex \log_{e}x= \ln x.$ Данный предел называют вторым замечательным пределом. Многие примеры сводятся с помощью простых замен ко второму замечательному пределу. Рассмотрим пример решения на второй замечательный предел.

Пример.

Найти предел $latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}.$

Решение.

Преобразуем предел:

$latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}= \lim\limits_{x \to \infty}$ $latex (1+\frac{1}{\frac{x}{2}})^{\frac{x}{2}\cdot 2}= e^{2}.$

Литература

1. Портал знаний (Введение в анализ->Последовательности)
2. Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, стр.17 (часть 1)
3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 74-76: М.Наука. — 1982, 616 стр.

Число е

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Число е

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Что мы используем при доказательстве монотонности последовательности $latex x_n=(1+\frac{1}{n})^{n}$?

   • бином Ньютона
   • метод математической индукции
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 4

   Чему равен предел $latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{1}{3x})^{4x}$ ?

   • $$e^{\frac{1}{3}}$$
   • $$e^{\frac{4}{3}}$$
   • $$0$$
   • $$1$$
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   По имени кого из ученых названо число $latex e$ в математике?

   • Евклид
   • Эйнштейн
   • Эйлер
   • Эрмит
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Ссылаясь на какую из перечисленных теорем последовательность $latex x_n=(1+\frac{1}{n})^{n}$,$latex n \in \mathbb{N}$ имеет предел?

   • Теорема Больцано-Вейерштрасса
   • Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
   • Теорема Кантора о вложенных отрезках
   • Теорема Линдемана — Вейерштрасса