В трехмерной системе координат зададим две точки $B_1$ и $B_2.$ Рассмотрим вектора $\overline{OB_1}\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $\overline{OB_2}\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ где точка $O$ — начало координат.

Определение. Углом между двумя векторами называется наименьший угол, при повороте на который направление одного вектора совпадает с направлением второго.

Для нахождения угла между векторами $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2}$ воспользуемся материалом первой статьи. Пусть точки $B_1$ и $B_2$ определяют вектор $\overline{B_1B_2}.$ Тогда $\overline{B_1B_2}$ представим в виде разности векторов $\overline{OB_2}$ и $\overline{OB_1}:$

Из рисунка видно, что искомый угол $B_1OB_2$ можно найти с помощью теоремы косинусов: $$\left|\overline{OB_2}-\overline{OB_1}\right|^2 = \left|\overline{OB_1}\right|^2 + \left|\overline{OB_2}\right|^2-2\cdot\left|\overline{OB_1}\right|\cdot\left|\overline{OB_2}\right|\cdot\cos \left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right).$$

Теперь необходимо найти длины векторов. Опираясь на материал третьей статьи, имеем: $$\left|\overline{OB_1}\right| = \sqrt{\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2},$$ $$\left|\overline{OB_2}\right| = \sqrt{\alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2}.$$ Подставим результат в формулу: $$\left(\alpha_2-\alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2-\beta_1\right)^2 + \left(\gamma_2-\gamma_1\right)^2 = \alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2 + \\ + \alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2-2\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}\cdot\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right),$$ и упростим выражение: $$-2\left(\alpha_2\alpha_1 + \beta_2\beta_1 + \gamma_2\gamma_1\right) = -2\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}\cdot\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right).$$ Откуда: $$\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right) = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2 + \gamma_1\gamma_2}{\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}}.$$ В случае двумерного пространства формула примет следующий вид: $$\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right) = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2}{\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2}}.$$

Пусть в пространстве заданы две точки $B_1\left(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2\right),$ определяющие вектор $\overline{B_1B_2}.$ Из точки $O,$ которая является началом координат, проведем два направленных отрезка $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2}.$

Данный рисунок представляет собой геометрическую интерпретацию нахождения разности двух векторов, которой мы и воспользуемся для выведения формулы. Также для удобства введем базисные векторы $i,$ $j,$ $k$ и, разложив по ним вектора $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2},$ получим: $$\overline{B_1B_2} = \overline{OB_2}-\overline{OB_1} = \alpha_2i + \beta_2j + \gamma_2k-\left(\alpha_1i+\beta_1j+\gamma_1k\right) = \\ =\alpha_2i+\beta_2j+\gamma_2k-\alpha_1i-\beta_1j-\gamma_1k = \\=\left(\alpha_2i-\alpha_1i\right)+\left(\beta_2j-\beta_1j\right)+\left(\gamma_2k-\gamma_1k\right) = \\ = \left(\alpha_2-\alpha_1\right)i+\left(\beta_2-\beta_1\right)j+\left(\gamma_2-\gamma_1\right)k.$$

Отсюда видно, что для того, чтобы найти координаты вектора, необходимо из каждой координаты конца вычесть соответствующую координату начала: $$\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_2-\alpha_1,\beta_2-\beta_1,\gamma_2-\gamma_1\right).$$

Для случая на плоскости формула примет следующий вид:$\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_2-\alpha_1,\beta_2-\beta_1\right),$ где положение точек $B_1\left(\alpha_1,\beta_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2,\beta_2\right)$ определяется двумя координатами.

Пусть заданы точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ также определяющие вектор $\overline{B_1B_2}.$

Определение. Проекцией вектора $\overline{B_1B_2}$ называется вектор, полученный проектированием точек $B_1$ и $B_2$ на какую либо ось или плоскость.

Наша задача заключается в нахождении координат этой проекции. Прежде всего необходимо выяснить способ нахождения координат проекций точки. Например, спроектировав точку $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ на ось абсцисс, получим $B_{1x}\left(\alpha_1, 0, 0\right).$ Точно таким же образом получаем и точку $B_{2x}\left(\alpha_2, 0, 0\right):$

Понятно, что в случае плоскости проекция точки будет иметь две ненулевые координаты: $B_{1xy}\left(\alpha_1, \beta_1, 0\right)$ и $B_{2xy}\left(\alpha_2, \beta_2, 0\right).$ Для всех остальных плоскостей и осей аналогично. Теперь нам достаточно лишь воспользоваться формулой для вычисления координат вектора: $\overline{B_{1x}B_{2x}} = \left(\alpha_2 -\alpha_1, 0, 0\right),$ а, например, $\overline{B_{1xy}B_{2xy}} = \left(\alpha_2 -\alpha_1, \beta_2 -\beta_1, 0\right).$

Для двумерного пространства разница будет заключаться лишь в том, что точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2\right)$ определяются двумя координатами. Рассуждения же остаются аналогичными.