Условие

На сторонах $a, b, c, d$ вписанного в окружность четырехугольника «наружу» построены прямоугольники размерами $a\times c, b\times d,$$c\times a, d\times b$. Докажите, что центры этих прямоугольников являются вершинами а)параллелограмма, б)прямоугольника.

Решение

а) Пусть $M, P, N, Q$ — центры прямоугольников, построенных на сторонах $AB, BC, CN, DA$ вписанного четырехугольника $ABCD$ (см. рисунок).
Поскольку в четырехугольнике, вписанном в окружность, суммы противоположных углов равны $180\textdegree$ , а прямоугольники, построенные на противоположных сторонах, конгруэнтны, то $\angle MBP = \angle NDQ$ и $\angle NCP = \angle MAQ$ (мы рассматриваем углы, меньшие $180\textdegree$). Таким образом, треугольник $MBP$ подобен $NDC$ и треугольник $NCP$ подобен $MAQ$. Отсюда $\mid MP \mid = \mid NQ \mid$ и $\mid NP \mid = \mid MQ \mid$, а это означает, что четырехугольник $MPNQ$ — параллелограмм.
б) Можно считать, что сторона $MQ$ параллелограмма видна из точки $A$ изнутри параллелограмма, сторона $PN$ видна из точки $C$ снаружи и, аналогично, сторона $MP$ видна из точки $B$ изнутри, а сторона $NQ$ из точки $D$ видна снаружи. Тогда расположение всех отрезков и треугольников будет таким, как показано на рисунке. Докажем, что, $\angle MPN + \angle NQM = 180\textdegree$ (отсюда будет следовать, что $\angle MPN = \angle NQM = 90\textdegree$). Эта сумма, очевидно, равна $\angle BPC + \angle DQA = 180\textdegree$, поскольку $\angle BPM = \angle DQN$, а $\angle CPN = \angle AQM$.

Задача из журнала “Квант” (1984, №3)

Условие

Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника $ABC$ разбиты на два множества $E_{1}$ и $E_{2}$. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множеств $E_{1}$ и $E_{2}$ найдется тройка вершин прямоугольного треугольника?

рис. 1

Ответ

Верно.

Доказательство

Доказательство проведем от противного. Пусть точки множества $E_{1}$ окрашены синим цветом, множества $E_{2}$ – красным. Предположим, что не существует прямоугольного треугольника с одноцветными вершинами, и рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в треугольник $ABC$ (см. рисунок 1). Каждые две его противоположные вершины должны быть окрашены по-разному — если, например, противоположные вершины $P$ и $Q$ синие, то любая из остальных четырех вершин должна быть красной, так как образует вместе с $P$ и $Q$ прямоугольный треугольник: но тогда любые три из этих красных точек образуют запрещенный одноцветный прямоугольный треугольник.

рис. 2

Ясно, что в таком случае найдутся две соседние разноцветные вершины шестиугольника. Либо эти две вершины, либо противоположные им (тоже разноцветные!) лежат на одной из сторон треугольника. Пусть для определенности на стороне $AB$ лежат синяя вершина $К$ и красная $L$, тогда противоположные им вершины $K’$ и $L’$ будут красной и синей (см. рисунок 3). Но тогда в какой бы цвет ни была окрашена вершина $А$, один из
прямоугольных треугольников $AKL’$ и $ALK’$ будет одноцветным. Противоречие.

рис. 3

Это рассуждение показывает, что даже множество из восьми точек — вершин шестиугольника и любых двух вершин треугольника — нельзя разбить на подмножества без прямоугольных треугольников.

Н.Б. Васильев, В.Н. Дубровский