Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Метка: вторая производная

Производные и дифференциалы высших порядков

Вторая производная функции в точке x0
Пусть функция f(x) имеет производную во всех точках интервала (a,b). Если f′(x) дифференцируема в точке x0∈(a,b), то ее производную называют производной второго порядка в точке x0 и обозначают f»(x0), f(2)(x0), d2f(x0)dx2, f»xx(x0).

Таким образом, по определению
f»(x0)=limΔx→0f′(x0+Δx)−f′(x0)Δx.

    Пример
    Найти f»(x0), если:

  1. f(x)=sinx
    Спойлер
  2. f(x)=x√1+x2
    Спойлер

В общем случае производные высших порядков вычисляются по принципу:
f(n)(x)=(f(n−1)(x))′

Т.е. производные более высоких порядков вычисляются через производные более низкого порядка. Если рассматривать пример 1, то можно заметить, что вторая производная была взята как производная производной первого порядка, а производная третьего порядка выглядит так:
f»′(x)=(f»(x))′=(−sinx)′=−cosx=sin(x+3π2)

Можно заметить некую закономерность в нахождении производных высшего порядка для sinx и вывести общую формулу для этой функции:
f(n)(x)=sin(x+nπ2)

Существуют функции, которые можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Бесконечно дифференцируемая функция
Если функция имеет на [a,b] производные всех порядков, то она называется бесконечно дифференцируемой на [a,b]

Например, к таким функциям можно отнести f(x)=ex т.к. fn(x)=ex

    Производные высших порядков обладают такими свойствами:
    Если f и g имеют производные n-ного порядка, то:

  1. αf+βg тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и (αf+βg)(n)=αf(n)+βg(n).
  2. fg тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и
    (fg)(n)=n∑k=0Cknf(k)g(n−k)(Формула Лейбница)

Замечание! Дифференциалы первого порядка имеют инвариантную форму. Т.е., несмотря на то, будет ли x зависимой или независимой переменной, дифференциал имеет вид
dy=f′(x)dx. Второй дифференциал этим свойством уже не обладает.

Производные и дифференциалы высших порядков

Этот текст составлен для проверки знаний по теме «Производные и дифференциалы высших порядков»

Литература