Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

Определение

$k$-й дифференциал является однородным целым многочленом степени $k$, или как говорят, является формой $k$-й степени относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные $k$-го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (полиномиальные коэффициенты).

Объяснение

Пусть в области $D$ задана некоторая функция $u=f\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)$, имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Дифференциалом  $du$ будем называть следующее выражение:

$$du=\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}$$,

где  $dx_{1},…,dx_{n}$ — произвольные приращения независимых переменных  $x_{1},…,x_{n}$.

Предположим, что существуют непрерывные частные производные второго порядка для  $u$, то есть $du$ будет иметь непрерывные частные производные первого порядка, и можно говорить о дифференциале от этого дифференциала $d\left(du\right)$, который называется дифференциалом второго порядка, и обозначается символом  $d^{2}u$.

Важно, что приращения  $dx_{1},dx_{2},…,dx_{n}$ остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Таким образом, если воспользоваться правилами дифференцирования, будем иметь:

$d^{2}u=d\left(du\right)=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}\right)$$=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}\right)dx_{1}+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{2}}\right)dx_{2}+…+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{n}}\right)dx_{n}$.

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка, $d^{3}u$, и т.д. Вообще, если дифференциал  $\left(k-1\right)$-го порядка, $d^{k-1}u$, уже определен, то дифференциал  $k$-го порядка можно определить реккурентной формулой :

$$
d^{k}u=d\left(d^{k-1}u\right)
$$

Иными словами, если для функции $u$ существуют непрерывные частные производные всех порядков до $k$-го порядка включительно, то $k$-й дифференциал существует.
 

Пример

Спойлер

Рассмотрим вычисление дифференциалов в общем случае(до четвертого порядка):
Если $u=f\left(x,y\right)$, то

$d^{2}u=\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}dx^{2}+2\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}dy^{2}$,

$d^{3}u=\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}dx^{3}+3\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}dxdy+3\frac{\partial^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}dxdy+\frac{\partial^{3}u}{\partial y^{3}}dy^{3}$,

$d^{4}u=\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}dx^{4}+4\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{3}\partial y}dx^{3}dy+6\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}dx^{2}dy^{2}+4\frac{\partial^{4}u}{\partial x\partial y^{3}}dxdy^{3}+\frac{\partial^{4}u}{\partial y^{4}}dy^{4}$

и т.д.

[свернуть]

Свойства дифференциалов высших порядков

  • Дифференциал $n$-го порядка независимой переменной при $n>1$ равен нулю

$d^{n}\left(x\right)=0$

Предположим, что существуют $d^{n}u$ и $d^{n}v$. Тогда:

  • $d^{n}\left(Au+Bv\right)=Ad^{n}u+Bd^{n}v$

AB — константы, следовательно

  • $d^{n}uv=\sum\limits_{k=1}\limits^{n}C_{n}^{k}d^{k}ud^{n-k}v$

Литература

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Таблица лучших: Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференциал в пространстве $\mathbb R^n$

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференциала в одномерном случае, то ознакомьтесь с этой статьей.

Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал [latex]dU[/latex] функции от многих переменных — это функция тех же переменных, и можно определить полный дифференциал этой функции. Таким образом, получим дифференциал второго порядка [latex]d^2U[/latex] изначальной функции [latex]U[/latex], который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет к дифференциалу третьего порядка [latex]d^3U[/latex] изначальной функции и т.д.

Теперь рассмотрим функцию [latex]U=f(x,y)[/latex] двух переменных [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] и предположим, что переменные [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex]  независимые переменные. По определению

[latex]dU=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y[/latex].

При вычислении [latex]d^2U[/latex] обратим внимание, что дифференциалы [latex]dx[/latex] и [latex]dy[/latex] независимых переменных следует рассматривать только как постоянные величины, значит их можно выносить за знак дифференциала

[latex]d^2U=\partial[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x]+\partial [\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y]=\partial x\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\partial y\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\partial x[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x + [/latex]  [latex]+ \frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x \partial y}\partial y]+\partial y[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}]=\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x^2+2\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x \partial y+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}\partial y^2.[/latex]

Вычисляя аналогичным образом [latex]d^3U[/latex], получим

[latex]d^3U=\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^3}\partial x^3+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^2 dy}\partial x^2 \partial y+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x \partial y^2}\partial x \partial y^2+\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial y^3}\partial y^3[/latex].

Эти выражения [latex]d^2U[/latex] и [latex]d^3U[/latex] приводят к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:

[latex]d^nU=(\frac{\partial }{\partial x}\partial x+\frac{\partial }{\partial y}\partial y)[/latex],

причем формулу следует понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, нужно возвести в степень [latex]n[/latex], применяя бином Ньютона, после чего показатели степеней [latex]y \frac{\partial }{\partial x}[/latex] и [latex]\frac{\partial }{\partial y}[/latex] будем считать указателями порядка производных по [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] от функции [latex]f[/latex].

Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных
Пусть функция [latex]z=f(x,y)[/latex] имеет в точке [latex]P_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] дифференциал

[latex]dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{o})\Delta y,[/latex](*)

или

[latex]dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})[/latex]. (**)

Рассмотрим уравнение касательной плоскости

[latex]Z-z_{0}=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})[/latex].

Видим, что правая часть этого уравнения совпадает с правой частью уравнения (*) для дифференциала [latex]dx[/latex].
1234
Левые части этих равенств равны, но в равенстве (*) левая часть и есть дифференциал функции [latex]z=f(x,y)[/latex] в точке [latex]P_{0}(x_{0},y_{0})[/latex], а в уравнении (**) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.

Вывод: геометрический смысл дифференциала функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости.
Правила дифференцировaния
[latex]d(U+V)=dU+dV[/latex]
[latex]d(UV)=UdV+VdU[/latex]
[latex]d\frac{U}{V}=\frac{VdU-UdV}{V^2},[/latex][latex] \ \ V\neq[/latex][latex]0[/latex]

Литература

Тест на тему: Дифференциал

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал


Таблица лучших: Тест на тему: Дифференциал

максимум из 12 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Производные и дифференциалы высших порядков

Вторая производная функции в точке [latex]x_{0}[/latex]
Пусть функция [latex]f(x)[/latex] имеет производную во всех точках интервала [latex](a,b)[/latex]. Если [latex]f'(x)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x_{0}\in (a,b)[/latex], то ее производную называют производной второго порядка в точке [latex]x_{0}[/latex] и обозначают [latex]f»(x_{0}),[/latex] [latex]f^{(2)}(x_{0}),[/latex] [latex]\frac{d^{2}f(x_{0})}{dx^{2}},[/latex] [latex]f_{xx}^{»}(x_{0}).[/latex]

Таким образом, по определению
[latex]f^{»}(x_{0})=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f'(x_{0}+\Delta x)-f'(x_{0})}{\Delta x}.[/latex]

    Пример
    Найти [latex]f»(x_{0})[/latex], если:

  1. [latex]f(x)= \sin{x}[/latex]
    Спойлер

    [latex]f'(x)=\cos{x}=\sin{(\frac{\pi }{2}-x)}=\sin{(x+\frac{\pi }{2})}[/latex]
    [latex]f»(x)=-\sin{x}=\sin{(2\tfrac{\pi }{2}+x)}[/latex]

    [свернуть]
  2. [latex]f(x)=x\sqrt{1+x^{2}}[/latex]
    Спойлер

    [latex]f'(x)=\sqrt{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}};[/latex]
    [latex]f»(x)=(\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}})'[latex]=\frac{4x\sqrt{1+x^{2}}-(1+2x^{2})x(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}}{1+x^{2}}=\frac{3x+2x^{3}}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}};[/latex]

    [свернуть]

В общем случае производные высших порядков вычисляются по принципу:
[latex]f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'[/latex]

Т.е. производные более высоких порядков вычисляются через производные более низкого порядка. Если рассматривать пример 1, то можно заметить, что вторая производная была взята как производная производной первого порядка, а производная третьего порядка выглядит так:
[latex]f»'(x)=(f»(x))’=(-\sin{x})’=-\cos{x}=\sin{(x+3\frac{\pi }{2})}[/latex]

Можно заметить некую закономерность в нахождении производных высшего порядка для [latex]sinx[/latex] и вывести общую формулу для этой функции:
[latex]f^{(n)}(x)=\sin{(x+n\frac{\pi }{2})}[/latex]

Существуют функции, которые можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Бесконечно дифференцируемая функция
Если функция имеет на [latex][a,b][/latex] производные всех порядков, то она называется бесконечно дифференцируемой на [latex][a,b][/latex]

Например, к таким функциям можно отнести [latex]f(x)=e^{x}[/latex] т.к. [latex]f^{n}(x)=e^{x}[/latex]

    Производные высших порядков обладают такими свойствами:
    Если f и g имеют производные n-ного порядка, то:

  1. [latex]\alpha f+\beta g[/latex] тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и [latex](\alpha f+\beta g)^{(n)}=\alpha f^{(n)}+\beta g^{(n)}.[/latex]
  2. [latex]fg[/latex] тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и
    [latex](fg)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(k)}g^{(n-k)}[/latex](Формула Лейбница)

Замечание! Дифференциалы первого порядка имеют инвариантную форму. Т.е., несмотря на то, будет ли x зависимой или независимой переменной, дифференциал имеет вид
[latex]dy=f'(x)dx.[/latex] Второй дифференциал этим свойством уже не обладает.

Производные и дифференциалы высших порядков

Этот текст составлен для проверки знаний по теме «Производные и дифференциалы высших порядков»

Литература