Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

6.3 Интегрирование рациональных функций.

Рациональной функцией (или дробью) называется функция вида
f(x)=P(x)Q(x),
где P(x) и Q(x) – многочлены. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной. Ясно, что каждая рациональная дробь может быть представлена в виде
P(x)Q(x)=R(x)+P1(x)Q(x),
где R(x) – многочлен, а дробь P1(x)Q(x) – правильная. Поскольку интегралы от многочленов вычисляются совсем просто, то мы будем рассматривать методы интегрирования правильных дробей.

Будем различать следующие четыре вида дробей:

  • Axa, где A, a — постоянные.
  • A(xa)k, где A, a — постоянные, k=2,3
  • Mx+Nx2+px+q, где M, N, p, q – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.
  • Mx+N(x2+px+q)k, где M, N, p, q – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.

Покажем как вычисляются интегралы от каждой из этих дробей.

  • axadx=Aln|xa|+C.
  • a(xa)kdx=Ak11(xa)k1+C.
  • Mx+Nx2+px+qdx. Для вычисления этого интеграла представим подынтегральное выражение в виде
    Mx+Nx2+px+q=M2(2x+p)+NpM2x2+px+q=M22x+px2+px+q+NpM2x2+px+q.
    Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену t=x2+px+q. Тогда получим
    2x+px2+px+q=ln(x2+px+q)+C.
    Для вычисления интеграла от второго слагаемого справа выделим полный квадрат в знаменателе, т.е. представим знаменатель в виде x2+px+q=(x+p2)2+qp24. Поскольку квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней, то его дискриминант p24q<0. Обозначим a2=qp24. Выполняя замену x+p2=t, получим
    1x2+px+qdx=1(x+p2)2+a2dx=dtt2+a2=1a2dtt2a2+1==1ad(ta)(ta)2+1=1aarctgta+C.
    Возвращаясь теперь к старой переменной, получим исходный интеграл.
  • Mx+N(x2+px+q)k. Для вычисления этого интеграла, как и в предыдущем случае, представим подынтегральное выражение в виде
    Mx+N(x2+px+q)k=M2(2x+p)+NpM2(x2+px+q)k==M22x+p(x2+px+q)k+Npm2(x2+px+q)k.
    Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену t=x2+px+q. Тогда получим
    2x+p(x2+px+q)kdx=1k+1(x2+px+q)k+1+C.
    Для вычисления интеграла от второго слагаемого, как и в предыдущем случае, выделим полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе. Тогда после замены переменной t=x+p2 он сведется к интегралу вида dt(t2+a2)k. Обозначим этот интеграл через Ik и выведем рекуррентную формулу для вычисления этого интеграла. Будем применять формулу интегрирования по частям. Имеем
    Ik=dt(t2+a2)k=[u=1(t2+a2)k,dv=dtdu=2kt(t2+a2)k+1,v=t]==t(t2+a2)k+2kt2(t2+a2)k+1dt=t(t2+a2)k+2kt2+a2a2(t2+a2)k+1dt==t(t2+a2)k+2kdt(t2+a2)k2ka2dt(t2+a2)k+1==t(t2+a2)k+2kIk2ka2Ik+1.
    Отсюда находим
    Ik+1=12ka2[t(t2+a2)k+(2k1)Ik](k=1,2,).
    При этом, как мы уже вычислили ранее,
    I1=dtt2+a2=1aarctgta+C.
    Итак, и в этом случае мы получили правило вычисления интеграла от дроби четвертого вида.

Из основной теоремы алгебры следует, что каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения конечного числа линейных сомножителей вида xa и квадратичных сомножителей вида x2+px+q, где p24q<0. Именно, справедливо равенство
Q(x)=A(xa1)k1(xar)kr(x2+p1x+q1)m1(x2+psx+qs)ms,(1)
где ki и mi – целые неотрицательные числа.
С использованием этого представления можно показать, что справедлива следующая

Теорема. Пусть P(x)Q(x) – правильная дробь, знаменатель которой допускает разложение (1). Тогда эта дробь единственным образом может быть представлена в виде суммы простых дробей, т.е.
P(x)Q(x)=ri=1kij=1Aij(xai)j+ri=1mij=1Mijx+Nij(x2+Pix+qi)j.

Выше уже показано, что интеграл от каждой простой дроби выражается через элементарные функции. Таким образом, справедлива

Теорема. Каждая рациональная дробь имеет первообразную, которая выражается через элементарные функции, а именно, с помощью рациональных функций, логарифмической функции и арктангенса.

Метод Остроградского. Этот метод интегрирования рациональных дробей предназначен для выделения рациональной части из интеграла от рациональной функции. Именно, используя представление (1), интеграл от правильной дроби представляется в виде
P(x)Q(x)==P(x)A(xa1)k1(xar)kr(x2+p1x+q1)m1(x2+psx+qs)msdx==Rk1++kr+2(m1++ms)r2s1(x)dxA(xa1)k11(xar)kr1(x2+p1x+q1)m11(x2+psx+qs)ms1++Sr+2r1(x)A(xa1)(xar)(x2+p1x+q1)m11(x2+psx+qs)dx,
где многочлены Rk1++kr+2(m1++ms)r2s1(x) и Sr+2s1(x) степени k1++kr+2(m1++ms)r2s1 и r+2s1 соответственно имеют неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты находятся затем из условия равенства производных левой и правой частей записанного равенства. Таким образом, вычисление интеграла от правильной дроби сводится к вычислению интеграла от другой правильной дроби, у которой в знаменателе все множители в первой степени. Такой интеграл вычисляется, как указано выше, путем разложения подынтегрального выражения
на простые дроби. Тем самым отпадает необходимость в использовании полученной выше рекуррентной формулы для вычисления интегралов от простой дроби четвертого типа.

Примеры решения задач

  1. Найти неопределенный интеграл I=2x23x+3x32x2+xdx.
    Решение

    Разложим знаменатель на множители: x32x2+x=x(x1)2. Тогда подынтегральная функция представима в виде

    2x23x+3x(x1)2=Ax+Bx1+C(x1)2,
    где A, B, C – постоянные коэффициенты. Для их нахождения приведем выражение справа к общему знаменателю и, приравнивая числители полученных дробей, найдем

    2x23x+3=A(x1)2+Bx(x1)+Cx.

    Поскольку это тождество имеет место при всех x, кроме x=0,x=1, то коэффициенты этих многочленов при одинаковых степенях x равны. Приравнивая их, получаем линейную систему уравнений

    x2:A+B=2x:2AB+C=3x0:A=3}

    Решая эту систему, находим A=3, B=1, C=2. Подставляя эти значения в разложение подынтегральной функции и вычисляя соответствующие интегралы, получаем
    I=3ln|x|ln|x1|2x1+C=ln|x|3|x1|2x1+C.

  2. Найти неопределенный интеграл I=xdxx3+1dx.
    Решение

    Как и в предыдущем примере, разложим на множители знаменатель:

    x3+1=(x+1)(x2x+1).
    Раскладываем подынтегральное выражение с неопределнными коэффициентами
    xx3+1=Ax+1+Mx+Nx2x+1,
    откуда x=A(x2x+1)+(Mx+N)(x+1). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, составляем линейную систему для нахождения чисел A, M, N:
    x2:0+A+M,x:1=A+M+N,x0:0=A+N.}
    Решая эту систему, находим A=13,M=N=13. Поэтому
    I=13ln|x+1|+13x+1x2x+1dx==13ln|x+1|+162x1x2x+1dx+12dxx2x+1==13ln|x+1|+16ln(x2x+1)+12dx(x12)2+34==13ln|x+1|+16ln(x2x+1)+13arctg23(x12)+C.

  3. Найти неопределенный интеграл (x219x+6)(x1)(x2+5x+6)dx
    Решение

    Разложим знаменатель на множители: (x1)(x2+5x+6)=(x1)(x2)(x3). Тогда подынтегральная функция представима в виде:
    x219x+6(x1)(x2+5x+6)=Ax1+Bx+2+Cx+3
    Для нахождения A,B и C приведем выражение справа к общему знаменателю и, приравнивая числители полученных дробей, найдем
    A(x2+5x+6)+B(x2+2x3)+c(x2+x2)=x219x+6
    Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, составляем систему линейных уравнений для нахождения чисел A,B,C
    x2:1=A+B+Cx:19=5A+2B+Cx0:6=6A3B2C}
    Решаем систему, получаем значения A=1;B=16;C=18. Возвращаемся к изначальному интегралу и находим окончательное решение
    (1x116x+2+18x+3)dx=ln|x1|16ln|x+2|+18ln|x+3|+C.

  4. Найти неопределенный интеграл x26x+8x3+8dx
    Решение

    По формуле суммы кубов раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)
    x26x+8x3+8dx=x26x+8(x+2)(x22x+4)dx.
    Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей
    Ax+2+Bx+Cx22x+4=x26x+8(x+2)(x22x+4).
    Приводим дробь к общему знаменателю
    A(x22x+4)+B(x2+2x)+C(x+2)=x26x+8
    Составим и решим систему
    x2:A+B=1x:2A+2B+C=6x0:4A+2C=8}
    Подставим значения A=2, B=1, C=0 в функцию и найдем интеграл
    (2x+2xx22x+4)dx=2dxx+2+12d(x22x+4)dxx22x+4==2ln|x+2|12d(x22x+4)x22x+4dxx22x+1+3==2ln|x+2|12ln(x22x+4)d(x1)(x1)2+(3)2==2ln|x+2|12ln(x22x+4)13arctg(x13)+C.

Интегрирование рациональных функций

Тест на тему: Интегрирование рациональных функций

Литература:

Смотрите также:

 

Интегрирование дифференциального бинома

Дифференциальным биномом называют выражение вида

[latex] x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx, [/latex]

где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида [latex] R (x,\sqrt[r]{x}) dx [/latex], где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой [latex] t=\sqrt[r]{x} [/latex].
2.Второму случаю соответствует целое число [latex] \frac{m+1}{n} [/latex]. Сделаем подстановку
[latex] z = x^{n} [/latex] и положим для краткости [latex] \frac{m+1}{n}-1=q [/latex], получим

[latex] \int x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx=\frac{1}{n}\int (a+bz)^{p} z^{q}dz [/latex]

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида [latex] R (z,\sqrt[s]{a+bz}) [/latex], где s — знаменатель рационального числа p.
Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

[latex] t=\sqrt[s]{a+bz}=\sqrt[s]{a+bx^{n}}. [/latex]

3. Третьему случаю соответствует целому число [latex] (\frac{m+1}{n}+p) [/latex]. Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида [latex] R (z,\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}) [/latex], так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

[latex] t=\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}=\sqrt[s]{\frac{a}{x^{n}}+b}. [/latex]

В середине 19-го века П.Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).

Примеры

1)Вычислить интеграл [latex] I=\int \frac{ \sqrt{x}dx}{ (1+\sqrt[3]{x})^{2}} = \int x^{\frac {1} {2}} (1+x^{\frac{1}{3}})^{-2} [/latex]. Здесь [latex] m=\frac{1}{2}, n=\frac{1}{3}, p=-2 [/latex].  Так как p — целое, значит используем подстановку из первого случая

[latex] x=t^{6}, dx=6t^{5}dt, \sqrt {x} = t^{3}, \sqrt [3] {x} = t^{2} [/latex]

подставим:

[latex] I = 6 \int\frac{t^{8}}{ (t^{2} + 1)^{2} }dt = [/latex][latex]6 \int (t^{4} — 2t^{2} + 3 — \frac{4} {t^{2}+1} + \frac{1} { (t^{2} + 1)^{2} }) dt = [/latex][latex]\frac {6}{5}x^{\frac{5}{6}} — 4x^{\frac {1}{2}} + 18x^{\frac {1}{6}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}}} { (1 + x^{\frac{1}{3}})} — 21arctg (x^{\frac{1}{6}}) + C [/latex]

2) Вычислить интеграл [latex] I = \int \frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}} dx[/latex]. Здесь [latex] m = 1, n = \frac{2}{3}, p = -\frac{1}{2}[/latex]. Так как [latex]\frac{m+1}{n} = 3[/latex] — целое (второй случай).

[latex]t^{2} = 1 +x^{\frac{2}{8}},[/latex] [latex]x = (t^{2} — 1)^{\frac{8}{2}},[/latex]  [latex]dx = 3t (t^{2}-1)^{\frac{1}{2}} dt[/latex]

подставим:

[latex] I = 3\int (t^{2}-1)^{2} dt = [/latex][latex]\frac{3}{5}t^{6} — 2t^{3} + 3t + C[/latex],

[latex]t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}[/latex]

3) Вычислить интеграл [latex] I=\int x^{5} (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}} dx [/latex]. Графиком подынтегральной функции будет:
curs
В данном случае [latex] m=5,n=2,p=-\frac{1}{2} [/latex], так что [latex] \frac{m+1}{n}=3 [/latex] (второй случай). Сделав подстановку

[latex] t=\sqrt{1-x^{2}},[/latex] [latex]x=\sqrt{1-t^{2}},[/latex] [latex]dx=-\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{2}}}, [/latex]

будем иметь

[latex] -\int (1-t^{2})^{2} dt=[/latex][latex]-\int dt+2\int t^{2}dt-\int t^{4}dt=[/latex][latex]-t+\frac{2}{3}t^{3}-\frac{t^{5}}{5}+C=[/latex][latex]-\sqrt{1-x^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{ (1-x^{2})^{3}} -\frac{\sqrt{ (1-x^{2})^{5} }}{5}+C. [/latex]

 

4) Вычислить интеграл [latex] I=\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a+bx^{2}}}=\int x^{-2} (a+bx^{2})^{-\frac{1}{2}} dx [/latex]. Здесь [latex] m=-2,n=2,p=-\frac{1}{2} [/latex], так что [latex] \frac{m+1}{n}+p=-1 [/latex] (третий случай) Сделав подстановку

[latex] t=\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b},[/latex] [latex]x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{t^{2}-b}},[/latex] [latex]dx=-\frac{\sqrt{a}tdt}{\sqrt{ (t^{2}-b)^{3} }}, [/latex]

будем иметь

[latex] I=\int — (\frac{dt}{a}) = [/latex][latex]-\frac{t}{a}+C=[/latex][latex]-\frac{\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}}{a}+C. [/latex]

Литература

  • В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, М.:Наука, 1982. стр. 227, 228.

Интегрирование дифференциального бинома

Интегрирование дифферециального бинома

Таблица лучших: Интегрирование дифференциального бинома

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных