Метод подстановки

Во многих случаях свести нахождение интеграла к табличному виду позволяет метод подстановки, который так же называют метод замены переменных. Основную идею метода составляет следующая теорема.

Теорема:

Пусть функция x = \varphi (t) непрерывно дифференцируема на промежутке T, а на промежутку X такой, что \forall t \in T, x = \varphi (t) \in X определена непрерывная функция f(x). Тогда,

\int {f(x)dx}= \int {f(\varphi (t))\varphi '} (t)dt

Практическая польза формулы замены переменной состоит в том, что когда вы затрудняетесь взять интеграл, вы делаете замену u=g(x), т.е. обозначаете некоторое выражение g(x), входящее в подынтегральнyю функцию, новой буквой u, и затем преобразуете интеграл под формулу замены. Хотя формула справедлива для любой замены (удовлетворяющей условия теоремы), задача состоит в подборе такой, которая приводит к табличному интегралу (или нескольким табличным интегралам). Такую замену будем называть хорошей. Вообще говоря, подбор хорошей замены не всегда очевиден. Если одна замена не сработала, не отчаивайтесь, а пробуйте другую.

Пример 1:

\int {\rm ctg} xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}dx = \left|\begin{array}{l}t = \sin x;\\dt = \cos xdx.\end{array} \right| = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln |t| + C = \ln \left| {\sin x} \right| + C. 

Пример 2:

\int {\rm tg} xdx = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}dx = \left| \begin{array}{l}t = \cos x;\\dt = - \sin xdx.\end{array} \right| = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln |t| + C = - \ln \left| {\cos x} \right| + C. 

Литература

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *