геометрическая интерпретация

Задана плоскость. Зададим на ней декартову систему координат.

Данная плоскость называется комплексной. Ось $x$ называется вещественной, а ось $y$ — мнимой. На данном рисунке видно, что геометрически комплексное число представляет из себя вектор. Между алгебраической и геометрической интерпретациями комплексного числа существует биекция $z=\left(a,b\right)=$ $a+bi \leftrightarrow M\left(a,b\right)$

Определение 1

Модулем комплексного числа $z=a+bi$ называется корень разности квадратов его действительной и мнимой частей.
$\left|z\right|=$ $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=$ $\sqrt{\left(\mathrm{Re}\ z\right)^{2}-\left(\mathrm{Im}\ z\right)^{2}}$ , $\left|z\right| \geq 0$
$\left|z\right| = 0 \Leftrightarrow z=0$

Определение 2

Расстояние между двумя векторами на комплексной плоскости вычисляется по формуле:
$\left|z_{1}-z_{2}\right|=$ $\left|\left(x_{1}+iy_{1}\right)-\left(x_{2}+iy_{2}\right)\right|=$ $\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$

Определение 3

Величина угла, который образует вектор, изображающий данное комплексное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа $\left(\mathrm{Arg}\ z\right)$ . Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки считается положительным, а по часовой — отрицательным.

$\mathrm{Arg}\ z = \mathrm{arg}\ z + 2\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ , $0\leq \mathrm{arg}\ z < 2\pi$ , где $\mathrm{arg}\ z$ - главное значение аргумента комплексного числа.

Пример 1

Задание:
Изобразите графически $1\leq \left|z+1-2i\right|< 2$ Решение:
$1\leq \left|z+1-2i\right|=$ $\sqrt{\left(x+1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}<2$ Ответ:

Пример 2

Задание:
Изобразите графически $\frac{\pi}{6}\leq \mathrm{arg}\ z<\frac{\pi}{3}$ Ответ:

Литература:

Белозеров Г.С. Конспект лекций
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2004, стр. 169-170
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 31-33