Геометрический смысл производной

Если функция

$y=f\left(x\right)$ имеет производную в точке

$x_{0}$ , значит

$\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {f}’\left(x\right)$ , тогда существует предельное положение секущей к графику функции в точке

$M_{0}\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right):$

$y-y_{0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\left(x-x_{0}\right) \left(x \to x_{0}\right)$ это означает, что в точке

$M_{0} \exists l_{0}=k_{0}x + b_{0}$ — касательная к графику функции, причём

$k_{0}={f}’\left(x_{0}\right)$ .

Таким образом геометрический смысл производной — угловой коэффициент касательной к графику функции

$y = f\left(x\right)$ в точке

$M_{0}\left(x_{0},{f}\left(x_{0}\right)\right)$ , а уравнение касательной

$l_{0} ={f}\left(x_{0}\right)+ {f}’\left(x_{0}\right)\left(x — x_{0}\right)$ .

Пример:

Найдите уравнение касательной к графику функции

$y=e^{2x-3}$ в точке

$x_{0} = 5$ , а также угол наклона касательной в этой точке.
Решение:
Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид

$l={f}\left(x_{0}\right)+{f}’\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ , причём

${f}’\left(x_{0}\right)=\mathrm{tg}\alpha$ , где

$\alpha$ — угол наклона касательной.
Находим значение касательной в точке 5, получаем

${f}’\left(x\right)=2e^{2x-3}$ , а в точке

$x_{0}=5: \, {f}’\left(5\right)=2e^{7} \Rightarrow$

$l = e^{7}+2e^{7}\left(x-5\right) =$

$-9e^{7}+2e^{7}x$ ,

$\alpha = \mathrm{arctg}\left(2e^{7}\right).$

Список литературы:

Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 109.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Тест:

Тест на знание геометрического смысла производной.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 2
Выберите среди предложенных вариантов тот, который описывает касательную к графику функции $y = \lg {x}$ (десятичный логарифм) в точке 2.
- $\frac{1}{x\ln10}\left(x-2\right)+\lg{x}$
- $\frac{1}{2\ln10}\left(x-x_{0}\right)+\lg{2}$
- $\frac{1}{2\ln10}\left(x-2\right)+\lg{2}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 3
Найдите угол наклона касательной к графику функции $y = \frac{2x^2+3}{3x+4}$ в точке 3.
- $0.5$
- $\frac{93}{169}$
- $\mathrm{arctg}\left(\frac{93}{169}\right)$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 8

Установите соответствие между функциями и касательными к ним в точке $x_{0}$ .

Элементы сортировки

$l = -\left(x-1\right)$
$l = \frac{1}{2}\left(x -1\right)+ \frac{\pi}{4}$
$l = 3e^{6}\left(x-2\right)+e^{6}$
$l = -\frac{1}{2}\left(x-1\right)-\frac{\pi}{4}$

$y=\frac{1}{x-3}, x_{0} = 2$

$y=\mathrm{arctg}\left(x\right), x_{0} = 1$

$y=e^{3x}, x_{0} = 2$

$y=\mathrm{arctg}\left(-x\right), x_{0} = 1$

Таблица лучших: Тест на знание геометрического смысла производной.

максимум из 13 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрический смысл предела

Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции $y=f(x)$ и отметим на нём точки $x=a$ и $y=A$ .

Предел функции $y=f(x)$ в точке $x\rightarrow a$ существует и равен $A$ , если для любой $\varepsilon$ -окрестности точки $A$ можно указать такую $\delta$ -окрестность точки $a$ , что для любого $x$ из этой $\delta$ -окрестности значение $y=f(x)$ будет находится в $\varepsilon$ -окрестности точки $A$ .

Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при $x\rightarrow a$ не важно, какое значение принимает функция в самой точке $a$ . Можно привести примеры, когда функция не определена при $x=a$ или принимает значение, отличное от $A$ . Тем не менее, предел может быть равен $A$ .

Литература:

Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.52. Определение предела функции. (с. 115-117)

Непрерывность в точке и существование производной

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Формулировка: Если функция $y = f\left(x\right)$ определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности $U\left(x_{0}\right)$ , то она непрерывна в точке $x_{0}$ .

Доказательство: Пусть функция $y = f\left(x\right)$ — имеет производную в точке $x_{0}\Rightarrow$ ; $\Rightarrow \exists \lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=$ ${f}’\left(x_{0}\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} =$ ${f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)$ , где $\alpha \left(\Delta x\right) = \underset{\Delta x \to 0}{o\left(\Delta x\right)}$ $\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) =$ $\left(x-x_{0}\right)\left({f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)\right)\Rightarrow$ $\lim\limits_{x\to x_{0}} f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = 0\Rightarrow$ функция $f\left(x\right)$ — непрерывна в точке $x_{0}$ .

Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.

Контр-пример:
$y = |x|, y \in C_{\left(-\infty; +\infty\right)}$
$\forall x_{0} \in \mathbb{R} \lim\limits_{x \to x_{0}} |x| = |x_{0}|$

При $x_{0} = 0$ и $\Delta x > 0$ , то получим $\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 \neq \lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1$ , где $\Delta x < 0$ , а значит функция $y = |x|$ — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.

Список литературы:

Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Тест:

Непрерывность в точке и существование производной

Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 5
Какие из ниже-представленных функций являются дифференцируемыми в точке 0?
- $x^2$
- $|x|$
- $\frac{1}{x}$
- $4x^3$
- $e^x$
- $\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
- $\cos x$
- $\frac{1}{1+x^2}$
- $\ln\left(x-1\right)$
Правильно 5 / 5Баллы

Отлично!

Неправильно / 5 Баллы

Ай-ай, будьте внимательней.

Задание 2 из 3

2.

Количество баллов: 7

Установите соответствие между функциями и точками, в которых они дифференцируемы/не дифференцируемы.

Элементы сортировки

не дифференцируема в точке 0
не дифференцируема в точке -1
дифференцируема на всей области определения
не является дифференцируемой

$sin\left(\frac{1}{x}\right)$

$\frac{1}{1+x^5}$

$e^{x^2}$

Функция Дирихле, принимающая значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом

Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 4
Что даёт нам дифференцируемость в точке, в контексте данного материала?
- Если функция дифференцируема в точке, то по необходимому условию дифференцируемости в точке она обязательно в этой точке. Достаточно ли непрерывности в точке, для того что бы говорить о наличии производной в этой точке? .
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной

максимум из 16 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: геометрический смысл

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Пример:

Тест:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Тест на знание геометрического смысла производной.

Геометрический смысл предела

Литература:

Непрерывность в точке и существование производной

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Тест:

Непрерывность в точке и существование производной

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат