Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Если функция y=f(x) имеет производную в точке x0, значит limΔx0ΔyΔx=f(x), тогда существует предельное положение секущей к графику функции в точке M0(x0,f(x0)): yy0=ΔyΔx(xx0)(xx0) это означает, что в точке M0l0=k0x+b0 — касательная к графику функции, причём k0=f(x0).

Иллюстративный материал.

Таким образом геометрический смысл производной — угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке M0(x0,f(x0)), а уравнение касательной l0=f(x0)+f(x0)(xx0).

 

Пример:

Найдите уравнение касательной к графику функции y=e2x3 в точке x0=5, а также угол наклона касательной в этой точке.
Решение:
Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид l=f(x0)+f(x0)(xx0), причём f(x0)=tgα, где α — угол наклона касательной.
Находим значение касательной в точке 5, получаем f(x)=2e2x3, а в точке x0=5:f(5)=2e7l=e7+2e7(x5)=9e7+2e7x, α=arctg(2e7).

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 109.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

 

Тест:

Тест на знание геометрического смысла производной.

Таблица лучших: Тест на знание геометрического смысла производной.

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрический смысл предела

Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции y=f(x) и отметим на нём точки x=a и y=A.

grafik1

Предел функции y=f(x) в точке xa существует и равен A, если для любой ε-окрестности точки A можно указать такую δ-окрестность точки a, что для любого x из этой δ-окрестности значение y=f(x) будет находится в ε-окрестности точки A.

Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при xa не важно, какое значение принимает функция в самой точке a. Можно привести примеры, когда функция не определена при x=a или принимает значение, отличное от A. Тем не менее, предел может быть равен A.

Литература:

Непрерывность в точке и существование производной

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Формулировка: Если функция y=f(x) определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности U(x0), то она непрерывна в точке x0.

Доказательство: Пусть функция y=f(x) — имеет производную в точке x0;limxx0f(x)f(x0)xx0=f(x0)f(x)f(x0)xx0=f(x0)+α(Δx), где α(Δx)=o(Δx)Δx0f(x)f(x0)=(xx0)(f(x0)+α(Δx))limxx0f(x)f(x0)=0 функция f(x)непрерывна в точке x0.

Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.

Контр-пример:
y=|x|,yC(;+)
x0Rlimxx0|x|=|x0|
KPabs
При x0=0 и Δx>0, то получим limΔx0+ΔyΔx=1limΔx0ΔyΔx=1, где Δx<0, а значит функция y=|x| — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Тест:


Непрерывность в точке и существование производной

Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.

Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной

максимум из 16 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных