Примеры интегрирования рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

(Прочитав разделы «Универсальная подстановка» и «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x», попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

Найти интеграл $latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$

Подсказка: используйте подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$

Спойлер

$\small \inline \dpi{100} \fn_jvn \Delta$ Подынтегральная функция рационально зависит от $latex \sin x$ и $latex \cos x$ ; применим подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$ ,

тогда $latex \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ; $latex \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ; $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ и

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=$ $latex \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}+3\cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=$

$latex =2 \int \frac{dt}{2t^{2}+8t+5}=$ $latex \int \frac{dt}{(t+2)^{2}}=$ $latex =-\frac{1}{t+2}+C$ .

Возвращаясь к старой переменной, получим:

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}$ .

Подсказка используйте замену $latex \cos x=t$ , а также свои знания по теме «Тригонометрические тождества»

Спойлер

$latex \triangle$ Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем $latex \cos x=t$ .

Отсюда $latex \sin ^{2}x=1-t^{2},\ \cos 2x=2\cos ^{2}x-1=2t^{2}-1,\ dt=-\sin x \ dx.$

Таким образом :

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^{2})(-dt)}{2t^{2}-1}=\int \frac{(2t^{2}-2)\ dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{1}{2}\int \frac{2t^{2}-4}{2t^{2}-1}\ dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\int \frac{d(t\sqrt{2})}{2t^{2}-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\ln \left | \frac{t\sqrt{2}-1}{t\sqrt{2}+1} \right |+C.$

Следовательно:

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left | \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1} \right |+C .$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx$

используйте подстановку $latex t=2+3\sinh x$

Спойлер

$latex \triangle$ Сделаем подстановку $latex t=2+3\sinh x,\ du=3\cosh xdx.$ Тогда $latex \cosh xdx=\frac{dt}{3}.$ Следовательно, интеграл равен

$latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx=\int \frac{dt}{3}\cdot \frac{1}{t}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln \left | t \right |+C=\frac{1}{3}\ln \left | 2+3\sinh x \right |+C.$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \sinh ^{3}xdx$
Подсказка: используйте гиперболиские соотношения

Спойлер

$latex \triangle$ Поскольку $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ , и, следовательно, $latex \sinh ^{2}x=\cosh ^{2}x-1,$ интеграл можно переписать в виде

$latex \mathbb{I}=\int \sinh ^{3} xdx=\int \sinh ^{2}x\cosh xdx=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx$

Делая замену $latex t=\cosh x,\ dt=\sinh xdx,$ получаем

$latex \mathbb{I}=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx=\int (t^{2}-1)dt=$

$latex =\frac{t^{3}}{3}-t+C=\frac{\cosh ^{3}x}{3}-\sinh x+C$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 234-242
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, 1964 г., глава 8, §4, стр. 74-78
Ещё больше примеров можно найти здесь

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку $latex x=2\arctan t$ или $latex \tan \frac{x}{2}=t$ .

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$ , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ; $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

Гиперболические функции определяются следующим образом:

$latex \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ; $latex \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .

Приведем еще несколько полезных соотношений :

$latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ ;

$latex \sinh 2x=2\sinh \cosh$ ;

$latex \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2}$ .

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки :

$latex t=e^{x}$ ; $latex x=\ln t$ ; $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от $latex \sin x$ , $latex \cos x$ и $latex \sinh x$ , $latex \cosh x$ »

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 234-242
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, 1964 г., глава 8, §4, стр. 74-78
Ещё больше примеров можно найти здесь

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Универсальная подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$ , где R-рациональная функция.

Спойлер

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

[свернуть]

Спойлер

$latex t=e^{x}$ ; $latex x=\ln t$ ; $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

[свернуть]

Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 234-242
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, 1964 г., глава 8, §4, стр. 74-78
Ещё больше примеров можно найти здесь

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x. Универсальная подстановка.

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$ , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

Гиперболические функции определяются следующим образом:

$latex \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ; $latex \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .

Приведем еще несколько полезных соотношений :

$latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ ;

$latex \sinh 2x=2\sinh \cosh$ ;

$latex \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2}$ .

$latex t=e^{x}$ ; $latex x=\ln t$ ; $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

Рассмотрим несколько примеров:

(Прочитав вышеизложенный материал, попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

Найти интеграл $latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$

Подсказка: используйте подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$

Спойлер

тогда $latex \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ; $latex \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ; $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ и

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=$ $latex \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}+3\cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=$

$latex =2 \int \frac{dt}{2t^{2}+8t+5}=$ $latex \int \frac{dt}{(t+2)^{2}}=$ $latex =-\frac{1}{t+2}+C$ .

Возвращаясь к старой переменной, получим:

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}$ .

Подсказка используйте замену $latex \cos x=t$ , а также свои знания по теме «Тригонометрические тождества»

Спойлер

$latex \triangle$ Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем $latex \cos x=t$ .

Отсюда $latex \sin ^{2}x=1-t^{2},\ \cos 2x=2\cos ^{2}x-1=2t^{2}-1,\ dt=-\sin x \ dx.$

Таким образом :

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^{2})(-dt)}{2t^{2}-1}=\int \frac{(2t^{2}-2)\ dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{1}{2}\int \frac{2t^{2}-4}{2t^{2}-1}\ dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\int \frac{d(t\sqrt{2})}{2t^{2}-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\ln \left | \frac{t\sqrt{2}-1}{t\sqrt{2}+1} \right |+C.$

Следовательно:

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left | \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1} \right |+C .$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx$

используйте подстановку $latex t=2+3\sinh x$

Спойлер

$latex \triangle$ Сделаем подстановку $latex t=2+3\sinh x,\ du=3\cosh xdx.$ Тогда $latex \cosh xdx=\frac{dt}{3}.$ Следовательно, интеграл равен

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \sinh ^{3}xdx$
Подсказка: используйте гиперболиские соотношения

Спойлер

$latex \mathbb{I}=\int \sinh ^{3} xdx=\int \sinh ^{2}x\cosh xdx=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx$

Делая замену $latex t=\cosh x,\ dt=\sinh xdx,$ получаем

$latex \mathbb{I}=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx=\int (t^{2}-1)dt=$

$latex =\frac{t^{3}}{3}-t+C=\frac{\cosh ^{3}x}{3}-\sinh x+C$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Литература:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова (издание 6-е часть 1) стр. 234-242
Конспекты по мат.анализу (преп. Лысенко З.М.)
Ещё больше примеров можно найти здесь

Дополнительные материалы :

Лекции по матанализу т1. стр. 171-173
Г.М.Фихтенгольц т.2 1964 год стр. 73-78

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл	Значение
$\int dx$	$x+C$
$\int a^xdx$	$\frac{a^x}{\ln{a}}+C$
$\int e^xdx$	$e^x+C$
$\int x^adx$	$\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$
$\int \frac{dx}{x}$	$\ln\|{x}\|+C$
$\int \frac{dx}{2\sqrt{x}}$	$\sqrt{x}+C$
$\int \cos xdx$	$\sin x+C$
$\int \sin xdx$	$-\cos x+C$
$\int \mathop{\rm sh} xdx$	$\mathop{\rm ch} x+C$
$\int\mathop{\rm ch} xdx$	$\mathop{\rm sh} x+C$
$\int \frac{dx}{\sin^2x}$	$\mathop{\rm -ctg} x + C$
$\int \frac{dx}{\mathop{\rm ch}^2x}$	$\mathop{\rm th} x+ C$
$\int \frac{dx}{\cos^2x}$	$\mathop{\rm tg}x +C$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2}$	$\frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{\mathop{\rm sh}^2x}$	$\mathop{\rm -cth}x+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$	$\ln\|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\|+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\arcsin \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{a^2-x^2}$	$\frac{1}{2a}\ln\|\frac{a+x}{a-x}\|+C$
$\int \frac{dx}{x^2-a^2}$	$\frac{1}{2a}\ln\|\frac{x-a}{x+a}\|+C$

Решите примеры:

$\int (2x-3)dx$

Спойлер

$x^2-3x+C$

[свернуть]
$\int \cos^2xdx$

Спойлер

$\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin2x)+C$

[свернуть]
$\int (2x-3)^2dx$

Спойлер

$\frac{4}{3}x^3-6x^2+9x+C$

[свернуть]

Литература

Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.

Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Список литературы:

Дополнительные материалы :

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Список литературы:

Дополнительные материалы :

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Список литературы:

Дополнительные материалы :

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Литература:

Дополнительные материалы :

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

Таблица лучших: Таблица основных интегралов