Мера Жордана в n-мерном пространстве

Для начала определим некоторые важные понятия и рассмотрим их свойства.

Клеточное множество в $\mathbb{R}^n$

Пусть задано множество $A$ . Совокупность множеств $\left \{ A_1,A_2,…,A_n \right \}$ назовем разбиением множества $A$ , если выполнены условия:
1) $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^n A_i$ .
2) Множества $A_1,A_2,…,A_n$ попарно не пересекаются.
Множество
$\Pi=\left\{\left(x_1,…,x_n\right):\; a_i\leq x_i < b_i, \;i=\overline{1,n}\right\}$
будем называть клеткой в $\mathbb{R}^n$ . Пустое множество — тоже клетка, размер которой бесконечно мал.
Множество $A\in\mathbb{R}^n$ называется клеточным, если оно является объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.

Свойства клеточных множеств.

Свойство 1. Пересечение двух клеток есть клетка.

Спойлер

Свойство 2. Объединение конечного числа непересекающихся клеточных множеств является клеточным множетсвом

Спойлер

Свойство 3. Пересечение двух клеточных множеств есть клеточное множество.

Спойлер

Предположим, у нас есть множества $A$ и $B$ . Каждое из этих множеств мы можем разбить на клетки:
$\Pi_1,…,\Pi_p$ $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_q^{\prime}$
Тогда множество $A\cap B$ можно разбить на клетки вида $\Pi_{ij}=\Pi_i\cap\Pi_j^\prime,\;i=\overline{1,p},j=\overline{1,q}$ , а , следовательно, по свойству 1, оно является клеточным.

[свернуть]

Свойство 4. Разность двух клеток есть клеточное множество.

Спойлер

Если клетка $\Pi$ пересекает клетку $Q$ : $R=\Pi\cap Q$ , то разность $\Pi \setminus Q$ равна разности $\Pi \setminus R$ , и существует разбиение клетки $\Pi$ такое что $R$ является одной из клеток разбиения. А значит, мы можем ее удалить, получив в результате клеточное множество.

[свернуть]

Свойство 5. Разность двух клеточных множеств есть клеточное множество.

Спойлер

Пусть имеется клеточное множество $A$ . Разобьем его на клетки $\Pi_1,…,\Pi_p$ . Докажем сначала, что разность клеточного множества и клетки есть клеточное множество. Пусть $Q$ — произвольная клетка. По свойству 4 множества $K_i=\Pi_i\setminus Q$ — клеточные, и попарно непересекающиеся. Следовательно, совокупность множеств $\left \{ K_1,K_2,…,K_p \right \}$ является разбиением разности множеств $A\setminus Q$ . Теперь зададим клеточное множество $B$ , и разобьем его на клетки $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_m^{\prime}$ . Тогда множество $A\setminus B$ можно получить последовательным вычитанием клеток $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_m^{\prime}$ из множества $A$ , то есть оно также является клеточным.

[свернуть]

Свойство 6. Объединение конечного числа клеточных множеств есть клеточное множество

Спойлер

Докажем для случая двух множеств. Пусть $A$ и $B$ — клеточные множества. В силу свойств 3 и 5 $A\setminus B,\; B\setminus A,\; A\cap B$ — непересекающиеся клеточные множества. Тогда по свойству 2 их объединение будет клеточным множеством, которое, в свою очередь совпадает с $A\cup B$

[свернуть]

Мера клеточного множества

Ребром клетки назовем любой из ее составляющих полуинтервалов $\left[a_i,\;b_i\right)$ .
Мерой клетки будем называть произведение длин ее ребер: $m\left(\Pi\right)=\left(b_1-a_1\right)…(b_n-a_n)$ Для одномерного случая это будет длина полуинтервала, для двумерного — площадь прямоугольника, для трехмерного — объем параллелепипеда.
Мерой клеточного множества $A$ назовем число:
$m\left(A\right)=\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_i\right),$
где $\Pi_1,…,\Pi_p$ — разбиение множества $A$ .
Теперь докажем корректность определения.

Лемма 1. Мера клеточного множества не зависит от способа разбиения этого множества на клетки.

Спойлер

Легко показать, что утверждение верно для каждой отдельной клетки(доказывается прямым подсчетом). Пусть существуют два различных разбиения клеточного множества $A:\;\Pi_1,…,\Pi_p$ и $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_q^{\prime}$ . Обозначим $\Pi_{ij}=\Pi_i\cap\Pi_j$ . Понятно, что $\Pi_i=\bigcup\limits_{j=1}\limits^q\Pi_{ij}^\prime$ , а $\Pi_j^\prime=\bigcup\limits_{i=1}\limits^p\Pi_{ij}$ . Тогда:
$\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_i\right)=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^qm\left(\Pi_{ij}\right)=\sum_{j=1}^q\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_{ij}\right)=\sum_{j=1}^qm\left(\Pi_j^\prime\right),$
что и требовалось доказать.

[свернуть]

Свойства меры клеточных множеств

Свойство 1. Если клеточные множества $A_1,…,A_p$ попарно не пересекаются, то
$m\left(\bigcup_{i=1}^pA_i\right)=\sum_{i=1}^pm\left(A_i\right)$

Спойлер

Свойство 2. Если $A$ и $B$ - клеточные множества и $A\subset B$ , то
$m\left(B\right)=m\left(A\right)+m\left(B\setminus A\right),\; m\left(A\right)\leq m\left(B\right).$

Спойлер

Множества $A$ и $B\setminus A$ не пересекаются, следовательно, по свойству 1, мера множества $B=A\cup \left(B\setminus A\right)$ будет равна сумме их мер.

[свернуть]

Свойство 3. Если $A_1,…,A_p$ — клеточные множества, то
$m\left(\bigcup_{i=1}^pA_i\right)\leq \sum_{i=1}^pm\left(A_i\right)$

Спойлер

Докажем по индукции. Пусть $p=2$ . Обозначим $B=A_1\cup A_2$ . Тогда, поскольку $A_1\subset B$ и $B\setminus A_1\subset A_2$ , выполняется свойство 5:
$m\left(A_1\cup A_2\right)=m\left(B\right)=m\left(A_1\right)+m\left(B\setminus A_1\right)\leq m\left(A_1\right)+m\left(A_2\right).$
Пусть неравенство выполняется для $p=k$ . Докажем для $p=k+1$ . Обозначим $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^kA_i$ . Тогда мы можем рассмотреть пересечение множеств $A$ и $A_k+1$ , аналогично случаю $p=2$ , причем $m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^kA_i\right)\leq \sum\limits_{i=1}\limits^km\left(A_i\right)$ .

[свернуть]

Внутренностью клеточного множества назовем совокупность всех его внутренних точек, границей клетки — совокупность всех ее ребер.

Свойство 4. Для любого клеточного множества $A$ и любого $\varepsilon>0$ существует клеточное множество $A_\varepsilon,$ такое что $A_\varepsilon\subset\overline{A_\varepsilon}\subset A^0\subset A,$ где $\overline{A_\varepsilon}$ — замыкание множества $A_\varepsilon$ , $A^0\;$ — внутренность множества $A_\varepsilon$ .

Спойлер

Докажем для одной клетки $\Pi$ . Возьмем произвольную точку $\left(x_1,…,x_n\right)$ . Она будет принадлежать границе клетки, если существует такое $i$ , что $x_i=a_i$ или $x_i=b_i$ (следует из определения клетки, где $\left[a_i, b_i\right), i=\overline{1,n}$ — ребра клетки). Сдвигая концы ребра $\left[a_i, b_i\right)$ внутрь клетки, постоим клетку $\Pi_\varepsilon$ , не содержащую граничных точек $\Pi$ , мера которой будет отличаться от меры $\Pi$ меньше, чем на $A$ .

[свернуть]

Подготовив все необходимые понятия, перейдем к основной части нашей работы.

Мера Жордана

Множество $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ называется измеримым по Жордану, если для любого $\varepsilon>0$ найдутся два клеточных множества $A, B$ , такие что $A \subset \Omega \subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)<\varepsilon$ .

Рис. 1. Иллюстрация к определению множества, измеримого по Жордану.

Мы видим, что $\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)\leq\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right).$
Числа $\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)$ и $\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right)$ называются соответственно нижней и верхней мерой Жордана. Если эти меры равны, то множество $m\left(\Omega\right)$ — измеримо, а его мерой будет число $m\left(\Omega\right)=\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)=\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right)$ .
Докажем корректность определения.

Лемма 2. В определении меры измеримого по Жордану множества $\Omega$ число $m\left(\Omega\right)$ существует и единственно, причем
$m\left(A\right)\leq m\left(\Omega\right)\leq m\left(B\right)$

Спойлер

Пусть $A$ и $B$ — клеточные множества, $A \subset \Omega \subset B$ .
Существование.
По свойству 2 меры клеточных множеств $m\left(A\right)\leq m\left(B\right)$ . Следовательно, найдется число $\gamma$ , такое что
$m\left(A\right)\leq \sup_{A\subset\Omega}m\left(A\right)\leq \gamma \leq \inf_{\Omega\subset B}m\left(A\right)\leq m\left(B\right).$
Не ограничивая общности рассуждений, возьмем $m\left(\Omega\right)=\gamma$ . Мы можем так сделать, исходя из определения меры, а, следовательно, число $m\left(\Omega\right)$ существует.
Единственность.
Пусть существуют два числа $\alpha$ и $\beta$ , разделяющие числовые множества, порожденные мерами клеточных множеств $A$ и $B$ :
$m\left(A\right)\leq \alpha \leq \beta \leq m\left(B\right).$
Множество $\Omega$ измеримо по Жордану, поэтому для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $A_\varepsilon$ и $B_\varepsilon$ , такие что:
$A_\varepsilon\subset\Omega\subset B_\varepsilon, m\left(B_\varepsilon\right)-m\left(A_\varepsilon\right)<\varepsilon.$
Следовательно, верно неравенство: $0\leq\beta-\alpha\leq m\left(B_\varepsilon\right)-m\left(A_\varepsilon\right)<\varepsilon,$ а, значит, $\alpha=\beta$ ( $\varepsilon$ выбирается произвольно).

[свернуть]

Рассмотрим еще один важный случай.

Множества жордановой меры нуль

Чтобы определить понятие множества меры нуль, докажем небольшую лемму.

Лемма 3. Если $E\subset\mathbb{R}^n$ и для любого $\varepsilon>0$ найдется клеточное множество $B=B_\varepsilon$ такое что $E\subset B$ и $mB<\varepsilon$ , то $mE=0$

Спойлер

Пусть $A=\varnothing$ , тогда $A\subset E\subset B,\; mB-mA=mB<\varepsilon$ , то есть $E$ — измеримо по Жордану. В силу произвольности $\varepsilon$ получаем, что $mE=0$ .

[свернуть]

Определенное таким образом множество будем называть множеством меры нуль. Такие множества обладают некоторыми важными свойствами, которые мы сейчас и рассмотрим.

Свойство 1. Объединение конечного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.

Спойлер

Докажем для двух множеств(для большего числа доказывается аналогично). Пусть заданы множества $E_1$ и $E_2$ , такие что $m\left(E_1\right)=m\left(E_2\right)=0$ . Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $B_1$ и $B_2$ , такие что $E_1\subset B_1,\; E_2\subset B_2,\; m\left(B_1\right)<\frac{\varepsilon}{2},\; m\left(B_2\right)<\frac{\varepsilon}{2}.\;$ Пусть $B=B_1\cup B_2$ . По доказанному выше $B$ — клеточное множество, и выполняется:
$E_1\cup E_2\subset B_1\cup B_2,\quad m\left(B\right)\leq m\left(B_1\right)+m\left(B_2\right)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,$
а значит, $m\left(E_1\cup E_2\right)=0$ .

[свернуть]

Свойство 2. Подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль.

Спойлер

Пусть $E\prime$ и $E\prime$ — множества меры нуль. Тогда, по определению, для любого $\varepsilon>0$ найдется клеточное множество $A$ , такое что $E\prime\subset E\subset A$ и $m\left(A\right)<\varepsilon$ . Тогда, по свойству 1, $m\left(E\right)=0$ .

[свернуть]

Логично, что должны быть определенные необходимые и достаточные условия измеримости множества по Жордану. Прежде чем перейти к ним, докажем вспомогательную лемму.

Лемма 4 Если связное множество $A\subset\mathbb{R}^n$ не имеет общих точек с границей множества $B\subset\mathbb{R}^n$ , то $A$ лежит либо внутри $B$ , либо внутри его дополнения.

Спойлер

Предположим противное. Пусть существуют две точки $\alpha$ и $\beta$ множества $A$ , такие что $\alpha$ принадлежит внутренности $B$ , а $\beta$ принадлежит внутренности $B\setminus A$ . По условию множество $A$ — связно, потому мы можем соединить эти две точки некоторой кривой $\Gamma$ . Разобьем точки кривой на два класса: точка $\gamma$ принадлежит первому классу, если дуга кривой $\Gamma$ с концами $\alpha$ и $\beta$ лежит в множестве $B$ . Второму классу будут принадлежать все остальные точки кривой. Тогда, согласно теореме об отделимости, мы можем разделить эти 2 класса некоторой точкой $e$ , которая не принадлежит ни внутренности $B$ , ни внутренности $B\setminus A$ . Тогда точка $e$ является граничной для множества $B$ , но по условию она принадлежит множеству $A$ . Получаем противоречие.

[свернуть]

И, наконец, докажем критерий.

Теорема(критерий измеримости множества в $\mathbb{R}^n$ ). Множество $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ будет измеримым по Жордану тогда и только тогда, когда оно ограниченно, а его граница $\partial\Omega$ имеет жорданову меру нуль.

Спойлер

Необходимость
Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ — измеримое по Жордану множество. Это значит, что для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $A$ и $B$ , такие что $A \subset \Omega \subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)<\varepsilon$ . Не ограничивая общности рассуждений, согласно свойству 4 меры клеточных множеств, считаем, что множество $A$ не содержит граничных точек $\Omega$ , а множество $B$ содержит все такие точки. Тогда $\partial\Omega \subset B\setminus A$ и $m\left(B\setminus A\right)<\varepsilon$ , следовательно, по лемме 3, множество $\partial\Omega$ имеет жорданову меру нуль.
Достаточность
Пусть $m\left(\partial\Omega\right)$ и $\Omega$ — ограниченное множество в $\mathbb{R}^n$ . Заключим множество $\Omega$ в клетку $\Pi$ . Теперь возьмем произвольное $\varepsilon>0$ и построим клеточное множество $C$ , такое что $\partial\Omega\subset C$ и $m\left(C\right)<\varepsilon$ . Тогда $\Pi\setminus C$ — клеточное множество, не содержащее граничных точек множества $\Omega$ . Пусть $\Pi\setminus C=\bigcup\limits_{i=1}\limits^N\Pi_i$ . Так как клетка $\Pi_i$ не содержит граничных точек множества $\Omega$ , то в силу леммы 4 $\Pi_i\cap\Omega=\varnothing$ или $\Pi_i\subset\Omega$ . Занумеруем клетки $\Pi_i$ в таком порядке, что $\Pi_1,…,\Pi_l\subset \Omega$ , а $\Pi_{l+1},…,\Pi_N\cap\Omega=\varnothing$ . Обозначим $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^l\Pi_i$ и $B=A\cup C=\Pi\;\setminus\;\left(\bigcup\limits_{i=l+1}\limits^N\Pi_i\right)$ , тогда $A\subset\Omega\subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)=m\left(C\right)<\varepsilon$ , то есть множество $\Omega$ измеримо по Жордану.

[свернуть]

Свойства множеств, измеримых по Жордану

Свойство 1. Если множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$ измеримы по Жордану, то множества $\Omega_1\cap\Omega_2$ , $\Omega_1\setminus \Omega_2$ , и $\Omega_1\cup\Omega_2$ также измеримы по Жордану.

Спойлер

Измеримые по Жордану множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$ ограничены, следовательно, по доказанному выше критерию меры их границ равны нулю. Тогда мера их пересечения также будет равной нулю. Но мы знаем, что
$\partial \left(\Omega_1\cap\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,\quad\partial \left(\Omega_1\setminus\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,\quad\partial \left(\Omega_1\cup\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,$ поэтому $m\left(\partial \left(\Omega_1\cap\Omega_2\right)\right)=m\left(\partial \left(\Omega_1\setminus\Omega_2\right)\right)=m\left(\partial \left(\Omega_1\cup\Omega_2\right)\right).$
В силу критерия множества множества $\Omega_1\cap\Omega_2$ , $\Omega_1\setminus \Omega_2$ и $\Omega_1\cup\Omega_2$ измеримы по Жордану.

[свернуть]

Свойство 2. Если множества $\Omega_i,\;i=\overline{1,n}$ измеримы по Жордану, то и множествo $\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i$ измеримо по Жордану, и
$m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i\right)\leq\sum\limits_{i=1}^nm\left(\Omega_i\right).$
Если множества $\Omega_i,i=\overline{1,n}$ попарно не пересекаются, то
$m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i\right)=\sum\limits_{i=1}^nm\left(\Omega_i\right).$

Спойлер

Рассмотрим случай $n=2$ . Если $\Omega_1$ и $\Omega_2$ – измеримые по Жордану множества, то в силу свойства 1 множество $\Omega_1\cup\Omega_2$ измеримо по Жордану. Из леммы 2 следует, что для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $B_1$ и $B_2$ такие что:
$\Omega_1\subset B_1,\;\Omega_1\subset B_1,\; m\left(\Omega_1\right)>m\left(B1\right)−\frac{\varepsilon}{2},\; m\left(\Omega_2\right)>m\left(B2\right)−\frac{\varepsilon}{2}.$
Тогда $B_1\cup B_2$ есть клеточное множество, содержащее множество $\Omega_1\cup\Omega_2$ . Используя свойство 3 клеточных множеств, получаем, что:
$m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\leq m\left(B_1\cup B_2\right)\leq m\left(B_1\right)+m\left(B_2\right)\leq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right)+\varepsilon.$
В силу произвольности $\varepsilon$ :
$m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\leq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right)$ Пусть $\Omega_1\cap\Omega_2=\varnothing$ . В силу леммы 2 найдутся клеточные множества $A_1$ и $A_2$ , такие что
$A_1\subsetΩ_1,\;m(A_1)>m\left(Ω_1\right)-\frac{\varepsilon}{2},\;A_2\subsetΩ_2,\;m(A_2)>m(Ω_2)−\frac{\varepsilon}{2}.$
Тогда $A_1\cup A_2$ есть клеточное множество, содержащееся в множестве $\Omega_1\cup\Omega_2$ . Так как множества $A_1$ и $A_2$ не пересекаются, то
$m\left(Ω1\cupΩ2\right)≥m\left(A1\cup A2\right)=m\left(A1\right)+m\left(A2\right)>m\left(Ω1\right)+m\left(Ω2\right)−ε,$
Число $\varepsilon$ мы брали произвольно, следовательно,
$m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\geq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right).$
Мы видим, что мера объединения непересекающихся множеств $\Omega_1$ и $\Omega_2$ одновременно не превосходит и больше либо равна сумме их мер. А такое возможно, только если
$m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)=m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right).$
Применяя метод математической индукции, можно доказать исходное неравенство, а также случай равенства для любого $n\in\mathbb{N}$ . Свойство доказано.

[свернуть]

Пример

Спойлер

Множество $A=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \in \left[ 0,1 \right] \right\}$ измеримо по Жордану, так как само по себе является клеточным. А множество рациональных чисел на том же отрезке $A^\prime=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x\in\left[0,1\right]\right\}$ не измеримо, и мы можем легко это показать. Действительно, отрезке $\left[0,1\right]$ не существует подотрезка, заполненного только рациональными числами, то есть внутренняя мера Жордана множества $A^\prime$ равна $0$ . С другой стороны, на всей числовой прямой мы не найдем отрезка, содержащего $\left[0,1\right]$ и заполненного рациональными числами. Это значит, что внешняя мера множества $A^\prime$ равна $1$ . Мы видим, что верхняя и нижняя меры Жордана совпадают, а значит, по определению, множество $A^\prime$ не является измеримым по Жордану.

[свернуть]

Использованная литература:

Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов. — Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2001 г., стр. 445-451

Дополнительная литература:

Тест "Мера Жордана"

Пройдите небольшой тест, чтобы закрепить ваши знания.

Таблица лучших: Тест "Мера Жордана"

максимум из 9 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Предел функции по множеству

Возьмём произвольные множества $X$ , $Y$ . Отображением $F$ из $X$ в $Y$ называется соответствие, которое каждому $x\in X$ сопоставляет единственный элемент $y \in Y$ .

Множество $X$ — область определения.
Множество всех $y\in Y$ — область значения. Надо рассмотреть функции $f$ , определённые на некоторых множествах $E \subset \mathbb{R}^{n}$ со значениями в ${R}^{m}$ . Такие функции называются векторными функциями многих переменных. Значениями функции $f$ являются $m$ -мерные векторы. Функции такого вида также будем называть отображениями.
Функция значения которой являются действительные числа наз. действительной.Функция $f$ : $E \mapsto \mathbb{R} , E \subset \mathbb{R}^{n}$ .Пусть $f$ : $E \mapsto \mathbb{R}^{m} , m \geq 2$ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Тогда для любого фиксированного $x\in E$ с значением $f(x)$ есть $m$ — мерный вектор, который мы можем записать в таком виде: $f(x) = (f^{1}(x),…,f^{m}(x)),$ где
$f^{i}(x)$ — действительный числа(координаты вектора $f(x)$ .

Поэтому следует, что мы получаем $m$ действительных функций на множестве $E: f^{i}: E \mapsto \mathbb{R}$ .
$f = (f^{1},…,f^{m}),$
$f^{i}$ — называют компонентами векторной функции $f$ .

Предел функции

Дано множество $E \subset \mathbb{R}^{n}$ , $a$ — предельная точка множества $E$ и функция $f$ : $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$ .
Точка $b\in \mathbb{R}^{m}$ называется пределом функции $f$ в точке по множеству $E$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$ , что для всех $x \in E$ , отличных от точки $a$ и удовлетворяющих условию $0 < \left | x-a \right | < \delta$ , справедливо неравенство $\left | f(x)- b \right | < \varepsilon$ . В этом случае пишут

$b = \lim\limits_{x \to a, x \in E } {f(x)}$

и говорят, что $f(x)$ стремится к $b$ , проходя множество $E$ .

Теорема

Допустим функция $f$ : $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $a$ — предельная точка множества $E$ . Чтобы точка $b\in\mathbb{R}^{m}$ являлась пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$ , необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к $a$ последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$ , отличных от $a$ , было выполнено равенство $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa ) = b$ .

Необходимость:

Пусть $\lim\limits_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ и пусть $x_\kappa \in E,x_\kappa \neq a, \lim\limits_{\kappa \to \infty} x_\kappa = a$ , то есть фиксируем некоторую последовательность $0$ < $\left | x — a \right |$ < $\delta$ . Докажем, что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b$ . Зададим $\varepsilon > 0$ . Тогда, по определению предела функции , найдётся такое $\delta > 0$ , что для всех $x \in E$ , удовлетворяющих условию $0$ < $\left | x — a \right | < \delta$ справедливо неравенство $\left | f(x) — b\right | < \varepsilon$ , так как $x_{\kappa }\rightarrow a$ и $x_{\kappa } \neq a$ , то найдётся такой номер $N$ , что при любом $\kappa \geq N$ будет $0<\left | x_{\kappa}-a \right |<\delta$ .
Поэтому для $\kappa \geq N$ выполнено неравенство $\left | f(x_{\kappa}) — b\right | < \varepsilon$ . Это означает,что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b.$

Достаточность:

Сделаем предположение,что предел функции $f$ в точке $a$ либо не существует,либо существует,но не равен $b$ . Тогда найдется такое $\varepsilon_{0} > 0$ , что для любого $\delta > 0$ найдется точка $x’ \in E$ для котoрой, $\left | x’-a \right | < \delta$ , но $\left | f(x’) — b\right | \geq \varepsilon$ . Пологая $\delta =\frac{1}{\kappa}$ , построим последовательность точек $x’_{\kappa}$ , для которых $0$ < $\left | x’_{\kappa } — a \right |$ < $\frac{1}{\kappa }$ , но $\left |f(x’_{\kappa }) — b \right | \geq \varepsilon _{0}$ , тогда получим, что $x’_{\kappa} \rightarrow a$ , нo $f\left ( x’_{\kappa } \right )$ не стремится к $b$ , а это противоречит нашему условию.

Определим функцию по Гейне:

Точка $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$ , если для любой последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$ ,сходящейся к $a$ , $x_{\kappa } \neq a$ , соответствующая последовательность $\left \{ f(x_{\kappa }) \right \}$ значений функции сходится к точке $b$ .

Для доказательства следующей теоремы, достаточно воспользоваться определением предела по Гейне.

Теорема(арифметические свойства): пусть функции $f,g$ : $E\rightarrow \mathbb{R}^{m}, E\subset \mathbb{R}^{n}$ , $a$ - прeдельная точка множества $E$ и

$\lim\limits_{x\to a, x \in E}f(x) = b$ , $\lim\limits_{x\to a, x \in E}g(x) = c$

Тогда
1) $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f+g)(x) = b+c$ ;

2) $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b \cdot c$ ;

3)если $f,g$ — действительные функции и $g(x)\neq 0, c\neq 0$ ,то $\lim\limits_{x\to a, x \in E}\frac{f}{g}(x) = \frac{b}{c}.$

Литература
В.И. Коляда и А. А. Кореновский » Курс лекций по математическому анализу.Часть 1.»- О.: «Астропринт» ,2009. — (с.250-252)
Конспект лекций Г.М. Вартаняна

предел функции на множестве

Тест на закрепление материала на тему «Граница функции на множестве»

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 4
Определение предела функции: Точка $b\in \mathbb{R}^{m}$ называется пределом функции $f$ в точке по множеству $E$ , если
- если для любого
- $\varepsilon > 0$
- найдётся такое
- $\delta > 0$
- что для всех
- $x \in E$
- отличных от точки $a$
- удовлетворяющих условию $0 < \left | x-a \right | < \delta$
- справедливо неравенство $\left | f(x)- b \right | < \varepsilon$
- В этом случае пишут $b = \lim\limits_{x \to a, x \in E } {f(x)}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 3
Перечислите арифметические свойства: если $f,g$ — действительные функции и $g(x)\neq 0, c\neq 0$
- $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f+g)(x) = b+c$
- $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b \cdot c$
- $\lim\limits_{x\to a, x \in E}\frac{f}{g}(x) = \frac{b}{c}$
- $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f-g)(x) = b-c$
- $\lim\limits_{x\to a, x \in E}((f+g)(x))^{n} = (b+c)^{n}$
Правильно

Неправильно

Подсказка

$\lim\limits_{x\to a, x \in E}((f+g)(x))^{n} = (b+c)^{n}$ — неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 4
Возьмём произвольные множества $X$ , $Y$ . Отображением $F$ из $X$ в $Y$ называется соответствие, которое каждому $x\in X$ сопоставляет единственный элемент $y \in Y$ .
Множество $X$ и множество всех $y\in Y$ называют соответственно
Правильно

Неправильно

Подсказка

Верхняя и нижняя грани множества

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число $M$ называется точной верхней гранью (границей), если:

$1)$ для $\forall x \in X: x \leq M;$

$2)$ для $\forall {M}'<M: \exists {x}’ \in X:{x}’>{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).

$M=\sup X$ ( $M$ — супремум $X$ ).

Число $M$ называется точной нижней гранью (границей), если:

$1)$ для $\forall x \in X: x \geq M;$

$2)$ для $\forall {M}’>M: \exists {x}’ \in X:{x}'<{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).

$M=\inf X$ ( $M$ — инфимум $X$ ).

(если множество $X$ , то пишем $\sup{X}=+\infty;$ если множество $X$ неограничено снизу, то пишем $\sup{X}=-\infty.$ )

если $M$ не является точной верхней гранью множества $X$ и $\forall x \in X : x \leq M$ , тогда $\exists {M}'<M : \forall {x}’ \in X : {x}’>{M}’;$

если $M$ не является точной нижней гранью множества $X$ и $\forall x \in X : x \geq M$ , тогда $\exists {M}’>M : \forall {x}’ \in X : {x}'<{M}’.$

Примеры:

$1) X=[1;2) :$

$\sup X=2 \notin X;$ $\inf X=1.$

$2) X=\left\{\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};…\right\};$

$\sup X=\max X=\frac{1}{2} \in X;$

$\inf X=0 \notin X.$

Единственность верхних и нижних точных граней

Если множество имеет $\sup$ и $\inf$ , то он единственный.

$\square$ Рассмотрим для $\sup$ .

Пусть множество $X$ имеет 2 точных верхних грани: $M_{1}$ и $M_{2}.$

Допустим $M_{1}<M_{2}$ .

Так как $M_{1}<M_{2}$ и $M_{2}=\sup{X}$ , то $\exists {x}’ \in X: {x}’>M_{1}$ , что противоречит тому факту, что $M_{1}=\sup{X}.$ $\blacksquare$

Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.

Практические задания:

$1)$ Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел $r$ , удовлетворяющих равенству $r^{2}<2$ .

Решим неравенство $r^{2}$ .

$x \in \left (-\sqrt{2}; \sqrt{2} \right )$

$\sup r= \sqrt{2}$ Докажем это:

$1) \forall x \in r: x \leq \sqrt{2}$ . Так и есть, $\sqrt{2}$ является верхней границей множества $r$ .

$2) \forall {M}'< \sqrt{2} : \exists {x}’ \in r:{x}’>{M}’$ ;

Действительно, всякие рациональные $x< \sqrt{2}$ (и при этом $x> -\sqrt{2}$ ) будут элементами множества $r$ , причём $\forall \epsilon : \exists x \in r : \sqrt{2} — x< \epsilon$ . То есть какое бы рациональное число из $r$ мы не взяли, можно взять рациональное число из $r$ так, что оно будет находиться ближе к $\sqrt{2}$ на числовой прямой.

$2)$ Пусть $\left \{ -x\right \}$ — множество чисел, противоположных числам $x \in \left \{x \right \}.$

Доказать, что $\inf \left \{-x \right \}= \sup\left \{x \right \}.$

$\square$ Пусть $(-x)$ — элемент из множества $\left \{-x \right \}$ противоположный элементу $x$ из множества $\left \{x \right \}$ .

Распишем точную нижнюю грань для множества $\left \{-x \right \}$ по определению:

$1)$ $\forall (-x) \in \left \{-x \right \}: (-x) \geq M;$ $\Rightarrow$ $\forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;$

$2)$ $\forall {M}’>M: \exists (-{x}’) \in \left \{-x \right \} : (-{x}’)<{M}’ \Rightarrow$

$\Rightarrow \forall (-{M}’)<-M: \exists {x}’ \in \left \{ x \right \}: {x}’ > -{M}’$ .

Получили:

$1)$ $\forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;$

$2)$ $\forall (-{M}’)<-M: \exists {x}’ \in \left \{ x \right \}: {x}’ > -{M}’$ .

Тоесть: $-M = \sup \left \{ x \right \}$ $\Rightarrow$ $M=- \sup \left \{ x \right \}$ .

Так как $M= \inf \left \{-x \right \}$ , $\inf \left \{-x \right \} = — \sup \left \{ x \right \}$ . $\blacksquare$

Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.7.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.44.

Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по мат.анализу» (издание пятое) стр.12. №17, 19а.

Подробнее на:

sernam.ru

Wikipedia

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Клеточное множество в Rn\mathbb{R}^n

Свойства клеточных множеств.

Мера клеточного множества

Свойства меры клеточных множеств

Мера Жордана

Множества жордановой меры нуль

Свойства множеств, измеримых по Жордану

Пример

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Тест "Мера Жордана"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

6.

Таблица лучших: Тест "Мера Жордана"

предел функции на множестве

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Подсказка

3.

Подсказка

Единственность верхних и нижних точных граней

Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

Клеточное множество в $\mathbb{R}^n$