Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность

1. Определение предела по Коши и по Гейне

Определение 1.1. (определение по Коши или на языке $\varepsilon — \delta$ ):

$A$ — предел функции $f(x)$ в точке $a$ (и пишут $\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A$ ), если: $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0:\forall x: 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) — A| < \varepsilon$
В определении допускается, что $x \neq a$ , то есть $a$ может не принадлежать области определения функции.

Определение 1.2. (определение по Гейне):

$A$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$ , если $\forall \left \{ x_{n} \right \}\rightarrow a$ , $x_n\ne a$ то есть $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a$ , соответствующая последовательность значений ${f(x_{n})} \rightarrow A$ , то есть $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A$ .

Замечание 1.1.

Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.

Замечание 1.2.

Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 1.3.

$\forall x:0<|x-a|<\delta$

Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка $x$ принадлежит проколотой $\delta$ -окрестности точки $a$ ( $x\in \dot{U_{\delta }}(a)$ )

2. Эквивалентность определений

Пусть число $A$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$ по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность $x_{n}$ , $n \in N$ , то есть такую, для которой $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a$ . Покажем, что $A$ является пределом по Гейне.

Зададим произвольное $\varepsilon > 0$ и укажем для него такое $\delta > 0$ , что для всех $x$ из условия $0 < |x-a| < \delta$ следует неравенство $|f(x)-A | < \varepsilon$ . В силу того, что $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a$ , для $\delta > 0$ найдётся такой номер $n_{\delta }\in N$ , что $\forall n\geq n_{\delta }$ будет выполняться неравенство $|f(x_{n})-A| < \varepsilon$ , то есть $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A$ .

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что $\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A$ по Гейне, и покажем, что число $A$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$ по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: $\exists \varepsilon_{0} > 0 \forall \delta > 0 :\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-a|<\delta \Rightarrow |f(x_{\delta })-A|\geq \varepsilon$ . В качестве $\delta$ рассмотрим $\delta = \frac{1}{n}$ , а соответствующие значения $x_{\delta }$ будем обозначать $x_{n}$ . Тогда при любом $n\in N$ выполняются условия $|x_{n}-a|<\frac{1}{n}$ и $|f(x_{n})- A | \geq \varepsilon$ . Отсюда следует, что последовательность $x_{n}$ является подходящей, но число $A$ не является пределом функции $f(x)$ в точке $a$ . Получили противоречие.

3. Примеры

Пример 3.1.

а) $\lim\limits_{x\rightarrow 2 } x^{2} = 4$

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\forall x:0<|x-2|<\delta \Rightarrow |x^{2}-4|<\varepsilon$ $|x^{2}-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\cdot|x+2|<5\delta <\varepsilon \Rightarrow 0<\delta <\frac{\varepsilon }{5}$ , например $\delta =\frac{\varepsilon }{6}$

б) $\forall\left \{ x_{n} \right \}\rightarrow 2$ $\lim\limits_{n\rightarrow 2 } f(x_{n}) =\lim\limits_{n\rightarrow 2} x_{n}^{2}=4$

Пример 3.2.

Доказать, что $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ не имеет предела в точке 0.

$\exists \left \{ {x_{n}}’ \right \}\rightarrow 0$ $\exists \left \{ {x_{n}}» \right \}\rightarrow 0$

$\left \{ f({x_{n}}’) \right \}\rightarrow A_{1}$ $\left \{ f({x_{n}}») \right \}\rightarrow A_{2}$

${x_{n}}’:\sin \frac{1}{{x_{n}}’}=0\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}’}=\pi n\Rightarrow {x_{n}}’ = \frac{1}{\pi n}\xrightarrow[ n\neq 0]{n\rightarrow \infty}0$ ${x_{n}}’= \frac{1}{\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}’)=0\rightarrow 0$ ${x_{n}}»:\sin \frac{1}{{x_{n}}»}=1\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}»}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\Rightarrow {x_{n}}» = \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n}\xrightarrow[n\neq 0]{n\rightarrow \infty }0$ ${x_{n}}»= \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}»)=1\rightarrow 1$

Вывод: последовательность по Гейне не имеет предела.

Литература

Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.52. Определение предела функции. (с. 115-117)

Тест

Тест по теме Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность.

Желаем удачи!

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 2
Может ли функция иметь два разных предела в одной и той же точке?
- Да, может.
- Нет, не может.
- Затрудняюсь ответить.
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 5

2.

Количество баллов: 2

Отнесите заданные функции к соответствующему критерию.

Элементы сортировки

$\sin\frac{1}{x}$
$x^{2}$

Не имеет предела в точке 0.

Имеет предел равный 4 при

$x\rightarrow 2$

Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 2
Что означает следующая фраза:

$x$ принадлежит проколотой окрестности точки $a$
- $0<|x-a|<\delta$
- $|x-a|<\delta$
- $x\in U_{\delta }(a)$
- $x\in \dot{U_{\varepsilon }}(a)$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 2
Определения по Коши и по Гейне…
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 2
Дайте определение предела функции по Коши.
- $\forall \varepsilon >0$
- $\exists \delta >0$
- $\forall x: 0<|x-a|<\delta$
- $|f(x)-A|<\varepsilon$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Предел последовательности

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Непрерывность элементарных функций

Спойлер

[свернуть]

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени $n$ , т. е. функцию вида

$P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.$

Эта функция непрерывна на $R.$

Спойлер

Функция $y=C,$ где $C$ — постоянно непрерывна на $R,$ так как $\Delta y=0$ при любом $x.$ Функция $y=x$ непрерывна на $R,$ так как $\Delta y=\Delta x \to 0$ при $\Delta x \to 0.$ Поэтому функция $y=a_{k}x^k,$ где $k\in\mathbb{N},$ непрерывна на $R$ как произведение непрерывных функций. Так как многочлен $P_{n}(x)$ есть сумма непрерывных функций вида $a_{k}x^k\ \ \ \left ( k=\overline{0,n} \right ),$ то он непрерывен на $R.$

[свернуть]

Рациональная функция, т. е. функция вида $f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},$ где $P_{n}(x),Q_{m}(x)$ — многочлены степени $n$ и $m$ соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена $Q_{m}(x).$

Спойлер

В самом деле, если $Q_{m}(x)\neq 0,$ то из непрерывности многочленов $P_{n}$ и $Q_{m}$ следует непрерывность функции $f$ в точке $x_{0}.$

[свернуть]

Утверждение 2

Если $x \in \left ( — \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right )$ и $x\neq 0,$ то $\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).$

Спойлер

Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса
с центром в точке $O$ (рис. 12.1). Пусть $\angle AOB=x,$ где $0<x<\frac{\pi}{2}$ .

Пусть $C$ — проекция точки $B$ на ось $Ox$ , $D$ луча $OB$ и прямой, проведенной через точку $A$ перпендикулярно оси $Ox.$ Тогда $BC=sin x, DA=tgx.$

Пусть $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ — площади треугольника $AOB,$ сектора $AOB$ и треугольника $AOD$ соответственно. Тогда

$S_{1}=\frac{1}{2}(OA)^{2}\sin x=\frac{1}{2}\sin x,$

$S_{2}=\frac{1}{2}(OA)^{2} x=\frac{1}{2}x,$

$S_{3}=\frac{1}{2}OA \cdot DA=\frac{1}{2} tg \ x.$

Так как $S_{1}<S_{2}<S_{3},$ то $\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2} tg \ x \ \ \ \ \left ( 2 \right )$

Если $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )$ то $\sin{x}>0,$ и поэтому неравенство $\left ( 2 \right )$ равносильно неравенству

$1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}}$

откуда следует, что при $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )$ выполняется неравенство $\left ( 1 \right ).$ Так
как $\frac{x}{\sin{x}}$ и $\cos{x}$ — четные функции, то неравенство $\left ( 1 \right )$ справедливо и при $x \in \left (-\frac{\pi}{2},0 \right ).$

[свернуть]

Следствие

Первый замечательный предел

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1$

Подробнее

Замечание

Из неравенства $\left(2\right )$ следует, что $tg\ x>x$ при $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).$

Утверждение 3

Для всех $x\in\mathbb{R}$ справедливо неравенство

$\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).$

Спойлер

Неравенство $\left ( 4 \right )$ выполняется при $x=0.$

Пусть $x\neq0.$

Если $\left | x \right |<\frac{\pi}{2},$ то из утверждения $\left (1\right )$ следует что

$-1<\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1\ \ \ \Rightarrow$

$\left |\frac{\sin{x}}{x} \right |<1 \ \ \Rightarrow\left | \sin{x} \right |<\left | x \right |$

Если $\left | x \right |\geqslant\frac{\pi}{2},$ то тогда доказываемое неравенство очевидно.

[свернуть]

Утверждение 4

Функции $y=\sin{x}$ и $y=\cos{x}$ непрерывны на всем множестве $\mathbb{R}.$

Спойлер

Требуется доказать, что

$\forall x \in \mathbb{R} : \lim_{x \to x_{0}}\sin{x}=\sin{x_{0}},$

а именно

$\forall \varepsilon >0\ \ \ \ \exists \delta_{\varepsilon }:\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon$

$\left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |=\left | 2-\sin{\frac{x-x_{0}}{2}}\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right | =2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\left |\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right |\leqslant$

$\leqslant 2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\leqslant 2\left |\frac{x-x_{0}}{2} \right |=\left | x-x_{0} \right |<\delta \leqslant \varepsilon$

То есть $\forall \varepsilon >0$ если взять $\delta = \frac{\varepsilon }{2}$ , то $\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon$

Для функции $\cos{x}$ доказывается аналогично

[свернуть]

Следствие

Функция $tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ — непрерывная при $x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Утверждение 5

Рассмотрим несколько функции с их графиками

$y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ строго возрастает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]
$y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right]$ строго спадает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]
$y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$ строго возрастает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]
$y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)$ строго спадает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]

Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно

$y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]$

Спойлер

[свернуть]
$y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]$

Спойлер

[свернуть]
$y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}$

Спойлер

[свернуть]
$y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}$

Спойлер

[свернуть]

Утверждение 6

Функция $y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1$ — монотонна непрерывна на $\mathbb{R},$ то есть

$\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}$

и тогда функция $y=\log_{a}{x}$ — монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

$sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на $\mathbb{R}$ , причем $sh\ x$ — нечетная функция, а $ch\ x$ — четная функция.

Спойлер

Из определения функций $sh\ x$ и $ch\ x$ следует, что

$sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,$

$ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x$

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

$th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x}$

Функция $th\ x$ определена и непрерывна на $\mathbb{R},$ а функция $cth\ x$ определена и непрерывна на множестве $\mathbb{R}$ с выколотой точкой $x= 0.$ Обе функции нечетные.

Спойлер

Утверждение 8

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ определены на промежутке $\Delta =\left ( a,b \right ),$ причем для всех $x \in \Delta$ выполняется условие $u(x)>0,$ Тогда функцию $y,$ определяемую формулой

$y=e^{v(x)\ln{u(x)}}$

будем называть показательно-степенной и обозначать

$y=u(x)^{v(x)}$

Таким образом, исходя из определения

$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}$

Если $u,v$ — функции, непрерывные на $\Delta,$ то функция $u^v$ непрерывна на $\Delta$ как суперпозиция непрерывных функций $e^t$ и $t = v(x)\ln{u(x)}$ .

Тест

Непрерывность элементарных функций

Задание 1 из 5

1.
Выберите правильные утверждения
- Функция непрерывна в точке 3 $\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}$
- Верно неравенство $\sin{0.0001}>0.0001$
- Функция неразрывна в точке $th \ x ;\ \ x=\frac{26\pi}{10}$
- Функция определена только на отрезке $y=arctg\ x;\ \ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 5

2.

Установите соответствие

Элементы сортировки

Нечетная функция
Четная функция

$sh\ x$

$ch\ x$

Задание 3 из 5

3.
Вставьте пропущенное слово в определение
- Многочлен является (непрерывной) функцией на всей числовой прямой
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Закончите определение: Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ определены на промежутке $\Delta =\left ( a,b \right )$ , причем для всех $x \in \Delta$ выполняется условие $u(x)>0$ . Тогда функцию $y$ , определяемую формулой

$y=e^{v(x)\ln{u(x)}}$

будем называть…
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Оцените насколько нравится вам данный тест, где 1 — совсем ненравится,а 5 — очень нравится
- 1 2 3 4 5
Правильно

Неправильно

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр. 96-110)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 90-96)

Замена переменной при вычислении предела

Теорема

Если существуют

$\lim_{x\to a}\varphi (x)=b$ и $\lim_{y\to b}f(y)=A$

причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки $a$ выполняется условие $\varphi (x)\neq b$ , то в точке $a$ существует предел сложной функции $f(\varphi (x))$ и справедливо равенство

$\lim_{x\to a}f(\varphi (x))=\lim_{y\to b}f(y)=A$

Спойлер

Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне

$\forall \{x_{n}\} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} a \Rightarrow \{\varphi (x_{n}) \} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} b \Rightarrow f(\varphi (x_{n})) \underset{n \to \infty }{\rightarrow} A$

[свернуть]

Примеры

Спойлер

Доказать что $\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1$

$\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}= \left [ t=arcsin(x) , t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right ]= \lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}=1$ (см. Первый замечательный предел)

[свернуть]

Спойлер

Доказать что $\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1$

$\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}= \left [ t=arctg(x), t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right]=$ $\lim_{t \to 0}\frac{t}{tg(t)}=$ $\lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}cos(t)=1$ (см. Первый замечательный предел)

[свернуть]

Тест

Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»

Задание 1 из 5

1.
Для чего используется метод замены переменных?
- Для того, чтобы свести решение к первому замечательному пределу
- Для того, чтобы свести решение ко второму замечательному пределу
- Чтобы привести к более легкому интегралу
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Найти предел методом замены переменной $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arctg3x}{7x}$
Правильно

Неправильно

Правильный ответ 3/7
Задание 3 из 5

3.
Найти предел методом замены переменной $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x}{arcsin\frac{x}{2}}$
Правильно

Неправильно

Правильный ответ 10
Задание 4 из 5

4.
Найти предел методом замены переменной

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}$
- $\frac{2}{\pi }$
- $\pi x$
- $2x$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Найти предел методом замены переменной $\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}$
Правильно

Неправильно

Правильный ответ 1/2

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 112-113)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 68-69)

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу

Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется равенство

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1$ ,

где величина $x$ выражена в радианах.

Спойлер

Воспользуемся неравенством $\left(1\right )$ (рассмотренное в теме Непрерывность элементарных функций).Исходя из непрерывности косинуса $\lim_{x \to 0}\cos{x}=\cos{0}=1$ , переходим в соотношении $\left(1\right )$ к пределу при $x \to 0$ , получаем искомое равенство

[свернуть]

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Спойлер

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}$

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3\cdot \frac{1}{7}\cdot 7x}=\frac{7}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=\frac{7}{3}$

Замечание

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=1$

Этот факт доказывается при помощи замены переменной $t=7x;t\underset{x\to 0}{\rightarrow}0$

[свернуть]

Спойлер

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}$

$\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5x\cdot x}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot sin{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}}}=5\cdot 2\cdot 2=20$

[свернуть]

Спойлер

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}$

Используем тригонометрическую формулу $1-\cos{2a}=2\sin^2{a}$

$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2{2x}}{5x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{2x}}{x}=$

$\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}\cdot \sin{2x}}{\frac{1}{2}\cdot 2x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}\lim_{x\to 0}\sin{2x}=\frac{4}{5}\cdot 0=0$

[свернуть]

Тест

Тест на использование первого замечательно предела

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98).

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)

Различные типы пределов: бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки $a$ называется:

$\dot{U}_{\delta }(a)=(a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta ).$

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $a.$ Говорят, что $f(x)$ имеет бесконечный предел в этой точке $(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= \infty),$ если:

$\forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: |f(x)|>\varepsilon.$

В этом случае функцию называют бесконечно большой при $x\rightarrow a.$ Данный общий случай можно разделить на два частных:

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= +\infty\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)>\varepsilon$

и, соответственно

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= -\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)<-\varepsilon.$

Пример 1

Дана функция $f(x)=\frac{1}{x}:$
$frac1x$
Найти предел при $x\rightarrow 0.$

Спойлер

Функция определена на всей вещественной оси кроме т. $0$ . Рассмотрим некоторую проколотую окрестность $\dot{U}_{\delta }(0)$ . Как видно, для $\forall \varepsilon \: \exists\, \delta =\frac{1}{\varepsilon }$ такое, что $\forall x\in (0;|\delta |)\: |f(x)|>\varepsilon$ . Отсюда, по определению следует, что эта функция бесконечно большая при $x\rightarrow 0$ . При этом на $(-\infty;0 )\: \:\lim\limits_{x\rightarrow 0}=-\infty$ , а на $(0;+\infty )\: \:\lim\limits_{x\rightarrow 0}=+\infty$ .

[свернуть]

Пределы на бесконечности

Число $A$ называют пределом функции $f(x)$ на бесконечности $(\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=A),$ если

$\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.$

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на $+\infty:$

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x >\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon$

и на $-\infty:$

$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.$

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+ \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=- \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)<-\varepsilon$
$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon$
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon$

Пример 2

Рассмотрим функцию $f(x)=\ln x^{2}:$
lnxpow2

Спойлер

При $x\rightarrow \infty$ значение функции . Для любого $\varepsilon$ и соответствующего ему $\delta _{\varepsilon }$ найдется такой $x$ , например, $x=\delta _{\varepsilon }+1$ , что $f(x)> f(\delta _{\varepsilon })$ . Иначе говоря, $\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }=\varepsilon:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon$ . Это значит, что $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+\infty$ .

[свернуть]

Литература

Тест

Задание 1 из 6

1.

Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

Элементы сортировки

$\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x \in \dot{U}_{\delta }(a): |f(x)|>\varepsilon$
$\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x>\delta: |f(x)-A|<\varepsilon$
$\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x \in \dot{U}_{\delta }(a): f(x)>\varepsilon$
$\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x>\delta: \left |f(x) \right |>\varepsilon$

Функция бесконечно большая при

$x\rightarrow a$

Предел функции равен

$A$ при

$x\rightarrow +\infty$

Предел функции равен

$+\infty$ при

$x\rightarrow a$

Функция бесконечно большая при

$x\rightarrow +\infty$

Задание 2 из 6

2.
Проколотой $\delta$ -окрестностью точки $a$ называется:
- $(x-\delta )\cup (x+\delta )$ , где $x\in (a-\delta;a+\delta)$
- $(a-\delta )\cup (a+\delta )$
- $\bigcup_{1}^{n}(x_{i-1}:x_{i})$ , где $x_{0}=a-\delta$ и $x_{n}=a+\delta$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 6

3.
Проанализируйте график функции $|e^{2x+2}+1|-1$ :
- функция $f(x)$ ограничена на всей числовой оси
- функция $f(x)$ ограничена в некоторой окрестности точки $-1$
- $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=2$
- функция $f(x)$ не имеет предела при $x\rightarrow +\infty$
- предел функции $f(x)$ при $x\rightarrow +\infty$ равен $+\infty$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 6

4.
Функция, удовлетворяющая условию $\forall x_{1},x_{2}:x_{1}<x_{2}:f(x_{1})<f(x_{2})$ называется:
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 6

5.
Заполните пропуски.
- Функция имеет предел при $x\rightarrow a$ , если для $\varepsilon$ $\delta$ , что для всех $x$ из $(a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta )$ $|f(x)|>$ (эпсилон, епсилон)
Правильно

Неправильно
Задание 6 из 6

6.
Расположите пределы функции $f(x)=\frac{-x}{6x^{2}-7}$ в таком порядке:
$x\rightarrow-\infty$ , $x\rightarrow-0$ , $x\rightarrow+0$ , $x\rightarrow+\infty$ :
- +0
- $+\infty$
- $-\infty$
- -0
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

максимум из 17 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

1. Определение предела по Коши и по Гейне

Определение 1.1. (определение по Коши или на языке ε—δ\varepsilon — \delta):

Определение 1.2. (определение по Гейне):

Замечание 1.1.

Замечание 1.2.

Замечание 1.3.

2. Эквивалентность определений

3. Примеры

Пример 3.1.

Пример 3.2.

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

Таблица лучших: Предел последовательности

Утверждение 1

Утверждение 2

Следствие

Первый замечательный предел

Замечание

Утверждение 3

Утверждение 4

Следствие

Утверждение 5

Утверждение 6

Утверждение 7

Утверждение 8

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

Источники

Теорема

Примеры

Доказать что limx→0arcsin(x)x=1 \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1

Доказать что limx→0arctg(x)x=1 \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Источники

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Найти предел выражения limx→0sin7x3x\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}

Найти предел выражения limx→05x2sin2x2\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}

Найти предел выражения limx→01−cos4x5x\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Подсказка

3.

Подсказка

4.

5.

6.

Определение 1.1. (определение по Коши или на языке $\varepsilon — \delta$ ):

Доказать что $\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1$

Доказать что $\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1$

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}$

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}$

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}$