Processing math: 100%

Метка: дифференциал

Теорема Ролля о корне производной

Формулировка

Если f(x)∈C[a,b] (т.е. она непрерывна на этом промежутке), дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b) тогда ∃ξ∈(a,b):f′(ξ)=0. Теорему Ролля можно сформулировать кратко так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один ноль производной этой функции. Для случая f(a)=f(b)=0 теорема формируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один ноль ее производной.

Доказательство

Обозначим M=supf(x),m=inff(x) для a≤x≤b. По теореме Вейерштрасса на отрезке [a,b] существуют такие точки c1 и c2, что f(c1)=m,f(c2)=M. Если M=m, то f(x)=const, и в качестве ξ можно взять любую точку интервала (a,b).
Если m≠M, то m<M, и поэтому c10 такое, что Uδ(c1)⊂(a,b). Так как для всех x∈Uδ(c1) выполняется условие f(x)≥f(c1)=m, то по теореме Ферма f′(c1)=0, т.е. условие f′(ξ)=0 выполняется при ξ=c1. Аналогично рассматривается случай когда c2∈(a,b).

Геометрический смысл теоремы Ролля

При условиях теоремы ∃ξ∈(a,b): касательная к y=f(x) в точке (ξ,f(ξ)) параллельна оси ox

Rolla

Замечание! Все условия теоремы существенны.

Пример

Удовлетворяет ли функцияy=2−|x|, определенная на всей вещественной оси, условиям теоремы?

Спойлер

Теорема Ролля о корне производной

Этот тест был составлен для того, чтобы проверить знание теоремы Ролля о корне производной

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165-166
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Формулировка

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем g′(x)≠0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка ξ∈(a,b) такая, что f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).

Доказательство

Рассмотрим функцию φ(x)=f(x)+λg(x), где число λ выберем таким, чтобы выполнялось равенство φ(a)=φ(b), которое равносильно следующему:
f(b)−f(a)+λ(g(b)−g(a))=0.

Заметим, что g(b)≠g(a), так как в противном случае согласно Теореме Ролля существовала бы точка c∈(a,b) такая, что g′(c)=0 вопреки условиям данной теоремы. Из равенства f(b)−f(a)+λ(g(b)−g(a))=0 следует, что λ=−f(b)−f(a)g(b)−g(a).

Так как функция φ при любом λ непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а при значении λ, определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках a и b, то по теореме Ролля существует точка ξ∈(a,b) такая, что φ‘(ξ)=0, т.е. f′(ξ)+λg′(ξ)=0, откуда f′(ξ)g′(ξ)=−λ. Из этого равенства и формулы λ=−f(b)−f(a)g(b)−g(a) следует f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).

  1. Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши (g(x)=x).
  2. Замечание. Теорему Коши нельзя получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Правильно ли вы поняли обобщенную теорему Лагранжа?

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.157-158