Теорема Ролля о корне производной

Формулировка

Если [latex]f(x)\in C[a,b][/latex] (т.е. она непрерывна на этом промежутке), дифференцируема на (a,b) и [latex]f(a)=f(b)[/latex] тогда [latex]\exists \xi \in (a,b): f'(\xi )=0.[/latex] Теорему Ролля можно сформулировать кратко так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один ноль производной этой функции. Для случая [latex]f(a)=f(b)=0[/latex] теорема формируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один ноль ее производной.

Доказательство

Обозначим [latex]M=sup f(x), m=inf f(x)[/latex] для [latex]a\leq x\leq b.[/latex] По теореме Вейерштрасса на отрезке [latex][a,b][/latex] существуют такие точки [latex]c_{1} [/latex] и [latex]c_{2},[/latex] что [latex]f(c_{1})=m, f(c_{2})=M.[/latex] Если [latex]M=m,[/latex] то [latex]f(x)=const,[/latex] и в качестве [latex]\xi [/latex] можно взять любую точку интервала [latex](a,b).[/latex]
Если [latex]m\neq M,[/latex] то [latex]m<M,[/latex] и поэтому [latex]c_{1} 0[/latex] такое, что [latex]U_{\delta}(c_{1})\subset (a,b).[/latex] Так как для всех [latex]x\in U_{\delta }(c_{1})[/latex] выполняется условие [latex]f(x)\geq f(c_{1})=m,[/latex] то по теореме Ферма [latex]f'(c_{1})=0,[/latex] т.е. условие [latex]f'(\xi )=0[/latex] выполняется при [latex]\xi=c_{1}.[/latex] Аналогично рассматривается случай когда [latex]c_{2}\in (a,b).[/latex]

Геометрический смысл теоремы Ролля

При условиях теоремы [latex]\exists \xi \in (a,b):[/latex] касательная к [latex]y=f(x)[/latex] в точке [latex](\xi, f(\xi ))[/latex] параллельна оси ox

Rolla

Замечание! Все условия теоремы существенны.

Пример

Удовлетворяет ли функция[latex] y=2-|x|,[/latex] определенная на всей вещественной оси, условиям теоремы?

Спойлер

Эта функция удовлетворяет всем условиям, кроме одного. Для этой функции не существует точки на интервале (-2,2), в которой производная была бы равна нулю.

gb

[свернуть]

Теорема Ролля о корне производной

Этот тест был составлен для того, чтобы проверить знание теоремы Ролля о корне производной

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165-166
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140

Теорема Ролля о корне производной: 2 комментария

  1. x, y, f принято писать наклонно. Можно, например, считать их формулами.
    Почему геометрический смысл без иллюстраций?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *